1、2.3两角和与差的正切函数学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式(重点)2.掌握公式T()及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养2.通过T()及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan ()，k(kZ)且tan tan 1两角差的正切T()tan ()，k(kZ)且tan tan 1(1)变形公式tan tan tan ()(1tan tan )；tan
2、 tan tan ()(1tan tan )；tan tan 1.(2)公式的特例tan ；tan .思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？提示tan ()，分子分母同除以cos cos ，便可得到1若tan 3，tan ，则tan ()()ABCD3A因为tan 3，tan ，所以tan ().2设，且tan ，tan ，则等于()A BC DDtan ()1.，.3.的值为()ABC DC原式tan (4515)tan 60.4._tan (8222)tan 60.化简求值【例1】求下列各式的值：(1)；(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解(1)原式
3、tan (6015)tan 75tan (3045)2.(2)tan 451，tan 15tan 301tan 15tan 30，原式(1tan 15tan 30)tan 15tan 301.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用当式子中出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的1(1)；(2)tan 10tan 50tan 10tan 50.解(1)tan 15tan (4530)2.(2)tan 10tan 50tan 10ta
4、n 50tan (1050)(1tan 10tan 50)tan 10tan 50tan 60tan 10tan 50tan 10tan 50tan 60.给值求值(或求角)【例2】(1)已知tan ，tan 2.求：tan ；tan ().(2)设方程x23x40的两根为tan ，tan ，且0|，0|，求的值解(1)tan tan .tan ()tan 23.(2)由已知，得tan tan 3，tan tan 4.所以tan ()，且tan 0，tan 0，所以0，0，所以0，所以.1“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什
5、么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角2已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围2已知tan ，tan 2，且0，求：(1)tan ()的值；(2)角的值解(1)因为tan ，tan 2，所以tan ()7.(2)tan ()1，因为0，所以，所以.正切公式的综合应用探究问题1若，则tan 与tan 存在怎样关系？提示tan tan ()tan .2在ABC中，tan Atan Btan C与tan Atan Btan C有何关系？提示AB
6、C，ABC，tan (AB)tan C，tan C，tan Atan Btan Ctan A tan B tan C.3在ABC中，A，B，C三个角有什么关系？提示ABC或.【例3】在ABC中，tan Btan Ctan B tan C，且tan Atan B1tan A tan B，判断ABC的形状思路探究可先求出tan (BC)和tan (AB)的值再由诱导公式分别求tan A和tan C的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状解tan Atan (BC)tan (BC)，又0A180，A120，而tan Ctan (AB).又0C180，C30，B30.ABC是顶角为120的等腰三角
7、形将例3中的条件变为“ABC中，C120，tan Atan B”，试求tan Atan B的值解因为ABC180，C120，所以tan (AB)tan 60.又tan (AB)，所以，解得tan Atan B.1等式中同时出现tan Atan B与tan Atan B时，一般是构造tan (AB)，利用两角和与差的正切公式求解2在三角形中要注意应用ABC这一隐含条件1公式T()的适用范围由正切函数的定义可知，(或)的终边不能落在y轴上，即不为k(kZ).2公式T()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan 1，tan ，tan 等要特别注意tan ，tan .3公式T()的
8、变形应用只要见到tan tan ，tan tan 时，要有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)tan tan ，tan ()，tan tan 三者知二，即可表示或求出第三个()(2)tan 能用公式tan ()展开()(3)存在，R，使tan ()tan tan 成立()(4)公式T()对任意，都成立()答案(1)(2)(3)(4)2已知AB45，则(1tan A)(1tan B)的值为()A1B2C2 D不确定B(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan A tan B1tan (AB)(1tan A tan B)tan A tan B11tan A tan Btan A tan B2.3已知A，B都是锐角，且tan A，sin B，则AB_B为锐角，sin B，cos B，tan B，tan (AB)1.0AB，AB.4求的值解tan 18tan 42tan 120tan 60(1tan 18tan 42)tan 120tan 60tan 18tan 42，原式1.
