1、2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D2下列结论正确的是（）A当x0且x1时，lgx+B当x时，sinx+的最小值为4C当x0时，2D当0x2时，x无最大值3已知数列an的首项a1=1，且an=2an1+1（n2），则a5为（）A7B15C30D314已知ABC满足：，则BC的长是（）A2B1C1或2D35若等比数列an的公比q0，前n项和为Sn，则S8a9与S9a8的大小关系是（）AS8a9S9a8BS8a9S9a8CS8a9=S9a8D不确定6已知ABC的两边长分别为
2、2，3，这两边的夹角的余弦值为，则ABC的外接圆的直径为（）ABCD87若关于x的不等式x24xm对x（0，1恒成立，则（）Am3Bm3C3m0Dm48ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定9ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S=a2（bc）2，则tan=（）ABCD10若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为（）A5B4C3D11若ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）ABCD12如果f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m2，n0）在上单调递减，则+的最小值
3、为（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13若9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则=14已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S6=15记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是16在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值范围是三、解答题17（10分）（2015秋洛阳期中）已知f（x）=3x2+m（6m）x+6（）若关于x的不等式f（x）n的解集为（1，3），求实数m，n的值；（）解关于m的不等式f（1）01
4、8（12分）（2015秋洛阳期中）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A（1）求cosA的值；（2）求c的值19（12分）（2015秋洛阳期中）已知等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，并且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2和a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+bn，求使Sn254n2n+1成立的正整数n的最小值20（12分）（2015秋洛阳期中）已知数列an的前n项和Sn=（）n1（1）求数列an的通项公式；（2）当bn=log（3an+1）时，求数列的前n项和Tn21（12分）（2015秋洛
5、阳期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinA=acosC（1）求角C；（2）若c=，且sinC=3sin2A+sin（AB），求ABC的面积22（12分）（2015秋洛阳期中）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，4anan1+Sn=Sn1+an1（n2，nN*）（1）证明：数列是等差数列；（2）若+对任意整数n（n2）恒成立，求实数的取值范围2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D【考点】不等关系与不等式 【专题】不等式的解
6、法及应用【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得ab=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故选D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题2下列结论正确的是（）A当x0且x1时，lgx+B当x时，sinx+的最小值为4C当x0时，2D当0x2时，x无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】不等式的解法及应用【分析】对于A，考虑0x1即可判断；对于B，
7、考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值【解答】解：对于A，当0x1时，lgx0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx（0，1，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x0时，2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0x2时，x递增，当x=2时，取得最大值综合可得C正确故选：C【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题3已知数列an的首项a1=1，且an=2an1+1（n2），则a5为（）A7B15C30D31【考点】数列递推式 【专题】计算题【
8、分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=进行求解（法三）构造可得an+1=2（an1+1），从而可得数列an+1是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求【解答】解：（法一）an=2an1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）an=2an1+1a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）an+1=2（an1+1）a1+1=2an+1是以2为首项，以2为等比数列
9、an+1=22n1=2nan=2n1a5=251=31故选：D【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用4已知ABC满足：，则BC的长是（）A2B1C1或2D3【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用 【专题】计算题【分析】利用余弦定理公式，根据题设中的条件建立等式整理后求得BC的值【解答】解：由余弦定理可知cosB=，整理得BC23BC+2=0，求得BC=1或2，故选C【点评】本题主要考查了余弦定理的应用属基础题5若等比数列an的公比q0，前n项和为Sn
10、，则S8a9与S9a8的大小关系是（）AS8a9S9a8BS8a9S9a8CS8a9=S9a8D不确定【考点】等比数列的前n项和 【专题】常规题型【分析】首先对S8a9S9a8两式作差，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式，对其整理变形，进而判断符号可得答案【解答】解：S8a9S9a8=a1q8a1q7=a12q7又q0，则S8a9S9a80，即S8a9S9a8故选A【点评】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式，同时考查作差法比较大小6已知ABC的两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则ABC的外接圆的直径为（）ABCD8【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】解三角形【分析】利用同角三
