1、第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),令a=CA,b=CB,则a+b的坐标为()A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)解析:CA=(-1,0,-2),CB=(-4,9,0),故a+b=CA+CB=(-5,9,-2).答案:B2.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任意一点O,下列条件能确定点M与点A,B,C一定共面的是()A.OM=OA+OB+OCB.OM=2O
2、A-OB-OCC.OM=OA+12OB+13OCD.OM=13OA+13OB+13OC解析:根据共面向量定理的推论,点M与点A,B,C四点共面OM=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1,故选D.答案:D3.已知空间四边形ABCD,G是CD的中点,连接AG,则AB+12(BD+BC)=()A.AGB.CGC.BCD.12BC解析:在BCD中,G是CD的中点,BG=12(BD+BC),AB+12(BD+BC)=AB+BG=AG,故选A.答案:A4.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是()A.3210,4210,-22和-3210,-4210,22B.3210,4210,-22C.-3210
3、,-4210,22D.3210,4210,22和-3210,-4210,-22解析:所求的单位向量e与(-3,-4,5)方向相同或相反,且|e|=1,求得3210,4210,-22和-3210,-4210,22.答案:A5.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则a与b的夹角为()A.0B.45C.90D.180解析:cos=ab|a|b|=2-256=0,又0,180,=90.答案:C6.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,能使l的是()A.a=(1,0,1),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.
4、a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l,则an=0,只有选项D中an=0.答案:D7.在ABC中,AB=9,AC=15,BAC=120,ABC所在平面外一点P到三个点A,B,C的距离都是14,则点P到平面的距离为()A.7B.9C.11D.13解析:由PA=PB=PC,知点P在平面ABC内的投影点O为ABC的外心.又AB=9,AC=15,BAC=120,由余弦定理,得BC=21,则ABC的外接圆的半径OA=BC2sin120=73,所以PO=142-(73)2=7.答案:A8.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,ABC=90,点E,F分别是棱AB,BB1
5、的中点,则直线EF与BC1所成的角是()A.45B.60C.90D.120解析:如图所示,以点B为坐标原点,直线BC,BA,BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2),B(0,0,0),则EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),故cos=2222=12,所以直线EF与BC1所成的角为60.答案:B9.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,BAD=90,BAC=60,则ABCD等于()A.-2B.2C.-23D.23解析:ABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC=|AB|AD|co
6、s 90-|AB|AC|cos 60=22cos 90-22cos 60=-2.答案:A10.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为()A.104 B.66 C.62 D.102解析:如图所示,以B为坐标原点,过点B且垂直平面BCC1B1的直线为x轴,直线BC,BB1分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,则C1(0,1,1),A32,12,0,AC1=-32,12,1.平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值sin =|AC1n|AC1|n|=322
7、1=64,cos =1-sin2=104.答案:A11.如图所示,在四面体P-ABC中,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面ACP的夹角的余弦值为()A.22B.33C.-77D.57解析:如图所示,作BDAP于点D,作CEAP于点E.设AB=1,则易得CE=22,EP=22,PA=PB=2,可以求得BD=144,ED=24.BC=BD+DE+EC,BC2=BD2+DE2+EC2+2BDDE+2DEEC+2ECBD,ECBD=-14,cos=-77,故选C.答案:C12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:ACBD;ACD是等边三角形;A
8、B与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是()A.B.C.D.解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方形ABCD边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),ACBD=0,故ACBD,正确;又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD为等边三角形,正确;对于,OA为面BCD的一个法向量,cos=ABOA|AB|OA|=(-1,-1,0)(0,1,0)21=-12=-22.因为直线与平面所成的角0,90,所以AB与平面BCD所成角为45,故错误;又cos=ABCD|
9、AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成角为60,故正确.答案:C二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为ABC的重心,E为BD上一点,BE=3ED,以AB,AC,AD为基底,则GE=_.解析:GE=GA+AD+DE=-13(AB+AC)+AD+14(AB-AD)=-112AB-13AC+34AD.答案:-112AB-13AC+34AD14.已知l,且l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为1,12,2,则m=_.解析
10、:l,l的方向向量与平面的法向量垂直,即(2,m,1)1,12,2=0,2+12m+2=0,m=-8.答案:-815.已知向量AB=(1,0,0),AC=(0,2,0),AD=(0,0,3),则直线AB与平面BCD夹角的正弦值为_.解析:向量AB=(1,0,0),AC=(0,2,0),AD=(0,0,3),BC=AC-AB=(-1,2,0),BD=AD-AB=(-1,0,3),设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z),则nBC=-x+2y=0,nBD=-x+3z=0,取x=6,得n=(6,3,2),设直线AB与平面BCD夹角为,则sin =|ABn|AB|n|=636+9+4=67.答案:
11、6716.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.有下列四个命题:点H是A1BD的垂心;AH垂直平面CB1D1;平面CB1D1与平面C1B1D1夹角的正切值为2;点H到平面A1B1C1D1的距离为34.其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析:如图所示,易得BD=DA1=A1B,且AD=AB=AA1,所以H为BA1D的中心,也为BA1D的垂心.设H到上底面、下底面的距离分别为h1,h2,则h1h2=12,即H到平面A1B1C1D1的距离为23,所以正确,错误;因为BDB1D1,BA1CD1,且BDBA1=B,B1D1CD1=D1,所
