1、专题20空间角与空间距离问题B卷一、单选题1. 已知，两点都在以为直径的球的球面上，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D. 2. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D. 二、多选题3. 如图，棱长为的正方体中，分别为，的中点，则()A. 直线与底面所成的角为B. 平面与底面夹角的余弦值为C. 直线与直线的距离为D. 直线与平面的距离为4. 如图，正方形和矩形所在平面所成的角为，且，为的中点，则下列结论正确的有()A. B. 直线与所成角的余弦值是C. 直线与平面所成角的正弦值是D. 点到平面的距离是三、填空题5.
2、 在三棱锥中，底面，则与平面所成角的正切值为6. 如图，四边形和都是正方形，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值是7. 如图所示，五面体中，正的边长为，平面，且，设与平面所成角为，若，则当取最大值时，平面与平面夹角的正切值为四、解答题8. 如图，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点证明：平面；若，求点到平面的距离9. 如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，求点到平面的距离；线段上是否存在点，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出；若不存在，说明理由10. 如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于，的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，分别是，的中点证明：平面若直线平面且过点，试
3、问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等若存在，求出点的所有可能位置若不存在，请说明理由11. 如图，平面，求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值；若二面角的余弦值为，求线段的长答案和解析1.【答案】解：取中点，连接，由可得是的外心，则平面，又，由，得，即，又，分别是，中点，以，为，轴建立空间直角坐标系，则与平行的向量，故异面直线与所成角的余弦值为故选：2.【答案】解：在正方体中，分别为棱，的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，设平面的法向量，则令解得，所以，设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为故选A3.【答案】解：以为原点，
4、为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，对于，平面的法向量，设直线与底面所成的角为，则，直线与底面所成的角不是，故A错误；对于，设平面的法向量，则，取，得，设平面与底面夹角为，则，平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；对于，直线与直线的距离为：，故C正确；对于，平面，平面，平面，又，平面的法向量，直线与平面的距离为：，故D正确故选：4.【答案】解：由已知，又，平面，所以平面，以为坐标原点，为，轴正方向建立空间直角坐标系，又正方形和矩形所在平面所成的角为，所以，所以，所以，所以，所以，不垂直，故A错误；，所以，所以直线与所成角的余弦值是，故B正确；设平面的法向量为，由已知，所以，取可得，即可取
5、法向量，直线的方向向量，所以，所以线与平面所成角的正弦值是，故C正确；因为，平面的法向量，设点到平面的距离为，则，故D正确故选BCD5.【答案】解：以为原点，在平面内作垂直于的射线为轴，以射线为轴，射线为轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：则，所以，由轴平面得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正切值为故答案为6.【答案】解：以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设，得、，则，设平面的法向量为，则，取，则，所以，平面的一个法向量为，从而，故直线与平面所成角的余弦值是故答案为7.【答案】解：取中点，连接，过
6、作，交于，为正三角形，平面，平面，三直线两两垂直，分别以，所在直线为，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，取中点，连接，则，且，平面，平面，又，、平面，平面，是平面一个法向量，与平面所成的角为，则，解得，故故的最大值为，此时，平面，向量为平面的一个法向量，设平面的法向量为，取，所以，设平面与平面所成角为，可知为锐角，则，平面与平面所成角的正切值为故答案为8.【答案】解：证法一：取中点，连接在中，在底面上，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面所以平面证法二：取中点，连接在中，平面，平面所以平面在底面上，则四边形为平行四边形所以又平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面因为平面，所以平
7、面解法一：在底面上，过点作，又有底面，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系则，设平面的一个法向量为，则，即，则，取，得记点到平面的距离为，则解法二：记点到平面的距离为，由题可知，在中，则因为，所以，即，解得9.【答案】解：如图所示，取中点，连结，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，则垂直于平面，设，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，从而，又，故求点到平面的距离假设存在点满足题意，点在线段上，则，即：，据此可得：，从而，设与平面所成角所成的角为，则，整理可得：，解得：或舍去据此可知，存在满足题意的点，点为的中点10.【答案】证明：因为，
8、平面平面，平面平面，平面，平面解：存在，此时点与点重合理由如下：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图，则，由直线平面且过点，以及平面，得，设，平面的一个法向量为，则取，得，平面的法向量，设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，又，则，直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等，则，故当点与点重合时，直线与平面所成角和平面与平面的夹角相等11.【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图，可得，设，则依题意，是平面的法向量，又，可得，则，又因为直线平面，所以平面依题意，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得因此有所以，直线与平面所成角的正弦值为设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得由题意，有，解得经检验，符合题意所以，线段的长为