江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）.doc

1、江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一单选题：1.下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】不等式的两边同时乘以，得到，不等式的两边同时乘以，得到，即可判断A选项；利用特殊值排除B,C,D选项即可.【详解】不等式的两边同时乘以，得到，不等式的两边同时乘以，得到,所以，故A正确；当时，故B错误；当时，故C错误；当时，故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.2.已知复数为纯虚数，则实数（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简得到，

2、再由题意，即可得出结果.【详解】因为为纯虚数，所以，因此.故选C【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型.3.若向量，且，则实数的值是（ ）A. B. 0C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，利用可得，代入坐标计算即可.详解】解：由已知，由得：，故选：C.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中是解题的关键，是基础题.4.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题

3、时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.5.在公差d不为零的等差数列中，且，成等比数列，则( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，可得首项和公差的方程，解方程可得所求公差【详解】在公差d不为零的等差数列中，且，成等比数列，可得，且，即，

4、解得，故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题6.已知，且，则的最小值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值.【详解】x0，y0，且9x+y=1， 当且仅当时成立，即时取等号. 故选D.【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.7.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】关于的不等式,即的解集是，不等式,可化为，解得，所求不等式的解集是,故选C.8.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线

5、段的中点为（），那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. ，或【答案】A【解析】【分析】先设，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.【详解】解：设，又点，在椭圆上，则，两式相减可得：，又， 则，又点，在椭圆内，则，则，所以，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题.二多选题：9.设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 与均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由是等差数列，是其前项的和，且，则，再代入逐一检验即可得解.【详解】解：由是等差数列，是其前项的和，且，则，则数列为递减数列，即选项A，B正确

6、，由，即，即选项C错误，由，可得与均为的最大值，即选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题.10.下列说法不正确的是（ ）A. 若，则的最大值为4B. 若，则函数的最大值为C. 若，则的最小值为1D. 函数的最小值为4【答案】AC【解析】【分析】由均值不等式逐一判断即可得解，一定要注意取等的条件.【详解】解：对于选项A，则，当且仅当，即时取等号，即的最小值为4，即A错误；对于选项B，当，则函数，当且仅当即时取等号，即B正确；对于选项C，若，则，即，即，则的最大值为1，即C错误；对于选项D，函数，当且仅当，即时取等号，即D正确，即不正确的是选项

7、A,C，故选：AC.【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了运算能力，属基础题.11.已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】先解分式不等式，再利用充分必要条件逐一判断即可得解.【详解】解：由，选项A为命题的充要条件，选项B为的必要不充分条件，选项C为的既不充分也不必要条件，选项D为的必要不充分条件，故选：BD.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题.12.已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆的定义和题设条件，

8、 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.【详解】由椭圆的定义，可得，又由， 解得，又由在中，可得，所以，即椭圆的离心率的取值范围是.故选：【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三填空题：13.命题“，”的否定是_【答案】“，”【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题，再求解即可.【详解】解：由全称命题的否定为特称命题可得：命题“，”否定是“，”，故答案为：“，”.【点睛】本题考查了全称命题与特称命题的否定，属基础题.14.若

9、数列an的前n项和，则an的通项公式是_【答案】an=【解析】分析】由题意得，求出即可.【详解】数列an的前n项和，当时，a1=S1=2-4=-2，当n2时，检验：当时，不适合上式，an的通项公式是an=故答案为an=【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系，解题时要认真审题，属于基础题.15.在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点，取中点，连接，则，连接为异面直线与所成角在中，,同理可得,异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属

10、于基础题16.已知点，为椭圆（）和双曲线（，）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则_【答案】2【解析】【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得，再结合离心率公式求解即可.【详解】解：设P为双曲线右支上的任意一点，点，分别为左、右交点，由椭圆定义有，由双曲线定义有，则，即，又，则，即，所以，即2，故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.四解答题：17.已知复数，（，是虚数单位）.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.【答案】（1）； （2）13.

11、【解析】【分析】（1）由复数在复平面上对应点落在的象限列不等式求解即可；（2）由虚数是实系数一元二次方程的根，则也是实系数一元二次方程的根，再结合根与系数的关系求解即可.【详解】解：（1）由条件得，因为在复平面上对应点落在第一象限，故有，即，即，解得.（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是实系数一元二次方程的根，所以，即，把代入，则，所以.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.18.已知等差数列的前项和为，满足，且成等比数列.（1）求及；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；或，；（2）或【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件列出

12、方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；（2）先由（1）得到，或，再由错位相减法或常数列求和，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，且成等比数列，所以有，即，解得或 ，所以，；或，.（2）由（1）可得，或=64.因为数列的前项和为，当时，所以，因此，两式作差得，整理得.当时，.【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于基础题.19.已知不等式（1），不等式恒成立，求m的范围；（2），不等式恒成立，求m的范围；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式转化为二次不等式，利用判别式小于0，即可判

13、断不等式恒成立，求范围；（2）通过对一切的实数不等式恒成立，判断对称轴的位置，以及的值，即可求范围【详解】（1）不等式，转化为：不等式，所以，解得：（2）不等式，转化为不等式令，对一切的实数不等式恒成立，转化为：或，所以或，解得：所以【点睛】本题考查含参数不等式、恒成立问题，考查分类讨论思想和运算求解能力20.四棱锥中，面，底面为菱形，且有，为中点（1）证明：面；（2）求二面角的平面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2) 二面角EABC的平面角的余弦值为【解析】【分析】（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以，再由的中位线，得到，结合面，所以面，从而最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到面；（

14、2）以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示坐标系，则可得到、各点的坐标，从而得到向量、的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面和平面的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值最后根据题意，二面角是锐二面角，得到二面角平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值【详解】解：（1）设为底面中心，连接，底面为菱形，中，、分别是、的中点又面，面面，又、是平面内的两条相交直线面（2）以原点，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示坐标系，则可得设是平面一个法向量由，解得，所以取，可得，因为平面，所以向量即为平面的一个法向量，设根据题意可知：二面角是锐二面角，其余弦值等

15、于二面角的平面角的余弦值为 【点睛】本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题21.在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点，AOB的面积为2（1）求抛物线C的方程；（2）若过P（，0）的直线与C相交于M，N两点，且2，求直线l的方程【答案】（1）y24x（2）或【解析】【分析】（1）先得出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，求出交点A、B的坐标，可求出|AB|，然后利用三角形的面积公式可

16、求出p的值，即可求出抛物线的方程；（2）设直线l的方程为xmy1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，并列出韦达定理，由得出y12y2，并将此关系式代入韦达定理，可求出m的值，即可得出直线l的方程【详解】（1）易知直线AB的方程为，将该直线方程代入抛物线C的方程得，、，且|AB|2p，AOB的面积为，p0，解得p2因此，抛物线C的方程为y24x；（2）设直线MN的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），y24my+4016m2160，解得m1或m1，y12y2，由韦达定理得y1+y23y24m，则，得，因此，直线l的方程为，即或【点睛】本题考查直

17、线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题22.已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为点，斜率为的动直线交曲线于、两点，其中点在第一象限，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的数量积的运算，可得，化简得，利用椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得和，在利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离 和点到直线的距离为，得出四边形面积，即可求解【详解】（1）由题意， ，. ，点的轨迹是以点，为焦点且长轴长为6的椭圆，即，.即点的轨迹的方程为.（2）由（1）可得，.设直线的方程为，由点在第一象限，得，由，得，则， ，点到直线的距离为，点到直线的距离为，四边形面积 ，又，当时，取得最大值.即四边形面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等