1、第11讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1(nQ*)f(x)sin x
2、f(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积做一做1函数yxcos xsin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos x Dxcos x解析：选B.yxcos xx(cos x)(si
3、n x)cos xxsin xcos xxsin x.2(2014高考江西卷)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析：设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2，2)答案：(ln 2，2) 1辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别2导数运算的技巧(1)要准确
4、地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导做一做3(2015保定市高三调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析：选C.yln x的定义域为(0，)，设切点为(x0，y0)，则kf(x0)，切线方程为yy0(xx0)，又切线过点(0
5、，0)，代入切线方程得x0e，y01，kf(x0).4函数y的导数为_解析：y，y.答案：,学生用书P41P42)_导数的运算_求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.(5)令u2x5，yln
6、u，则y(ln u)u2，即y.规律方法导数计算的原则和方法：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导1.求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(1sin x)2.解：(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y2(1sin x)(1sin x)2(1sin x)cos x._导数的几何意义(高频考点)_导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有
7、选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点；(3)已知切线方程求参数值(1)(2015山东青岛模拟)曲线yx32x在(1，1)处的切线方程为()Axy20Bxy20Cxy20 Dxy20(2)(2014高考课标全国卷改编)设曲线yaxln x在点(1，0)处的切线方程为y2x，则a() A0 B1C2 D3 (3)设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln 2 Bln 2C
8、. D解析(1)由已知，点(1，1)在曲线yx32x上，所以切线的斜率为y|x1(3x22)|x11，由直线方程的点斜式得xy20，故选A.(2)令f(x)axln x，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(1，0)处的切线的斜率为f(1)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.(3)函数f(x)exaex的导函数是f(x)exaex.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，即exaex(exaex)，则ex(1a)ex(a1)，所以(e2x1)(1a)0，解得a1.所以f(x)exex.令exex，解得ex2或ex(舍去，因为ex0)，所以xln 2.答案(1)A(2)D(3)A规律
9、方法(1)求曲线切线方程的步骤：求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)求曲线的切线方程需注意两点：当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解2.(1)(2015广东肇庆模拟)若曲线yx2x的某一切线与直线y4x3平行，则切线方程为_(2)(2015云南省调研)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：(1)设切点为(x0，y0)，切线的斜率k
10、y|xx03x01，3x014x01.又y0xx02，则切点为(1，2)，故切线的方程为y24(x1)y4x2.(2)f(x)，则f(1)4，故该切线方程为y4x2，切线在x，y轴上的截距分别为，2，故所求三角形的面积为.答案：(1)y4x2(2),学生用书P42)交汇创新导数与线性规划的交汇(2013高考江苏卷)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_解析 由于y2x，所以抛物线在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.画出可行域(如图)设x2yz，则yxz，可知当直线yxz经过点A(，
11、0)，B(0，1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax，最小值zmin2，故取值范围是2， 答案2，名师点评(1)本题以yx2在x1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x2y的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用(3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇(2015湖北武汉高三月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log 2 015x1log2 015x2log2 015x2 014的值为_解析：f(
12、x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.x1x2x2 014.则log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014log2 015(x1x2x2 014)log2 0151.答案：11函数yx2cos x在x1处的导数是()A0B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1 D1解析：选B.y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，y|x12cos 1sin 1.2(2015河南郑州第一次质量预测)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A3
13、B2C1D.解析：选A.设切点坐标为(x0，y0)，且x00，由yx，得kx02，x03.3已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数Df(x)g(x)为常数函数解析：选C.由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C为常数)4设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1B.C2 D2解析：选A.y，y|x1，由条件知1，a1，故选A.5若函数f(x)cos x2xf，则f与f的大小关系是
14、()Aff BffCf0，f(x)cos xx在上是增函数，又，f0.a1，f(1).2曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21(x1，2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为()A.B.C.D.解析：选B.设P(x0，x1)，x01，2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x1.设g(x)2x0(xx0)x1，则g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，S普通梯形1x3x01，点P坐标为时，S普通梯形最大3已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3
15、(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 016_解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 0165040.答案：04(2015浙江宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数
16、以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：中，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin0在区间上恒成立；中，f(x)2(x0)，f(x)0在区间上恒成立；中，f(x)3x22，f(x)6x在区间上恒小于0.故为凸函数中，f(x)exxex，f(x)2exxexex(x2)0在区间上恒成立，故中函数不是凸函数答案：5已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐
17、标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标
18、为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.6(选做题)已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有：曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以两条切线不是同一条直线