11、角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径【解答】解：ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，由余弦定理可得第三边的长为：=3，则利用正弦定理可得：ABC的外接圆的直径为=故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，三角形的面积公式，属于基础题7若关于x的不等式x24xm对x（0，1恒成立，则（）Am3Bm3C3m0Dm4【考点】函数恒成立问题 【专题】计算题【分析】构造函数f（x），将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出f（
12、x）的最小值，令最小值大于等于m即得到m的取值范围【解答】解：x24xm对任意x0，1恒成立令f（x）=x24x，x0，1f（x）的对称轴为x=2f（x）在0，1上单调递减当x=1时取到最小值为3实数m的取值范围是（，3故选B【点评】解决不等式恒成立问题常通过分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值8ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定【考点】三角形的形状判断 【专题】解三角形【分析】依题意，可得sinCsinBcosA，利用两角
13、和的正弦整理得sinAcosB0，从而可判断B为钝角【解答】解：ABC中，cbcosA，sinCsinBcosA，即sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosAsinBcosA，sinAcosB0，sinA0，cosB0，B为钝角，ABC为钝角三角形，故选：A【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与两角和的正弦，属于中档题9ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S=a2（bc）2，则tan=（）ABCD【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】由余弦定理及三角形面积公式化简已知等式可得bcsinA=2bc（1cosA），整理可得=，利用二倍角公式，
14、同角三角函数关系式即可求值【解答】解：b2+c2a2=2bccosA，S=bcsinA又ABC的面积S=a2（bc）2=（b2+c2a2）+2bc，bcsinA=2bc（1cosA），即有=，又=tan=故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式，考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查10若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为（）A5B4C3D【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联
15、立，解得B（1，2）令z=2x+y，化为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11若ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）ABCD【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题【分析】根据三角形为钝角三角形，得到三角形的最大角的余弦值也为负值，分别设出3和x所对的角为和，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为和都为钝角，得到其值小于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出
16、两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围【解答】解：由题意，x的取值范围是，故选D【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题学生在做题时应注意钝角三角形这个条件12如果f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m2，n0）在上单调递减，则+的最小值为（）ABCD【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求出二次函数的对称轴，由题意可得2，即有（2m+n）1，可得+（2m+n）（+）=（3+），运用基本不等式即可得到最小值【解答】解：f（x）=（m2）x2+（n8）x+1的对称
17、轴为x=，由f（x）在上单调递减，可得2，即有2m+n12，即有（2m+n）1，可得+（2m+n）（+）=（3+）（3+2）=当且仅当n=m取得最小值故选C【点评】本题考查函数的单调性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13若9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则=【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列和等比数列的通项公式易得a2a1和b2的值，易得答案【解答】解：9，a1，a2，1四个实数成等差数列，a2a1=（1+9）=，9，b1，b2，b3，1
18、五个实数成等比数列，b22=9（1），解得b2=3，由b12=9b2可得b20，故b2=3，=故答案为：【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，注意b2的取舍是解决问题的关键，属基础题和易错题14已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S6=【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，由已知可得q=，a1=16，代入等比数列的求和公式可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，则可得a1qa1q2=2a1，即a4=2又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7=，即2+22q
19、3=，解之可得q=，故a1=16故S6=故答案为：【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属中档题15记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是（，）（4，+）【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：y=a（x+1）过定点（1，0），当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=又直线y=a（x+
20、1）与平面区域D没有公共点a或a4故答案为：（，）（4，+）【点评】在解决线性规划的问题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，然后将坐标逐一代入目标函数，最后验证求出最优解，该题是中档题16在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值范围是（0，【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】由已知等式变形表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围【解答】解：2b=a+c，即b=，cosB=，则B的范围为（0，故答案为：（0，【点评】此题考查了余弦定理
