1、2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1函数y=的定义域为（）A（2，1）B2，1C（0，1）D（0，12已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）ABCD3阅读如图的程序框图若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A12，2B12，3C24，2D24，34已知等比数列an中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A162B42C22D25已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），COB=，则tan
2、=（）ABCD6一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A8B4CD7设F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若ABC的面积为，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD8设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=axy取得最小值，则实数a的取值范围是（）A1，1B（，1）C（0，1）D（，1）（1，+）来源:学科网9已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016
3、）成立，则的最小值为（）ABCD来源:学科网ZXXK10若函数f（x）=loga（x32x）（a0且a1）在区间（，1）内恒有f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（）A（，），（，+）B（，），（，+）C（，），（，+）D（，）11已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上， =0（其中O为坐标原点），则ABO与BFO面积之差的最小值是（）A4B8C8D1612已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（mR）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A（4，e）B（4，3）C（e，3）D（e，+）二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分13在
4、ABC中，A=90，AB=3，AC=2， =2，则=14已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60，则多面体EABCD的外接球的表面积为15已知函数f（x）=x，则方程f（x1）=f（x23x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为16设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（填写所有正确命题的序号）若sinAsinB=2sin2C，则0C；若a+b2c，则0C；若a4+b4=c4则ABC为锐角三角形； 若（a+b）c2ab，则C三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列
5、an的前n项和为Sn，Sn=2an+n3，nN*（1）证明数列an1为等比数列，并求an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn18如图，在ABC中，B=30，AC=2，D是边AB上一点（1）求ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，ACD的面积为4，ACD为锐角，求BC的长19如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2（1）求证：ACBF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20已知椭圆C1； +=1（ab0）与椭圆C2： +y2=1有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直
6、线l，与椭圆C2相交于P、Q两点，与椭圆C1相交于A、B两点（1）若直线y=x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：（2）若存在直线l，使得=，求b的取值范围21已知函数f（x）=lnx，曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线平行于直线y=10x+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？【选修4一1：几何证明选讲】22如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点
7、E，交直线AD于点F（1）求证：PEC=PDF；（2）求PEPF的值【选修4一4：坐标系与参数方程】23（2015秋洛阳月考）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos+1=0（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围【选修4一5：不等式选讲】24（2015德宏州校级三模）设关于x的不等式|x2|a（aR）的解集为A，且A，A（1）xR，|x1|+|x3|a2+a恒成立，且a
8、N，求a的值（2）若a+b=1，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1函数y=的定义域为（）A（2，1）B2，1C（0，1）D（0，1【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：0x1，故选：C【点评】本题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质以及对数函数的性质，是一道基础题
9、2已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；对应思想；分析法；数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共扼复数可求【解答】解：由z=，得故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共扼复数的求法，是基础题3阅读如图的程序框图若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A12，2B12，3C24，2D24，3【考点】设计程序框图解决实际问题；程序框图【专题】常规题型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数a及相应的i值
10、【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数及相应的i值m=4，n=6a=12则a=12=43故i=3故答案为B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模4已知等比数列an中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A162B42C22D2【考点】定积分；等比数列的通项公式【专题】计算题；转化思
11、想；转化法；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】先利用定积分的几何意义计算定积分dx的值，然后利用等比数列的性质进行化简整理，可得结论【解答】解：dx，表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的二分之一，dx=4=2，a5+a7=2，等比数列an，a6（a4+2a6+a8）=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=42故选：B【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，以及等比数列的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题5已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），COB=，则tan=（）ABCD【考
