1、专题22线面角大题专练A卷1. 如图，四棱锥中，为正三角形求证：；若在线段上有点，使得点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值2. 如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，平面与平面的交线为证明：直线平面；已知，设与平面所成的角为，求的取值范围3. 如图，在三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面，平面平面若点为棱的中点，求证：平面；已知点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值4. 如图，在正方体中，为的中点求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值5. 如图所示，在四棱锥中，证明：求直线与平面所成角的余弦值6. 如图，在直三棱柱中，点为棱的中点，与相交于
2、点证明：平面；若，点为线段上一点，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值7. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，二面角的大小为证明：平面已知，为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度8. 在四棱锥中，平面，是的中点，在线段上，且满足求证：平面；求二面角的余弦值；在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】解：取中点，连接，则四边形为矩形，则，又为正三角形，所以，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又，所以； 由知，平面，故平面，点到平面的距离为，所以，如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
3、，则， 由，可得，设平面的一个法向量为，由得可取， ，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为2.【答案】证明：如图示：连接与交于点，由条件可知，且，四边形为平行四边形，且，平面，平面平面，平面平面，故AC，四棱柱的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，平面，故AC，平面平面又，故AC平面，平面，解：如图示：由可知，过点作轴垂直与平面，以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间坐标系，设，则，故B，由可知是平面的一个法向量，而，故，当时，即3.【答案】解：，且为棱的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，平面，平面如图建立空间直角坐标系，由题意，设平面，则
4、设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为4.【答案】解：方法一：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；方法二空间向量坐标法以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得令，则，则又向量，又平面，平面；方法一：几何法延长到，使得，连接，交于，又，四边形为平行四边形，又，所以平面即平面，连接，作，垂足为，连接，平面，平面，又，直线平面，又直线平面，平面平面，在平面中的射影在直线上，直线为直线在平面中的射影，为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知为直线与平面所成的角
5、设正方体的棱长为，则，即直线与平面所成角的正弦值为方法二：向量法接续的向量方法，求得平面平面的法向量，又，直线与平面所成角的正弦值为方法三：几何法体积法如图，设的中点为，延长，易证三线交于一点因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角设正方体的棱长为，在中，易得，可得设在平面的投影为，由，得，整理得所以所以直线与平面所成角的正弦值为方法四：纯体积法设正方体的棱长为，点到平面的距离为，在中，所以，易得由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以5.【答案】解：连接，设的中点为，连接，因为，所以，因为，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以；因为，所以，又，所以，所以，又，平面，平面
6、，所以平面如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，即取，则，设与平面所成的角为，则，则直线与平面的夹角余弦值为6.【答案】证明：取中点，连接，直三棱柱中，所以四边形为矩形，因为，所以点为中点，又点为棱的中点，所以，且，且，所以，且，所以四边形为平行四边形所以，因为平面，平面，所以平面解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，即，解出，所以，设平面的一个法向量为，由，得，令，可得，则，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以，解出或故的值为或7.【答案】证明：在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，平面，所
7、以平面，又，平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，又为等边三角形，所以，又平面，平面，所以平面；解：取的中点，连结，则，又，所以，又平面，平面，所以，所以，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设，得，所以，设平面的法向量为，则，即不妨令，则，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，解得，所以的长为8.【答案】证明：证法一：取的中点，连结，是的中点，且，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面证法二：，平面，、在平面内，由题意得、两两垂直，如图，以为原点，、分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，又，又平面，平面解：设点，则，解得，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，设二面角的平面角为，由图知为锐角，则，二面角的余弦值为解：设，与平面所成角的余弦值是，其正弦值为，解得，或舍，在线段上存在点，使得与平面所成角的余弦值是，