21、，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键三、解答题17（10分）（2015秋洛阳期中）已知f（x）=3x2+m（6m）x+6（）若关于x的不等式f（x）n的解集为（1，3），求实数m，n的值；（）解关于m的不等式f（1）0【考点】二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】（）根据二次函数和不等式的关系，得到方程组，解出即可；（2）由已知f（1）=m2+6m+3，得不等式m2+6m+30，解出即可【解答】解：（）f（x）n，3x2m（6m）x+n60，1，3是方程3x2m（6m）x+n6=0的两根，；（）由已知f（1）=m2+6m+3，m2+6m+30，m26m30，不等式f
22、（1）0的解集为：【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了不等式和二次函数的关系，是一道基础题18（12分）（2015秋洛阳期中）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A（1）求cosA的值；（2）求c的值【考点】余弦定理 【专题】计算题；解三角形【分析】（1）依题意，利用正弦定理=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值【解答】解：（1）ABC中，a=3，b=2，B=2A，由正弦定理得：=，即=，cosA=；（2）由（1）知cos
23、A=，A（0，），sinA=，又B=2A，cosB=cos2A=2cos2A1=，B（0，），sinB=，在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，c=5【点评】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦与诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题19（12分）（2015秋洛阳期中）已知等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，并且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2和a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+bn，求使Sn254n2n+1成立的正整数n的最小值【考点】数列与不等式的综合；数列的求和 【专题】
24、等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（1）依题意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，故a3=8a2+a4=20由此能够推导出an=2n（2）bn=anlogan=2n2n=n2n，由错位相减法可得Sn，再由Sn254n2n+1，解不等式即可得到n的最小值【解答】解：（1）依题意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，解得3=8所以a2+a4=20于是有，解得或，又an是递增的，故a1=2，q=2所以an=2n（2）bn=anlogan=2n2n=n2n，Sn=12+222+323+n2n，2Sn=122+223+324+n2n+1，相减可得Sn=2
25、+22+23+2nn2n+1=n2n+1=2n+12n2n+1，由Sn254n2n+1，可得2n+1256=28，即为n+18，即n7，则n的最小值为8【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答20（12分）（2015秋洛阳期中）已知数列an的前n项和Sn=（）n1（1）求数列an的通项公式；（2）当bn=log（3an+1）时，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由Sn=（）n1当n=1时，a1=S1；当n2时，an=SnSn1，即可得出（2）bn=log（3
26、an+1）=n，可得=利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）Sn=（）n1当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=（）n1=an=（2）bn=log（3an+1）=n，=数列的前n项和Tn=+=1=【点评】本题考查了递推关系应用、数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）（2015秋洛阳期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinA=acosC（1）求角C；（2）若c=，且sinC=3sin2A+sin（AB），求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】（1）由正弦定理可
27、得sinCsinA=sinAcosC，由sinA0，可求tanC=，结合范围0C，即可求得C的值（2）由已知可得2cosAsinB=6sinAcosA，当cosA0时，解得b=3a，利用余弦定理可求a，b，根据三角形面积公式即可得解，当cosA=0时，可求A=90，求得b=ctan30的值，即可解得三角形面积【解答】解：（1）csinA=acosC由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA0，tanC=，0C，C=4分（2）sinC=sin（AB）=3sin2A+sin（AB），2cosAsinB=6sinAcosA，当cosA0时，sinB=3sinA，b=3a，a=，b=，
28、S=，当cosA=0时，A=90，b=ctan30=，S=bc=12分【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查22（12分）（2015秋洛阳期中）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，4anan1+Sn=Sn1+an1（n2，nN*）（1）证明：数列是等差数列；（2）若+对任意整数n（n2）恒成立，求实数的取值范围【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定 【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（1）由an=SnSn1，可得=4（n2），由等差数列的定义即可得证；（2）运用等差数列的
29、通项公式，可得an=，由参数分离可得（n2），判断右边数列的单调性，可得最小值，进而得到实数的取值范围【解答】解：（1）证明：4anan1+Sn=Sn1+an1（n2，nN*），可得4anan1+anan1=0，即有=4（n2），则数列是1为首项，4为公差的等差数列；（2）由（1）可得=1+4（n1）=4n3，即有an=，由+可得4n+1，即（n2），令cn=（n2），则cn+1cn=0，即有数列cn为递增数列，当n=2时，取得最小值，且为，可得，解得0或即实数的取值范围为（，0），+）【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，属于中档题
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