12、点】任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】设直线OA的倾斜角为，则tan=，再根据=+，求得tan=tan（+）的值【解答】解：由题意，设直线OA的倾斜角为，则tan=，=+，tan=tan（+）=，故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正切公式的应用，属于基础题6一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A8B4CD【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体【解答】解：由三视图可知几何体为正四棱柱中挖去一个正四
13、棱锥得到的几何体，V=223223=8故选A【点评】本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题7设F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若ABC的面积为，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用ABC的面积为c2，求出双曲线的渐近线的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得c=a，即可求出该双曲线的离心率【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，即为bxay=0，则A（a，0）到渐近线的距离为d=，由题意，A
14、BC的面积为c2，则2c=c2，即为4a2b2=c4，即有4a2（c2a2）=c4，即有c2=2a2，即c=a，则e=故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题8设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=axy取得最小值，则实数a的取值范围是（）A1，1B（，1）C（0，1）D（，1）（1，+）【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数可得y=axz，其中直线斜率为a，截距为z，由题意可得a的范围【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影）
15、，变形目标函数可得y=ax+z，其中直线斜率为a，截距为z，z=axy取得最小值的最优解仅为点A（4，4），直线的斜率a1，即实数a的取值范围为（，1）故选：B【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题9已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）
16、=sin（2x+）+，再根据2016，求得的最小值【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016）是函数f（x）的最大值显然要使结论成立，只需保证区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可又f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，故2016，求得，故则的最小值为，故选：C【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题10若函数f（x）=loga（x32x）（a0且a1）在区间（，1）内恒有f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（）A（，），（，+）B（，），（，+）C（，），（，
17、+）D（，）【考点】复合函数的单调性【专题】转化思想；消元法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】求函数的定义域，利用换元法结合条件判断a的取值范围，利用复合函数和导数即可求出函数单调递减区间【解答】解：设t=g（t）=x32x，由t=0得x（x22）=0，则x=0，或x=或x=，由x32x0得x0或x，g（t）=3x22，当x1时，g（t）0，此时函数g（t）为增函数，则0g（t）1，若a1，则y=logat0恒成立，则不满足条件f（x）0，若0a1，则y=logat0恒成立，满足条件，即0a1，要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t=g（t）=x32x的递增区间，由g（t）=3x2
18、20得x或x，x0或x，x或x，即函数f（x）的单调递减区间为（，），（，+），故选：B【点评】本题主要考查函数单调区间的求解决，利用换元法以及导数法是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力11已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上， =0（其中O为坐标原点），则ABO与BFO面积之差的最小值是（）A4B8C8D16【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出A，B的坐标，讨论直线斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由=0，得x1x2+y1y2=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得直线恒
19、过（4，0），再考虑斜率不存在，结论成立，即可得出结论【解答】解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设A在上方，（1）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k0且b0联立方程，消去y得k2x2+（2kb4）x+b2=0，则x1x2=，由y12=4x1，y22=4x2，则y1y2=4，又=0，则x1x2+y1y2=0，即+4=0，解得b=0（舍去）或b=4k，故直线l的方程为：y=kx4k=k（x4），故直线过定点（4，0），（2）当直线l斜率不存在时，设它的方程为x=m，显然m0，联立方程解得y=2，即y1y2=4m来源:学*科*网又因为=0，所以可得x1x2+
20、y1y2=0，即m24m=0，解得m=0（舍去）或m=4可知直线l方程为：x=4，故直线过定点（4，0）设AB的方程为x=my+4，代入y2=4x，可得y24my16=0，y1y2=16；SABO=4（y1y2），SBOF=（y2），SABOSBOF=2y1y2=2y1+2=8故选：C【点评】本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于中档题12已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（mR）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A（4，e）B（4，3）C（e，3）D（e，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】转化
21、思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，利用换元法，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论【解答】解：f（x）=，由x0时，f（x）=的导数为f（x）=，可得x1，f（x）递增，0x1时f（x）递减，x=1处取得极小值e；当x0时，f（x）=的导数为f（x）=，可得x0时f（x）递增，作出函数f（x）对应的图象如图：设t=f（x），方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0等价为t2+（m+1）t+m+4=0，由题意结合图象可得0，且0t1e且t2e，即有（m+1）24（m+4）0，解得m5或m3，由f（t）=t2
22、+（m+1）t+m+4，可得f（0）0，f（e）0，即为m4，me，由可得4me故选：A【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分13在ABC中，A=90，AB=3，AC=2， =2，则=6【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，由向量共线的知识可得=+，再由向量的数量积的性质即可得到所求值【解答】解：A=90，AB=3，AC=2，可得=0，=2，即为=2（
