1、9三角函数的简单应用学 习 目 标核 心 素 养1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题(重点)2将实际问题抽象为三角函数模型(难点)1.通过用三角函数研究简单的实际问题，培养数学抽象素养2通过将实际问题抽象为三角函数模型，提升数学建模素养三角函数模型的应用(1)三角函数模型的应用根据实际问题的图像求出函数解析式将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型(2)解答三角函数应用题的一般步骤思考：在函数yA sin (x)b(A0，0)中，A，b与函数的最值有何关系？提示A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymax
2、Ab，yminAb；(2)A，b.1如图为某简谐运动的图像，这个简谐运动往返一次所需时间为()A.0.4 sB0.6 sC.0.8 s D1.2 sC由图像知周期T0.800.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次2求下列函数的周期：(1)yA sin (x)(0)的周期是T_；(2)yA cos (x)(0)的周期是T_；(3)yA tan (x)(0)的周期是T_；答案(1)(2)(3)3某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为_80T，f80.4如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的
3、位移，则这个振子的函数解析式是_y2sin 不妨设所求解析式为yA sin (t)(A0，0)，则A2，0.8，由于图像过点(0，)，所以2sin ，结合图像可取，故y2sin .已知解析式求周期、最值【例1】交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin 来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110(V).即开始时的电压为110V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s(3)电压的最大值为220 V当100t，即t s时第一次取得最大值由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知
4、识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键1单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s6sin .(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？解(1)单摆的周期T1，若令2t0，即t，这时s0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下：ts6sin 06060用光滑的曲线连接这些点，得函数s6sin 的图像(如图).(2)当t0时，s6sin 63，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s6
5、sin 的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.(4)s6sin 的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s已知模型求解析式【例2】如图所示，表示电流I(A)与时间t(s)的关系式：IA sin (t)(A0，0)在一个周期内的图像根据图像写出IA sin (t)的解析式解由图像可知A300，又T2，100.又t时，t0，1000，即，I300sin .求解析式的难点在于求，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得2如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数yA sin (x)b(A0，0，|1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycos t11，cos t0，2k
6、t2k，即12k3t12k3(kZ).又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9t15.根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4
7、)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin x在内是增函数()(2)函数y3sin x1的最大值为3.()(3)直线x是函数ysin x的一条对称轴()(4)函数ysin (x1)的最小正周期为2.()答案(1)(2)(3)(4)2如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是()A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零B由图像可知，该质点的振动周期是2(0.70.3)0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B.3商场人流量被
8、定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin (t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A.0，5B5，10C.10，15 D15，20C由2k2k，kZ，知函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10，153，5，故选C.4如图所示，某地夏天814时用电量变化曲线近似满足函数yA sin (x)b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解(1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)b40，A14050，A10，由图可知，1486，则T12，则y10sin 40，代入(8，30)得，解析式为y10sin 40，x8，14.