1、6余弦函数的图像与性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质学 习 目 标核 心 素 养1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像2会用五点法画出余弦函数在0，2上的图像(重点)3掌握余弦函数的性质及应用(重点、难点)1.利用诱导公式，通过平移得到余弦函数的图像，体会数学抽象素养2通过五点法画出余弦函数在0，2上的图像，提升直观想象素养1余弦函数的图像(1)利用图像变换作余弦函数的图像因为ycos xsin ，所以余弦函数ycos x的图像可以通过将正弦曲线ysin x向左平移个单位长度得到如图是余弦函数ycos x(xR)的图像，叫作余弦曲线(2)利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲
2、线，通常也使用“五点法”，即在函数ycos x(x0，2)的图像上有五个关键点，为(0，1)，(，1)，(2，1)，可利用此五点画出余弦函数ycos x，xR的简图(如图).思考1：根据ysin x和ycos x的关系，你能利用ysin x，xR的图像得到ycos x，xR的图像吗？提示能，根据cos xsin ，只需把ysin x，xR的图像向左平移个单位长度，即可得到ycos x，xR的图像2余弦函数的性质图像定义域R值域1，1最大值，最小值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1周期性周期函数，T2单调性在2k，2k(kZ)上是增加的；在2k，2k(kZ)上是减少的
3、奇偶性偶函数，图像关于y轴对称思考2：余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示观察图像(图略)可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.1用五点法作出函数y3cos x的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是()A.(，1)B(0，2)C. DA由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，(，4)，(2，
4、2).2函数y3cos x2的值域为()A.1，5 B5，1C.1，1 D3，1A因为1cos x1，所以13cos x25.3已知函数f(x)sin (xR)，下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x0对称D.函数f(x)是奇函数Df(x)sin sin cos x，由f(x)cos x的性质可判断A、B、C均正确4已知函数ycos x，x0，2，则其递增区间为_0，当x0，2时，函数ycos x在0，上是减函数，在，2上是增函数，所以函数ycos x在0，上是增函数，在，2上是减函数余弦函数图像的画法【例1】画出函
5、数ycos x，x0，2的简图解法一：按五个关键点列表：x02cos x10101cos x10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图法二：作函数ycos x，x0，2的图像，然后将其作关于x轴对称的图像，即得ycos x，x0，2的图像所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来函数ycos x，x0，2的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：(0，1)，(，1)，(2，1).1作函数ycos x1，x0，2的简图解按五个关键点列表：x02cos x1010
6、1cos x00cos x111在坐标系内，根据五点、画图，如图所示余弦函数图像的应用【例2】已知ycos x(xR)，求：(1)y时x的集合；(2)y时x的集合解用五点法作出ycos x的简图(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于，点，在，区间内，y时，x的集合为当xR时，若y，则x的集合为.(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，kZ，kZ和，kZ，kZ，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当y时x的集合为：.利用余弦曲线求解cos a或cos a(|a|1)的步骤：(1)作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周
7、期不一定是0，2，应根据不等式来确定)；(2)作直线ya与函数图像相交；(3)在一个周期内确定x的取值范围；(4)根据余弦函数周期性确定最终的范围2在同一坐标系中，画出函数ysin x与ycos x在0，2上的简图，并根据图像写出sin xcos x在0，2上的解集解用五点法画出ysin x与ycos x的简图如下：由上图可得sin xcos x在0，2上的解集为.余弦函数的单调性及应用【例3】(1)求函数y1cos x的单调区间；(2)比较cos 与cos 的大小解(1)0，y1cos x的单调性与ycos x的单调性相反ycos x的单调增区间是2k，2k(kZ)，减区间是2k，2k(kZ
8、).y1cos x的单调减区间是2k，2k(kZ)，增区间是2k，2k(kZ).(2)cos cos cos .cos cos .又0cos .1形如ya cos xb(a0)函数的单调区间：(1)当a0时，其单调性同ycos x的单调性一致；(2)当a0时，其单调性同ycos x的单调性恰好相反2比较cos 与cos 的大小时，可利用诱导公式化为0，内的余弦函数值来进行3(1)函数y12cos x的单调增区间是_；(2)比较大小cos _cos .(1)2k，2k(kZ)(2)(1)由于ycos x的单调减区间为2k，2k(kZ)，所以函数y12cos x的增区间为2k，2k(kZ).(2)
9、由于cos cos cos ，cos cos cos cos ，ycos x在0，上是减少的由cos ，即cos 60，却有cos 60cos 390.2对于yA cos2xB cosxC型的函数如何求其最值？提示利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求其最值【例4】求下列函数的最值(1)ycos2xcosx；(2)y3cos2x4cosx1，x.思路探究本题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解解(1)y.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos2xcosx的最大值为，最小值为2.(2)y3cos2x4c
10、osx13.x，cos x，从而当cos x，即x时，ymax；当cos x，即x时，ymin.函数在区间上的最大值为，最小值为.1(变条件)若例4中的(1)变为“y”，如何求函数的值域解y1.1cos x1，12cos x3，1，4，13，即y3.函数y的值域为.2(变条件)将例4(2)变为“函数ycos2xcosx1”，试求函数的值域解设cos xt，x，则t，ycos2xcosx1，t，当t，即x时，ymax，当t1，即x0时，ymin1，函数的值域为.求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：(1)sin x，cos x的有界性；(2)sin x，cos x的单调性；(3)化为sin x
11、f(x)或cos xf(x)，利用|f(x)|1来确定；(4)通过换元转化为二次函数1比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值，再利用单调性作出判断2求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin xf(y)，再由|sin x|1，构建关于y的不等式|f(y)|1，从而求得y的取值范围1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数ycos x的图像关于坐标原点对称()(2)余弦函数ycos
12、x的图像可由ysin x的图像向右平移个单位得到()(3)在同一坐标系内，余弦函数ycos x与ysin x的图像形状完全相同，只是位置不同()(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间()答案(1)(2)(3)(4)2函数ycos x，x0，2的图像与直线y的交点有_个2作ycos x，x0，2的图像(图略)及直线y，知有2个交点3函数ycos (x)，x0，2的单调递减区间是_0，ycos (x)cos x，其单调递减区间为0，.4画出y13cos x在0，2上的简图，并指出其最值和单调区间解列表：x02cos x1010113cos x21412图像如下：由图像可知，函数y13cos x在0，2上的最大值为4，最小值为2，单调增区间为0，单调减区间为，2.