1、2016届杨浦高级中学月考卷数学考试卷 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1 抛物线的焦点坐标为_2 已知全集，集合，则_3 如果，则的取值范围是_.4 关于的方程：的解为_5 不等式的解集为_.6 向量在正方形网格中的位置如图所示.若，则=_.47 已知数列满足（），则=_8 在的展开式中，的系数为_20160h425主视图俯视图左视图9 （理）在极坐标系中，将圆沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为_（文）一个几何体的三视图如图所示.若该几何体的表面积为
2、，则其高=_410. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车。小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是_ 11. 已知定义在上的函数对于任意的都满足当时，.若函数至少有6个零点，则的取值范围是_12. （理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为（），不得分的概率为若他投篮一次得分的数学期望，则的取值范围是_（文）设全集，若恒成立，则实数的最大值是_13.(理) 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”。类似的，我们在复数集上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“” 定义如下
3、：对于任意两个复数，当且仅当“”或者“” 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ； 若，则； 若，则对任意，都有； 对于复数，若，则.其中真命题的序号为_（文）已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值构成的集合为_.14. （理）符号表示数列的前项和（即）。已知数列满足（），记，若，则当取最小值时，=_.（1007）（文）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”。类似的，我们在复数集上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“” 定义如下：对于任意两个复数，当且仅当“”或者“” 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ； 若，则； 若，则对任意，都有； 对于复数，
4、若，则.其中真命题的序号为_二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分样本数据频率组距15. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为（ C ）A. 12 B. 24 C. 36 D. 4816. 已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ A ）A. B. 3 C. D. 17. 将函数的图像向左平移个单位长度后所得到的图像关于轴对称，则的最小值为（ B
5、 ）A. B. C. D. 18. 在半径为的球内有一内接正三棱锥。它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回。则经过的最短路程是（ C ）A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分。如图：已知四棱锥，底面是边长为6的正方形，面，PNBADMC第19题图点是的中点，点是的中点，连接、（1）求证：；（2）求二面角的大小（文）（1）求证： （2）求异面直线与所成角的大小.（理）（1）解法1：取AB
6、中点T，连接MT、NT， 2分 4分由得所以 5分解法2：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 2分得, 4分 5分 （2）（理）取平面AMB的一个法向量为 1分设平面AMN的法向量，又,由，取平面AMN的一个法向量， 4分设二面角为，则= 7分所以二面角的大小为（文）分别取中点,连接，所以异面直线与所成角的大小即相交直线与所成角的大小 2分在中可求得， 4分从而由余弦定理可求得， 6分所以异面直线与所成角的大小为. 7分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知向量和向量，且.（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）（理）已知
7、的三个内角分别为，若有，求面积的最大值.（文）已知的三个内角分别为，若有，求的长度.解：（1）由条件得 2分 得 4分 则函数的最小正周期为，最大值为26分（2）（理）由，得， ，即3分又，6分当且仅当时取等号（或由正弦定理得：，当且仅当时取等号6分）所以面积的最大值为.8分（文）由，得， ，即3分 由正弦定理得 6分 得 8分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分。某地拟模仿图(1)建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图(2)所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径.(1) 若要求米，米，求与值；图（1）xy
8、OABCD图（2）EF(2) 当时，若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围.解：（1）因为，解得. 3分 此时圆，令，得， 所以，将点代入中，解得. 7分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，则由题意知对恒成立， 9分所以恒成立，而，当，即时，由()递减,可知：当取最小值 12分故，解得. 14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。如图数表：每一行都是首项为1的等差数列，第行的公差为，且每一列也是等差数列，设第行的第项为.（1）证明：成等差数列，并用表示（）； （2）当时，将数列分组如下：（），（），（），（每组数的个数构成等差数列）.
9、设前组中所有数之和为，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，设是不超过20的正整数，当时，求使得不等式恒成立的所有的值. 解：(1) 由题意，且， 得，即 所以成等差数列 .2分 由且 即 化简得 .4分(2) 当时， .6分按数列分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数. 则前个奇数的和为， .7分即， .8分从而 利用“错位相减法”得 .10分(3) 由得.令 .12分当时，都有，即.13分而，且当时，单调递增，故有. .14分所以，满足条件的所有正整数. .16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分如图，圆与直线相切
10、于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为. 点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线（1）求圆的方程及曲线的方程；（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值（3）（理科）根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆（文科）已知曲线的轨迹为椭圆，研究曲线的对称性，并求椭圆的焦点坐标解：（1）由题意圆的半径，故圆的方程为. 2分由得，将代入得（）为曲线的方程.（未写范围不扣分）4分（2）由得,，所以，同理. 6分由题意知 ，所以四边形的面积. ， . 8分当且仅当时等号成立，此时. 当时，四边形的面积最大值为. 10分（3） 曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，11分下面证明：设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称， 同理曲线关于直线和原点对称. 12分证明：求得和直线的交点坐标为，和直线的交点坐标为，.在上取点 . 设为曲线上任一点，则（因为）.即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.若点到两定点的距离之和为定值，可以求得点的轨迹方程为（过程略）. 故曲线是椭圆，其焦点坐标为. 18分