1、上海市杨浦区2021届高三数学上学期期末教学质量检测（一模）（12月）试题考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1. 设全集, , 则_.2. 设复数, (是虚数单位)，则_.3. 若关于的方程组无解，则实数_.4. 已知球的半径为2, 则它的体积为_.5. 若直线与互相垂直，则实数_.6. 已知 ，则 .7. 已知的二项展开式中, 所有二项式系数的和为, 则展开式中的常数项为
2、_(结果用数值表示).8. 是偶函数, 当时, , 则不等式的解集为_.9. 方程的解为_.10. 平面直角坐标系中, 满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线， 点(其中, )是曲线上的点, 原点到直线的距离为, 则 _.11. 如图所示矩形中, , 分别将边与等分成8份, 并将等分点自下而上依次记作,自左到右依次记作, 满足,(其中 )的有序数对共有_对.12. 已知函数在定义域上是单调函数, 值域为, 满足, 且对于任意, 都有. 的反函数为, 若将(其中常数)的反函数的图像向上平移1个单位, 将得到函数的图像, 则实数k的值为_.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且
3、只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设, , 则下列不等式中, 恒成立的是 （ ）A. B. C. D. 14. 下列函数中，值域为的是 （ ）A、 B、 C、 D、15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点, 可得到四面体的个数为 （ ）A. B. C. D. 16. 设集合(其中常数), (其中常数), 则“”是“”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小
4、题满分8分）如图所示, 在直三棱柱中, 底面是等腰直角三角形, , . 点分别是棱的中点.(1) 求证: 四点共面；(2) 求直线与平面所成角的大小.18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数, , .（1）若是奇函数, 求实数的值;（2）设, 中, 内角的对边分别为. 若, , , 求的面积. 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米）.其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点.（1） 求关于的函数解析式；（
5、2） 在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到）20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设分别是椭圆的左、右顶点, 点为椭圆的上顶点.（1）若, 求椭圆的方程;（2） 设, 是椭圆的右焦点, 点是椭圆第二象限部分上一点, 若线段的中点在轴上, 求的面积. （3） 设, 点是直线上的动点, 点和是椭圆上异于左右顶点的两点, 且 ,分别在直线和上, 求证: 直线恒过一定点. 21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列与满足: 的各项均为正数, .（1）设, 若是无穷等比数列, 求数列的通项公
6、式; （2）设. 求证: 不存在递减的数列, 使得是无穷等比数列; （3）当时, 为公差不为0的等差数列且其前的和为0; 若对任意满足条件的数列, 其前项的和均不超过, 求正整数的最大值. 杨浦区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.
7、设全集，则_. 【答案】2.设复数（是虚数单位），则 _.【解析】.3.若关于的方程组无解，则实数_. 【解析】由题意得，解得，经检验满足题意， 所以.4. 已知球的半径为，则它的体积为_.【解析】.5.若直线和互相垂直，则实数_.【解析】因为直线和互相垂直， 所以，所以.6.已知，则 _.【解析】因为，所以.7.已知的二项式展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式的常数项为_.（结果用数值表示）.【解析】由题意得，所以， 故展开式中的常数项为.8. 为偶函数，当时, ，则不等式的解集为_.【解析】由题意得为偶函数，在上单调递增， 则可化为，故解集为.9.方程的解为【解析】由得，解得或， 其中
8、不满足真数大于0，舍去，故.10.平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点（其中 ）是曲线上的点，原点到直线的距离为，则_.【解析】法一：由题意得曲线是以，为焦点的双曲线的右支，且， 所以，故曲线的方程为， 故曲线的渐近线方程为，不妨取第一象限的渐近线， 当时，点趋向于渐近线上的， 直线的方程为趋向于直线， 原点到直线的距离， 由极限思想，. 法二：（硬算）直线的方程为，其中 即， 所以原点到直线的距离，所以.11.如图所示矩形中，分别将边与等分成份，并将等分点自下而上依次记作，自左到右依次记作，满足（其中）的有序数对共有_.对.【解析】以为原点建系，则，由得，即，当时，
9、共种，当，共种，故有序数对共有对. 12.已知函数在定义域上是单调函数，值域为，满足，且对任意，都有的反函数为，若将（其中常数）的反函数的图像向上平移个单位，将得到函数的图像，则实数的值为_.【解析】因为对任意，都有， 不妨令，满足值域为， 所以，解得，所以，所以， 对函数而言，其反函数为， 由题意得，所以，所以.二选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.设，则下列不等式中，恒成立的是（ ） 【答案】B【解析】由不等式性质易得，当时，恒成立的是14.下列函数中，值域为的是（ ） 【答案】C【解析】的值域为；
10、的值域为； 的值域为；的值域为；故选C.15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个，构成四面体，除去正方体的6个面和6个对角面，一共能构成个四面体，故选A.16.设集合（其中常数），（其中常数 ），则“”是“”的（ ）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若，则；若，则； 当时，若，则，满足， 若，则，满足； 而当，显然满足， 故“”是“”的充分非必要条件，故选A. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本
11、题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，点分别是棱的中点.（1）求证：四点共面；（2）求直线与平面所成角的大小。【解析】（1）证明：由已知得， 因为与确定平面所以四点共面(2)解: 作, 垂足为F 平面, 平面, 直线直线直线且与相交于直线平面 即为直线与平面所成的角.在直角中, , ,直线与平面所成的角为. 18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数 （1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为，若，求的面积【解析】（1）解: 由题意 检验： 对任意都有 是奇函数 . (2)解: , 整理得,A是三
12、角形的内角 由余弦定理, 即整理得, 解得或 ,或. 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离 （单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米），其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点（1）求关于的函数解析式；（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.（精确到）【解析】解：（1）时设： 将代入得 时 （2）如图，设仰角为，俯角为 仰角最小为 俯角最小为 最小为 20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设分别是椭圆
13、的左、右顶点，点为椭圆的上顶点.（1）若，求椭圆的方程；（2）设是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且 分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.【解析】(1)解: , , , , 解得 即椭圆的方程为. (2)解: 椭圆的方程为, 由题意 设, 由线段的中点在y轴上, 代入椭圆方程得, 即 . (3)证明: 由题意, 设点P的坐标为,直线：, 与椭圆方程联立 消去得： 由韦达定理得 即; 同理 ; 当, 即 即 时, 直线的方程为; 当时, 直线： 化简得, 恒过点; 综上所述, 直线恒过点. 21（
14、本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列与满足：的各项均为正数， （1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式.（2）设，求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列.（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【解析】（1）解: , , 公比为 由解得, 数列的通项公式为. （2）证明: 反证法，设存在 则, 此时 公比 , 考虑不等式 当时, 即时,有(其中表示不超过x的最大整数),这与的值域为矛盾 假设不成立 ，得证(3)解: , 由等差数列性质 即,特别地, , 现考虑的最大值为使取最大值, 应有,否则在中将替换为, 且, 将得到一个更大的 由可知, 特别地, ;于是 解得, 所以的最大值为8.
