1、专题21空间几何体的内切球、外接球问题一、单选题1. 设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则()A. B. C. D. 2. 在三棱柱中，底面，且若三棱柱存在内切球，则()A. B. C. D. 3. 九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”现有一“阳马”，平面，的面积为，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为()A. B. C. D. 4. 九章算术是中国古代第一部数学专著，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就其中卷五“商功”中记载“今有鳖臑下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺”即“现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽尺而无长，上底长尺而无宽
2、，高尺”，如图，则此三棱锥外接球的表面积是()A. B. C. D. 5. 如图，在几何体中，底面是正方形，平面，其余棱长都为，则这个几何体的外接球的体积为()A. B. C. D. 6. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且个顶点在同一个平面内，如果是边长为的正方形，则这个八面体的内切球的体积为()A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为()A. B. C. D. 8. 已知正方体的外接球的体积为，若，分别为棱，的中点，则三棱锥内切球的半径为()A. B. C. D. 9. 在中，现以为旋转轴旋转得到一个旋转
3、体，则该旋转体的内切球的体积为A. B. C. D. 10. 如图，在三棱锥中，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为()A. B. C. D. 二、多选题11. 如图，有三个球，球内切于正方体，球与正方体的所有棱都相切，球外接于正方体已知三个正方体的棱长都为，三个球、半径依次为、，表面积依次为、，体积依次为、则()A. B. C. D. 12. 如图，在三棱锥中，平面，则下列结论正确的有()A. 三棱锥的表面积B. 三棱锥的体积C. 三棱锥的外接球表面积D. 三棱锥的内切球体积三、填空题（本大题共14小题，共70.0分）13. 在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，则该四棱台的表面
4、积为；该四棱台外接球的体积为14. 在一次数学探究活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面为矩形，半圆面底面经研究发现，当点在半圆弧上不含，点运动时，四棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的体积为15. 在四面体中，底面，、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则该四面体外接球的表面积为；该四面体体积的最大值为16. 已知等边的边长为，将其绕着边旋转角度，使点旋转到位置记四面体的内切球半径和外接球半径依次为，当四面体的表面积最大时，17. 在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，设该阳马的外接球半径为，内切
5、球半径为，则18. 在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为19. 如图，在三棱台中，平面平面，则该三棱台外接球的表面积为20. 已知棱长为的正方体，为棱的中点，动点在面包括边界上运动，且的体积为，当最大时，三棱锥外接球的表面积是 21. 如图，在四面体中，和都是等腰直角三角形，平面平面，则四面体外接球的表面积为22. 如图，将一个圆柱等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比远圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积为，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为23. 已知正
6、四棱锥的底面边长为，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为24. 如图，二面角的平面角的大小为，则四面体的外接球表面积为25. 在四棱锥中，且，若该四棱锥存在半径为的内切球，则26. 在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，且，分别为上靠近点和点的两个四等分点，线段包括端点上存在点使得，则三棱锥的外接球表面积的最大值为答案和解析1.【答案】解：设在底面的射影为，为的中点，连接，设正的边长为，则，化简可得，故本题选D2.【答案】解：设三棱柱内切球的半径为，则，利用等体积化简得，故，故答案为：3.【答案】解：如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同因为长方体外接球的半
7、径，所以该“阳马”外接球的表面积为：，当且仅当时取等号故选C4.【答案】解：把三棱锥补成如图所示长方体，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，设外接球的直径为，则，所以三棱锥外接球的表面积是故选A5.【答案】解：取的中点，连接，平面，平面平面，平面，即，又，四边形为菱形，同理，易得，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，这个几何体的外接球的体积为故选D6.【答案】解：因为八面体的表面积为，八面体的体积为，设内切球半径为，则，得，所以内切球的体积为，故选D7.【答案】解：根据题意，作出图形，如图所示，设三棱锥的外接球的球心为，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点
