1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin2
2、2cos2112sin2.tan 2.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_).(2)cos2，sin2.(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都
3、成立.()(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，k，kZ.答案(1)(2)(3)(4)2.(2016全国卷)若tan ，则cos 2()A. B. C. D.解析cos 2cos2sin2.答案D3.(2015重庆卷)若tan ，tan()，则tan 等于()A. B. C. D.解析tan tan()，故选A.答案A4.(2017广州调研)已知sin cos ，则sin2()A. B. C. D.解析由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2，故选B.答案B5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347cos
4、 148sin 77cos 58_.解析sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.答案6.(2017宁波调研)已知cos，为锐角，则sin 2_，sin_.解析由题意得，cos(cos sin )(12sin cos )sin 2，(sin cos )21sin 2sin cos cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )，sinsin 2coscos 2sin.
5、答案考点一三角函数式的化简【例1】 (1)(2017杭州模拟)cos()cos sin()sin ()A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos (2)化简：(0)_.解析(1)cos()cos sin()sin cos()cos .(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .答案(1)D(2)cos 规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】 (1)2的化简结果
6、是_.(2)化简：_.解析(1)原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为4，所以cos 40，且sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式cos 2.答案(1)2sin 4(2)cos 2考点二三角函数式的求值【例2】 (1)2sin 50sin 10(1tan 10)_.(2)已知cos，则的值为_.(3)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)原式sin 80(2sin 502sin 10)cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)sin 2sin
7、 2tan.由得0，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)(3)规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【训练2】 (1)4cos 50tan 40()A. B.C. D.21(2)已知sinsin ，0，则co
8、s 的值为_.(3)(2017绍兴月考)已知cos ，cos()(0)，则tan 2_，_.解析(1)原式4sin 40，故选C.(2)由sinsin ，得sin cos ，sin.又0，所以，于是cos.所以cos cos.(3)cos ，0，sin ，tan 4，tan 2.0，0，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()，.答案(1)C(2)(3)考点三三角变换的简单应用【例3】 已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A，1sin A)是共线向量.(1)求角A；(2)求函数y2sin2Bcos的最大值
9、.解(1)因为p，q共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则sin2A.又A为锐角，所以sin A，则A.(2)y2sin2 Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1.因为B，所以2B，所以当2B时，函数y取得最大值，此时B，ymax2.规律方法解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使
10、用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】 (2017合肥模拟)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)若(0，)，且f，求tan的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.f(x)的单调减区间为，kZ.(2)f，即sin1.因为(0，)，所以，故.因此tan2.思想方法1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、
11、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.易错防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A. B. C. D.解析si
12、n 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D2.(1tan 17)(1tan 28)的值是()A.1 B.0 C.1 D.2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.答案D3.(2017西安二检)已知是第二象限角，且tan ，则sin 2()A. B. C. D.解析因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2，故选C.答案C4.(2016河南六市联考)设acos 2sin 2，b，c，则有
13、()A.acb B.abc C.bca D.cab解析由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25，cab.答案D5.(2016肇庆三模)已知sin 且为第二象限角，则tan()A. B. C. D.解析由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21.tan 2，tan.答案D二、填空题6.(2016石家庄模拟)若cos，则sin的值是_.解析sinsincos 22cos2121.答案7.(2017杭州月考)已知是第四象限角，且sin，则sin _；tan_.解析由题意，sin，cos，解得tan ，tan.答案8.已知，且sin，则tan 2_.解析sin，得sin
14、cos ，平方得2sin cos ，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.答案三、解答题9.(2017镇海中学模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(2，1).(1)若ab，求的值；(2)若|ab|2，求sin的值.解(1)由ab可知，ab2cos sin 0，所以sin 2cos ，所以.(2)由ab(cos 2，sin 1)可得，|ab|2，即12cos sin 0.又cos2sin21，且，所以sin ，cos .所以sin(sin cos ).10.设cos ，tan ，0，求的值.解法一由cos ，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.
15、又由，0可得0，因此，.法二由cos ，得sin .由tan ，0得sin ，cos .所以sin()sin cos cos sin .又由，0可得0，因此，.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016云南统一检测)coscoscos()A. B. C. D.解析coscoscoscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案A12.(2017武汉调研)设，0，且满足sin cos cos sin 1，则sin(2)sin(2)的取值范围为()A.，1 B.1，C.1，1 D.1，解析sin cos cos sin 1，sin()1，0，由，sin(2
16、)sin(2)sinsin(2)cos sin sin，1sin1，即所求的取值范围是1，1，故选C.答案C13.已知cos4sin4，且，则cos_.解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.答案14.已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，2cos x)，设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围.解(1)因为f(x)ab(cos xsin x)(co
17、s xsin x)2sin xcos xsin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ).又，kZ，所以k1，故.所以f(x)2sin.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f2sin0，所以2sin2sin，故f(x)2sin.由0x，有x，所以sin1，得12sin2.故函数f(x)在上的取值范围为1，2.15.(2016西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的角.解(1)分别过P，Q作PDOB于D，QEOB于E，则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMNPDsin sin cos sin2，.(2)由(1)得Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，sin.当时，Smax(m2).