23、），即有=+，则=（+）=+2=0+9=6故答案为：6【点评】本题考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查向量共线的表示，考查运算能力，属于中档题14已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60，则多面体EABCD的外接球的表面积为16【考点】球的体积和表面积【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AEB=60，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（d）2，求出R2=4，即可求出多面体EABCD
24、的外接球的表面积【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AEB=60，E到平面ABCD的距离为，R2=（）2+d2=12+（d）2，d=，R2=4，多面体EABCD的外接球的表面积为4R2=16故答案为：16【点评】本题考查多面体EABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体EABCD的外接球的半径是关键15已知函数f（x）=x，则方程f（x1）=f（x23x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为7【考点】函数的零点与方程根的关系；子集与真子集【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由
25、题意可判断函数f（x）是R上的偶函数，且可判断在0，+）上是增函数；从而可得x1=x22x+1或x1=（x22x+1），从而解得，即可求出子集的个数【解答】解：f（x）=xf（x）=（x）（）=x（）=x=f（x），函数f（x）是R上的偶函数，f（x）=+，当x0时，f（x）0；故函数f（x）在0，+）上是增函数；f（x1）=f（x22x+1），x1=x22x+1或x1=（x22x+1），x=1或x=2或x=0，所有实根构成的集合的非空子集个数为231=7故答案为：7【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，关键是判断函数的单调性，属于中档题来源:学科网16设ABC的内角A，B
26、，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（填写所有正确命题的序号）若sinAsinB=2sin2C，则0C；若a+b2c，则0C；若a4+b4=c4则ABC为锐角三角形； 若（a+b）c2ab，则C【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，整理可得：cosC=，利用余弦函数的图象和性质可得0C，命题正确；利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC，从而证明C；由题意可得 （a2+b2）2c4 =2a2b20，ABC中，由余弦定理可得
27、 cosC=0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为ABC的最大角，从而得出结论只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；【解答】解：若sinAsinB=2sin2C，由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，整理可得：cosC=，则0C，命题正确；a+b2ccosC=C，故正确；ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4=c4，（a2+b2）2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2（a2+b2）2c4 =2a2b20又 （a2+b2）2c4 =（a2+b2+c2）（a2+b2c2），（a2+b2c2）0ABC中，由余弦定理可
28、得 cosC=0，故角C为锐角再由题意可得，c边为最大边，故角C为ABC的最大角，ABC是锐角三角形，命题正确；取a=b=2，c=1，满足（a+b）c2ab得：C，故错误；故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，考查了转化思想，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an+n3，nN*（1）证明数列an1为等比数列，并求an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】证明题；转化思想；综合法
29、；等差数列与等比数列【分析】（1）由Sn=2an+n3，nN*，得Sn1=2an1+n13，两式相减，得an=2an11，由此能证明数列an1是以1为首项，以2为公比的等比数列并能求出an的通项公式（2）由nan=n2n1+n，利用分组求和法和错位相减法能求出数列nan的前n项和【解答】证明：（1）数列an的前n项和为Sn，Sn=2an+n3，nN*，a1=S1=2a1+13，解得a1=2，当n2时，Sn1=2an1+n13，得an=2an11，an1=2（an11），又a11=1，数列an1是以1为首项，以2为公比的等比数列，解：（2）nan=n2n1+n，数列nan的前n项和：Tn=120
30、+22+322+n2n1+（1+2+3+n）=120+22+322+n2n1+，2Tn=12+222+323+n2n+n（n+1），得：Tn=1+2+22+23+2nn2n=，Tn=（n1）2n+1+【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用18如图，在ABC中，B=30，AC=2，D是边AB上一点（1）求ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，ACD的面积为4，ACD为锐角，求BC的长【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（1）由余弦定理得ABBC=20（2+），由
31、此能求出ABC的面积的最大值（2）设ACD=，由三角形面积得到sin=，cos，由余弦定理，得AD=4，由正弦定理，得，由此能求出BC的长【解答】解：（1）在ABC中，B=30，AC=2，D是边AB上一点，由余弦定理得：AC2=20=AB2+BC22ABBCcosABC=（2）ABBC，ABBC=20（2+），ABC的面积的最大值为（2）设ACD=，在ACD中，CD=2，ACD的面积为4，ACD为锐角，=4，sin=，cos，由余弦定理，得AD2=AC2+CD22ACCDcos=20+48=16，AD=4，来源:学,科,网Z,X,X,K由正弦定理，得，此时，BC=BC的长为4【点评】本题考查三
32、角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用19如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2（1）求证：ACBF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离【分析】（1）由已知得AF平面ABCD，AFAC，过A作AHBC于H，由勾股定理得ACAB，由此能证明ACBF（2）分别以方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A
33、xyz，利用向量法能求出在线段BE上存在一点P，使得平面PAC平面BCEF， =【解答】证明：（1）平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，AFAD，AF平面ADEF，AF平面ABCD，AC平面ABCD，AFAC，过A作AHBC于H，则BH=1，AH=，CH=3，AC=2，AB2+AC2=BC2，ACAB，AC平面FAB，ACBF解：（2）由（1）知AF、AB、AC两两互相垂直，分别以方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（1，2），假设在线段BE上存在一点P满足题意，设=，（0），则P（，），设平面PA