8、为，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，又因为二面角的大小为，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为8.【答案】解：设正方体外接球的半径为，由正方体的外接球的体积为，得设正方体的棱长为，则，得根据题意得，因为，所以，又因为，所以平面，所以三棱锥的表面积设三棱锥内切球的半径为，根据等体积法得，即，故选B9.【答案】解：如图所示，旋转体的轴截面是边长为的菱形，为内切球的球心，因为，所以，所以内切球的半径，故，故选A10.【答案】解：由，则三棱锥为正四面体，设其棱长为，内切球半径为，则由内切球的表面积为，得，解得；设正四面体的底面中心为，的中点为，
9、则，且底面，如图所示，所以，于是由，得，所以，则此三棱锥的体积故本题选D11.【答案】解：由正方体的棱长为，则它的内切球的半径为，正方体的面对角线长为，则正方体的棱切球的半径为，正方体的体对角线长为，则它的外接球的半径为，其内切球、棱切球、外接球的半径比：故A错误，所以，故B正确；，故C正确；，故D错误，故选BC12.【答案】解：因为平面，所以，所以，作，则，则，所以，取中心，作，则球心在上，且，则，所以，所以；设内切球的半径为，根据等体积法，得，则，故D错误；故选：13.【答案】解：在等腰梯形中，过作，垂足为，易求，则四棱台的表面积为设，由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥如图，因为，可知与相
10、似比为；则，则，则，即该四棱台的高为由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上，由于，则，即点到点与到点的距离相等，同理到，的距离均为，于是为外接球的球心，且外接球的半径，故该四棱台外接球的体积为故答案为：；14.【答案】解：由题意，为直角三角形，取中点，则，取矩形的中心，连接，则，面底面，且面底面，面，平面，可得到四棱锥各顶点的距离相等，为四棱锥的外接球的球心，半径，所以该外接球的体积为故答案为15.【答案】解：利用长方体模型，因为四面体的所有面均为直角三角形，因此取长方体的四个顶点作为四面体的顶点，如图所示，所以该四面体外接球半径为：所以该四面体外接球的表面积为：由图知，即当且
11、仅当时取等号故答案为：，16.【答案】解：显然当时，四面体的表面积最大，此时，故应填当四面体的表面积最大时易知四面体的表面积最大值为，设的中点为，易知，即为四面体的外接球球心，四面体的外接球半径，且，易知平面，不难求得四面体的体积为，又，解得，故应填17.【答案】解：四棱锥为阳马，侧棱底面，且，设该阳马的外接球半径为，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，内切球半径为故故答案为：18.【答案】解：连结，取中点，设上点到点距离，的中点为，过作垂直平面，设，为三棱锥的外接球的球心，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，则三棱锥外接球半径，整理得，所以，当且仅当时取得最小
12、值，三棱锥外接球表面积的最小值为故答案为19.【答案】解：在三棱台中，可得，都是等腰三角形，四边形为等腰梯形即，如图，取与中点，连接， 则可得，又平面平面，两面交线为，所以平面，因为，平面平面，所以球心必在直线上，所以在直角梯形中可求得，由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线上，设球的半径为，球心为，则，解得，所以球心恰好为点，所以球的半径为，所以该三棱台外接球的表面积为故答案为： 20.【答案】解：由为棱的中点可得，设点到平面的距离为，则，建立如图所示空间直角坐标系设，则设平面的一个法向量为则，令，则，当时，取最大值，即为棱上靠近的四等分点，即设三棱锥的外接球的球心为，则，由可得，
13、故三棱锥外接球的表面积是21.【答案】解：取中点，中点，连结、，四面体中，三角形和三角形都是等腰直角三角形，且二面角的大小为，是二面角的平面角，则点为外接圆的圆心，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，且直线与直线交于点，则点为四面体外接球的球心，易知和重叠，则四面体的外接球半径为，因此，球的表面积为故答案为：22.【答案】解：设圆柱的底面半径为，高，外接球半径，则即，所以圆柱的侧面积为，即，当且仅当时取等号，此时外接球的表面积最小，故答案为：；23.【答案】解：为正四棱锥，为正方形，四个侧面均全等，设内切球半径为，由等体积法有，作，则，有，过点作平面，则必为与的交点，又，由对
14、称性，球与四个面的切点均在一个平面上，且分析知该平面平行于平面，连接球心与、，则平面，平面，由上述分析知，易知点在上，点在上，在中，又，均为中点，在中，故答案为24.【答案】解：在中， 所以根据余弦定理可得：，设的外接圆的半径为，则，所以，在中，所以，设的外接圆的半径为，则，所以，作，所以为二面角的平面角，即，所以，所以，设四面体的外接球的球心为，球半径为，则，所以，所以四面体的外接球表面积为故答案为25.【答案】解：如图取点，使，四棱锥为正四棱锥，设，四棱锥内切球到侧面距离为，可推出即为球心，再使到的距离为，即到的距离为如图所示，由题知：，26.【答案】解：因为底面是边长为的菱形，且，三角形为等边三角形，取的中点，连接，由题意可得，且，由题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别以为轴，为轴，为轴，以为坐标原点，设，则由题意可得，由题意可得，因为，所以，即，整理得：，可得，由上面可得：，即，解得：，在中，由题意可得：，设底面三角形的外接圆的半径为，则，所以，由一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心为中截面与过底面外接圆的圆心做底面的垂线的交点，设球的半径为，则，所以外接球的表面积，所以外接球的表面积的最大值为故答案为：