1、 数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积VSh，锥体的体积VSh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 函数f(x)sin 2x的最小正周期为_ 2. 已知集合A4，a2，B1，16，若AB，则实数a_ 3. 复数z满足zi43i(i是虚数单位)，则|z|_ 4. 函数y的定义域是_ 5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为_ 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是_ 7. 已知数列an满足log2an1log2an1，则_ 8. 若抛物线y22px(p0)的准线与双曲线x2y21的一条准线
2、重合，则p_ 9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是_10. 已知函数f(x)2x44x2，若f(a3)f(a1)，则实数a的取值范围为_11. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(xk)2(yk4)21上任一点P作圆C2：x2y21的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k_12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足20，0，则_13. 已知函数f(x)若存在x00，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_14. 在ABC中，已知sin Asin Bsin(C)sin
3、2C，其中tan ，若为定值，则实数_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知向量a(sin x，1)，b，其中x(0，)(1) 若ab，求x的值；(2) 若tan x2，求|ab|的值16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PAAB，PAAD.求证：(1) 直线PB平面OEF；(2) 平面OEF平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开
4、挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA2千米，AOB，记APQ rad，地下电缆管线的总长度为y千米(1) 将y表示成的函数，并写出的范围；(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围19. (本小题满分16分)设A，B为函数yf
5、(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数yf(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”(1) 若函数f(x)不存在“优点”，求实数a的值；(2) 求函数f(x)x2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)ln x的“优点”一定落在第一象限20. (本小题满分16分)已知首项不为0的数列an的前n项和为Sn，2a1a2a3，且对任意的nN，n2都有2nSn1(2n5)SnSn1ra1.(1) 若a23a1，求r的值；(2) 数列an能否是等比数列？说明理由；(3) 当r1时，求证：数列an是等差数列2019届高三年级第一
6、次模拟考试(七)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)B. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长C. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)设正数a，b，c满足3a2bc1，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA13，AB1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值 23. (本小题满分10分)已知函数f(x)1|2x1|，0x1，设fn(x)fn1(f1(x)，其中f1(x)f(x)，方程fn(x)0和方程fn(x)1根的个数分别为gn(0)，gn(1)(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：gn(0)gn(1)1.数学参考答案1. 2. 43. 54. 1，15. 6. 87. 48. 9. 10. (1，)11. 212. 13. 1，0)
8、14. 15. (1) 因为ab，所以sin xcos x，即sin 2x1.因为x(0，)，所以x.(2) 因为tan x2，所以sin x2cos x.因为ab，所以|ab|.16. (1) O为BD的中点，F为PD的中点，所以PBFO.因为PB平面OEF，FO平面OEF，所以PB平面OEF.(2) 连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC与BD交于点O，O为AC的中点因为E为PC的中点，所以PAOE.因为PAAB，PAAD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PA平面ABCD，所以OE平面ABCD.因为OE平面OEF，所以平面OEF平面ABCD.17. (1) 因为Q为弧A