34、C的一个法向量为=（x，y，z），由=（，），=（0，2，0），得：，取x=1，得，设平面BCEF的法向量，=（2，2，0），=（3，2），则，取a=1，得=（1，1），平面PAC平面BCEF，=1+0+=0，解得，在线段BE上存在一点P，使得平面PAC平面BCEF， =【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用20已知椭圆C1； +=1（ab0）与椭圆C2： +y2=1有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直线l，与椭圆C2相交于P、Q两点，与椭圆C1相交于A、B两点（1）若直线y=x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：
35、（2）若存在直线l，使得=，求b的取值范围【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设P（2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，可得=0，与椭圆C2联立解出，即可得出直线l的方程（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=设2c是椭圆C1； +=1（ab0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）分别与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用弦长公式即可得出【解答】解：（1）设P（2，0），Q（x，y
36、），线段PQ的中点M为，=0，化为x+y=2联立，解得，或直线l的方程为：y=0，或y0=（x+2），化为x4y+2=0（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=设2c是椭圆C1； +=1（ab0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，可得a=2b，c=b，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0，x3+x4=，x3x4=，|PQ|=联立，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k24b2=0，x1+x2=，x1x2=|AB|=，=3，3=化
37、为：b2=1+（1，9，b（1，3b的取值范围是（1，3【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知函数f（x）=lnx，曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线平行于直线y=10x+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？【考点】变化的快慢与变化率【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用【分析】（1）求导函数，利用曲
38、线y=f（x）在点（，f（）处的切线平行于直线y=10x+1，求出a，再确定导数恒大于0，从而可得求函数f（x）的单调区间；（2）先求直线l为函数的图象上一点A（x0，y0）处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）=ex相切于点（x1，），进而可得lnx0=，再证明在区间（1，+）上x0存在且唯一即可【解答】解：（1）函数f（x）=lnx，f（x）=+，曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线平行于直线y=10x+1，f（）=2+8a=10，a=1f（x）=x0且x1，f（x）0函数（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+）（5分）（2）证明：y=lnx，切线l的方程为ylnx0=（xx0）
39、即y=x+lnx01，（6分）设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），g（x）=ex，=，x1=lnx0（8分）直线l也为y=（x+lnx0），即y=x+，（9分）由得lnx01=+，lnx0=（11分）下证：在区间（1，+）上x0存在且唯一由（1）可知，f（x）=lnx在区间（1，+）上递增又f（e）=0，f（e2）=0，（13分）结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强【选修4一1：几何证明选讲】22如图，圆O的
40、直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F（1）求证：PEC=PDF；（2）求PEPF的值【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；立体几何【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：PEC=PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PEPF的值【解答】（1）证明：连结BC，AB是圆O的直径，ACB=APE=90，P、B、C、E四点共圆PEC=CBA 又A、B、C、D四点共圆，CBA=PDF，PEC=PDF（5分）（2）解：PEC=P
41、DF，F、E、C、D四点共圆PEPF=PCPD=PAPB=212=24（10分）【点评】本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题【选修4一4：坐标系与参数方程】23（2015秋洛阳月考）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos+1=0（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方
42、程【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程为x2+y26x+1=0，将直线l的参数方程代入x2y26x1=0，得t28tcos+8=0，再利用根的判别式能求出的取值范围（2）曲线C的参数方程为，（为参数），由此利用三角函数性质能求出x+y的取值范围【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为26cos+1=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y26x+1=0，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2y26x1=0，整理，得t28tcos+8=0，直线l与曲线C有公共点，=64cos2320，即cos，或cos，0，），的取值范围是0，）（2）曲线C的直角坐标方程
43、x2+y26x+1=0可化为（x3）2+y2=8，其参数方程为，（为参数），M（x，y）为曲线C上任意一点，x+y=3+2cos+2=3+4sin（），x+y的取值范围是1，7【点评】本题考查角的取值范围的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用【选修4一5：不等式选讲】24（2015德宏州校级三模）设关于x的不等式|x2|a（aR）的解集为A，且A，A（1）xR，|x1|+|x3|a2+a恒成立，且aN，求a的值（2）若a+b=1，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式【专题】计算题；函数的性质
44、及应用；不等式的解法及应用；集合【分析】（1）由A，A可得a，再由绝对值不等式的性质可得|x1|+|x3|的最小值为2，结合恒成立思想，可得a2+a2，解出不等式，求交集，再由aN，即可得到a；（2）由条件可得+=+，对b讨论，分b0，b0，运用基本不等式求出最小值，比较即可得到所求最小值，同时求出取等号的a的值【解答】解：（1）关于x的不等式|x2|a（aR）的解集为A，且A，A，则a|2|且a|2|，即有a，xR，|x1|+|x3|（x1）（x3）|=2，即有|x1|+|x3|的最小值为2，xR，|x1|+|x3|a2+a恒成立，即有a2+a2，解得2a1，由可得a1，由aN，则a=1；（2）若a+b=1，则+=+，当b0时， +=+（+）+2=，当且仅当=，即a=（，b=时，取得最小值，且为；当b0时， +=+（+）+2=，当且仅当=，即a=（，b=时，取得最小值，且为综上可得，当a=时， +取得最小值，且为【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题
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