1、第 8 讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图，B 点的方位角为)3方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转 到达目标方向(2)东北方向：指北偏东 45.(3)其他方向角类似做一做1在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角为 70，则BAC 等于()A10 B50C120D130答案：D1辨明两个易误点(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而
2、方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量2解三角形应用题的一般步骤做一做2若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 ACBC，则点 A 在点B 的()A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10D北偏西 10解析：选 B.如图所示，ACB90，又 ACBC，CBA45，而30，90453015.点 A 在点 B 的北偏西 15.3如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A，B 两
3、点间的距离为_解析：由正弦定理得 ABACsinACBsin B50 221250 2(m)答案：50 2 m,学生用书 P73P74)考点一_测量距离_ 如图，隔河看两目标 A 与 B，但不能到达，在岸边先选取相距 3千米的 C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标 A，B 之间的距离解 在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3 km.在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC 3sin 75sin 60 6 22.在ABC 中，由余弦定理，得 AB2(3)26 2222 3 6 22cos 7
4、5 32 3 35，AB 5(km)，A，B 之间的距离为 5 km.规律方法 求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 1如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离，即 AB a2b22abcos.若测得 CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算 AB的长解：在ABC 中，
5、由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 7 m.即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.考点二_测量高度_(2014高考课标全国卷)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.解析 根据题图，AC100 2 m.在MAC 中，CMA180756045.由正弦定理得ACsin 45AMsin 60AM100 3 m.在AMN 中，M
6、NAMsin 60，MN100 3 32 150(m)答案 150规律方法 求解高度问题的注意事项：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用 2.(2015吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.解析：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 RtAB
7、C 中，由ACB45得 BCx.在 RtABD 中，ADB30，则 BD 3x.在BDC 中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(3x)2x24022x40cos 120，解得 x40，所以电视塔高为 40 m.答案：40考点三_测量角度_ 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解 如图，
8、设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.规律方法 解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”
9、使用 3.如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1 处，此时两船相距20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 10 2海里问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接 A1B2.由已知 A2B210 2，A1A230 2206010 2，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2 是等边三角形，A1B2A1A210 2.由已知，A1B120，B1A1B21056045.在A1B2B1 中，由余弦定理得
10、B1B22A1B21A1B222A1B1A1B2cos 45 202(10 2)222010 2 22 200，B1B210 2.因此，乙船每小时航行10 220 6030 2海里 方法思想函数思想在解三角形中的应用 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 3
11、0 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值解(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S 900t2400230t20cos（9030）900t2600t400 900t132300，故当 t13时，Smin10 3，v10 31330 3，即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，如图所示，由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v2400t2 600t 9004001t342675.由于 0t12，即1t2，所以当1t2 时，v 取得最小值 10 13，即小艇航行速度的最小值为 10
12、 13海里/小时 名师点评(1)解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间 t 的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意 t 的范围(2)关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示为关于角 的三角函数，再利用三角函数的性质来求解 (2014高考浙江卷改编)如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小若 AB15 m，AC25 m，BCM30，求 tan 的最大值(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)解
13、：如图，过点 P 作 POBC 于点 O，连接 AO，则PAO.设 COx m，则 OP 33 x m.在 RtABC 中，AB15 m，AC25 m，所以 BC20 m所以 cosBCA45.所以 AO625x2225x45 x240 x625(m)所以 tan 33 xx240 x62533140 x 625x2 3325x 452 925.当25x 45，即 x1254 时，tan 取得最大值为33355 39.1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10 B北偏西 10
14、C南偏东 80D南偏西 80解析：选 D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2(2015河南郑州模拟)已知 A、B 两地间的距离为 10 km，B、C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地间的距离为()A10 km B10 3 kmC10 5 kmD10 7 km解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10 7(km)3如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB
15、的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为()A30B45C60D75解析：选 B.依题意可得 AD20 10(m)，AC30 5(m)，又 CD50(m)，所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC2AD2CD22ACAD（30 5）2（20 10）2502230 520 10 6 0006 000 2 22，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6
16、min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 2 km/hC2 34 km/h D10 km/h解析：选 B.设 AB 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v211022122 1102145，解得 v6 2.5(2014高考四川卷)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)m B180(21)mC120(31)m D30(31)m解析：选 C.如图，在ACD 中，CAD903060，
17、AD60 m，所以 CDADtan 6060 3(m)在ABD 中，BAD907515，所以 BDADtan 1560(2 3)(m)所以 BCCDBD60 360(2 3)120(31)(m)6一船自西向东航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75，距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为_海里/小时解析：由题意知，在PMN 中，PM68 海里，MPN7545120，MNP45.由正弦定理，得MNsin 12068sin 45，解得 MN34 6海里，故这只船航行的速度为34 64海里/小时17 62海里/小时 答案：17 627如
18、图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A、B 望对岸的标记物 C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则这条河的宽度为_解析：如图，在ABC 中，过 C 作 CDAB 于 D 点，则 CD 为所求河的宽度在ABC 中，CAB30，CBA75，ACB75，ACAB120 m.在 RtACD 中，CDACsinCAD 120sin 3060(m)，因此这条河的宽度为 60 m.答案：60 m8一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析：如图所
19、示，依题意有 AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB 中，由正弦定理，得60sin 45BMsin 30，解得 BM30 2.答案：30 29(2015郑州市质量预测)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量 ADBD7 米，BC5 米，AC8 米，CD.求 AB 的长度解：在ABC 中，由余弦定理得 cos CAC2BC2AB22ACBC8252AB2285.在ABD 中，由余弦定理得 cos DAD2BD2AB22ADBD7272AB2277.由CD 得
20、cos Ccos D，解得 AB7，所以 AB 的长度为 7 米 10某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(精确到 0.1)解：如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCco
21、s 120，所以 212t210281t22109t12，即 360t290t1000，解得 t23或 t 512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时 AB14，BC6.在ABC 中，根据正弦定理，得BCsin CABABsin 120，所以 sin CAB6 32143 314，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮 1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前
22、进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选 A.设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.2如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30，测得湖中之影的俯角为 45，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析：选
23、 C.在ACE 中，tan 30CEAECM10AE.AECM10tan 30(m)在AED 中，tan 45DEAECM10AE，AECM10tan 45(m)，CM10tan 30CM10tan 45，CM10（31）3110(2 3)37.3(m)3某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km.解析：由题意知 AB2415606，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45.由正弦定
24、理知BSsin 30ABsin 45，BSABsin 30sin 453 2.答案：3 24如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为_m(取 21.4，31.7)解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC 中，BCsin AABsin ACB，BC21 00012sin 1510 500(6 2)CDAD，CDBCsin DBC10 50
25、0(6 2)22 10 500(31)7 350.故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m)答案：2 6505(2014高考湖南卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7.(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD 714，sinCBA 216，求 BC 的长解：(1)在ADC 中，由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22ACAD，故由题设知，cosCAD7142 72 77.(2)设BAC，则 BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD 714，所以 sinCAD 1cos2CAD12 772 217，sinBAD 1cos2
26、BAD1 71423 2114.于是 sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD 3 2114 2 77 714 217 32.在ABC 中，由正弦定理，BCsin ACsinCBA.故 BCACsin sinCBA 7 322163.6(选做题)(2013高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min后，乙从 A 乘缆车到 B，在
27、B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.(1)求索道 AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A 513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 513351213456365.由正弦定理 ABsin
28、 C ACsin B，得 AB ACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A处 130t m，所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)由于 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理 BCsin A ACsin B，得 BC ACsin Bsin A1 2606365 513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v 71050 3，解得1 25043 v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在1 25043，62514)(单位：m/min)范围内