9、B的中点，由对称性，知PAPB，AOPBOP，又APO，OAP，由正弦定理，得，又OA2，所以PA，OP，所以yPAPBOP2PAOP，因为APQAOP，所以，OAQOQA()，所以.(2) 令f()，f()0，得，f()在区间上单调递减，在区间(，)上单调递增，所以当，即OP千米时，f()有唯一的极小值，即是最小值，则f()min2.答：当工作坑P与O的距离为千米时，地下电缆管线的总长度最小18. (1) 依题意，得解得所以b，所以椭圆C的方程为1.(2) 由(1)知，A(2，0)，设AB：xmy2，m0，联立解得或即B(，)，则P(，)，所以kOP，OP：yx.因为ABBQ，所以kBQm，
10、所以直线BQ的方程为BQ：ymx，联立得x08(4，8)19. (1) 由题意可知，f(x)f对x(0，1)(1，)恒成立，不妨取x(0，1)，则f(x)f恒成立，即a，经验证，a符合题意(2) 设A(t，t2)，B(t0且t1)，因为f(x)2x，所以A，B两点处的切线方程分别为y2txt2，yx，令2txt2x，解得x(，1)(1，)，所以“优点”的横坐标取值范围为(，1)(1，)(3) 设A(t，ln t)，b，t(0，1)，因为f(x)，所以A，B两点处的切线方程分别为yxln t1，ytxln t1，令xln t1txln t1，解得x0，所以yln t1(ln t)，设h(m)ln
11、 m，m(0，1)，则h(m)0，所以h(m)单调递增，所以h(m)h(1)0，即ln t0.因为0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限20. (1)令n2，得4S39S2S1ra1，即4(a3a2a1)9(a2a1)a1ra1，化简，得4a35a24a1ra1.因为2a1a2a3，a23a1，所以45a153a14a1ra1，解得r1.(2) 假设数列an是等比数列，公比为q，则由2a1a2a3得2a1a1qa1q2，且a10，解得q2或q1，由2nSn1(2n5)SnSn1ra1，得4Sn2nan1anra1(n2)，所以4Sn12(n1)anan1ra1(n3)，两式相减，
12、整理得2nan1an1(2n3)an，两边同除以an1，可得2n(q2q)3q1.因为q2或1，所以q2q0，所以上式不可能对任意n3恒成立，故数列an不可能是等比数列(3) r1时，令n2，整理得4a15a24a3a1，又由2a1a2a3可知a23a1，a35a1，令n3，可得6S411S3S2a1，解得a47a1，由(2)可知4Sn2nan1ana1(n2)，所以4Sn12(n1)anan1a1(n3)，两式相减，整理得2nan1an1(2n3)an(n3)，所以2(n1)anan2(2n1)an1(n4)，两式相减，可得2n(an1an)(anan1)(anan1)(an1an2)(n4
13、)因为(a4a3)(a3a2)0，所以(anan1)(an1an2)0(n4)，即anan1an1an2(n4)，又因为a3a2a2a12a1，所以数列an是以a1为首项，2a1为公差的等差数列21. A. 将2代入2(x1)(x5)0，得x3，B. 由题意得曲线C的直角坐标方程为(x1)2y24.将直线l的参数方程代入(x1)2y24得4，即4t24t30，解得t1，t2，则AB|t1t2|2.C. 因为3a2bc1，所以(2aabbc)()2(11)264，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为64.22. (1) 以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则
14、A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C1(1，1，3)，所以(1，0，3)，(1，1，3)，所以cos，.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以(1，0，3)，(1，1，3)，(1，1，3)，(0，1，0)，设平面A1BC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，则n1(3，0，1)设平面AC1D的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令z21，则n2(3，0，1)，所以cosn1，n2，所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为.23. (1) 当n2时，f2(x)f1(1|2x1|)f(1|2x1|)1|2(1|2x1|)1|1，所以2(1|2x
15、1|)1，所以1|2x1|，所以2x1，所以x或x，所以g2(1)2.(2) 因为f(0)f(1)0，所以fn(0)fn(1)0.因为f1(x)1|2x1|0，1，当x时，f1(x)单调递增，且f1(x)(0，1，当x时，f1(x)单调递减，且f1(x)0，1)下面用数学归纳法证明：方程fn(x)0(x(0，1)、方程fn(x)1(x(0，1)、方程fn(x)0(x0，1)、方程fn(x)1(x0，1)的根的个数都相等，且为gn(1)() 当n1时，方程f1(x)0(x(0，1)、方程f1(x)1(x(0，1)、方程f1(x)0(x0，1)、方程f1(x)1(x0，1)的根的个数都相等，且为1
16、，上述命题成立() 假设nk时，方程fk(x)0(x(0，1)、方程fk(x)1(x(0，1)、方程fk(x)0(x0，1)、方程fk(x)1(x0，1)的根的个数都相等，且为gk(1)，则当nk1时，有fk1(x)fk(f1(x)当x时，f1(x)(0，1，方程fk1(x)0的根的个数为gk(1)当x时，f1(x)0，1)，方程fk1(x)0的根的个数也为gk(1)所以方程fk1(x)0(x(0，1)的根的个数为gk1(0)2gk(1)，同理可证：方程fk1(x)1(x(0，1)、方程fk1(x)0(x0，1)、方程fk1(x)1(x0，1)的根的个数都相等，且为2gk(1)，由()()可知，命题成立，又因为fn(0)fn(1)0，所以gn(0)gn(1)1.- 15 -
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