12、以平面BA1D平面B1CD1,所以AH平面CB1D1,所以正确;如图,取B1D1的中点M,则CMC1为平面CB1D1与平面C1B1D1的夹角,易知其正切值为2,所以正确.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间直角坐标系中,ABC的三个顶点为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求BC边上的中线AD的长;(2)求BAC的大小.解:(1)由题意知D-12,0,112,所以AD=14+4+254=212=422.(2)因为AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=ABAC|AB|A
13、C|=-2+3+61414=714=12,所以BAC=3.18.(12分)如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点.(1)证明:PEBC;(2)若APB=ADB=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.解:如图所示,以H为坐标原点,直线HA,HB,HP分别为x轴、y轴、z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0).(1)证明:设C(m,0,0),P(0,0,n)(m0),则D(0,m,0),E12,m2,0,PE=12,m2,-n,BC=(m,-1,0).PEBC=m2-m2-0
14、=0,PEBC.(2)由已知条件,得m=-33,n=1,故C-33,0,0,D0,-33,0,E12,-36,0,P(0,0,1).设n=(x,y,z)为平面PEH的一个法向量,则nHE=0,nHP=0,即12x-36y=0,z=0.故可以取n=(1,3,0).由PA=(1,0,-1),得|cos|=24.故直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24.19.(12分)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC;(2)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.
15、(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI.在CEF中,因为点G是CE的中点,所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.(2)解连接OO,则OO平面ABC.又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BOAC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意,得B(0,23,0),C(-23,0,0).过点F作FM垂直OB于点M,所以FM=FB2-BM2=3,可得F(0,3,3).故BC=(-23,-23,0),BF=(0,-3,3).设m=(x,y,z)是平面BCF的一个
16、法向量.由mBC=0,mBF=0,可得-23x-23y=0,-3y+3z=0.可得平面BCF的一个法向量m=-1,1,33.因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),所以cos=mn|m|n|=77.所以二面角F-BC-A的余弦值为77.20.(12分)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BE=EF=
17、FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解取BC的中点O,则KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以KO平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.由题意,得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,3),A(-1,-3,0),E12,0,32,F-12,0,32.因此,AC=(0,3,0),AK=(1,3,3),AB=(2,3,0).设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).由ACm=0,AKm=0得3y1=0,x1+3y
18、1+3z1=0,取m=(3,0,-1),由ABn=0,AKn=0得2x2+3y2=0,x2+3y2+3z2=0,取n=(3,-2,3).于是,cos=mn|m|n|=34.所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.21.(12分)如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值.(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.解:(1)如图所示,以D为坐标原点,直线DA,DC,DM分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0
19、,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E12,1,0,NE=-12,0,-1,AM=(-1,0,1).cos=NEAM|NE|AM|=-12522=-1010,异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN.AN=(0,1,1),设AS=AN=(0,)(01).又EA=12,-1,0,ES=EA+AS=12,-1,.由ES平面AMN,得ESAM=0,ESAN=0,即-12+=0,(-1)+=0,解得=12,此时AS=0,12,12,|AS|=22.经检验,当AS=22时,ES平面AMN.
20、故线段AN上存在点S,使得ES平面AMN,且AS=22.22.(12分)如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB上一点.(1)当点E为AB的中点时,求证:BD1平面A1DE;(2)求点A1到平面BDD1的距离;(3)当AE=12EB时,求平面D1EC与平面ECD的夹角的余弦值.(1)证明如图所示,连接AD1,交A1D于点F,则F为AD1的中点,连接EF.E为AB的中点,EFBD1.又EF平面A1DE,BD1平面A1DE,BD1平面A1DE.(2)解由平面ABCD平面AA1D1D,且四边形AA1D1D为正方形,四边形ABCD为矩形,可得D1DAD,
21、D1DDC,DCDA.如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.由AB=2AD=2,知D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),得DB=(1,2,0),DD1=(0,0,1),A1B=(0,2,-1).设平面BDD1的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1DB=0,n1DD1=0,即x1+2y1=0,z1=0.令y1=1,得n1=(-2,1,0).故点A1到平面BDD1的距离d=|A1Bn1|n1|=255.(3)解由(2)及题意,知E1,23,0,C(0,2,0),得D1E=1,23,-1,EC=-1,43,0.设平面D1EC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2D1E=0,n2EC=0,即x2+23y2-z2=0,-x2+43y2=0.令z2=1,得n2=23,12,1.又易知平面DEC的一个法向量DD1=(0,0,1).设平面D1EC与平面ECD的夹角为,则cos =n2DD1|n2|DD1|=16161=66161,即平面D1EC与平面ECD的夹角的余弦值为66161.19