1、2021年上海市杨浦区控江中学高考数学三模试卷一、填空题（共12小题）.1函数f（x）x的定义域为 2若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为 3已知各项为正的等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a7a620，则S11 4幂函数y（mN）在区间（0，+）上是减函数，则m 5已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 6若复数（1+ai）（2i）在复平面上所对应的点在直线yx上，则实数a 7若x、y满足|x|y+1，且y1，则x+3y的最大值为 8设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x25x，则不等式f（x）f（x1）0的解集为 9若数列
2、an的通项公式是an，n1，2，则（a1+a2+an） 10甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c则掷出的点数满足abc的概率为 .（用最简分数表示）11已知a是实数，在（1+ax）8的二项展开式中，第k+1项的系数为，（k0，1，2，3，8），若c1c2c3c9，则a的取值范围为 12设正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中点Pi的坐标为（xi，yi，zi）（i1，2，3，4），集合Ay|存在i1，2，3，4，使得yyi，则集合A的元素个数可能为 种（写出所有可能的值）二、选择题（共4小题）.13方程在区间2，2）上的解的个数是（）A4B6C
3、8D914已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是 （）Al与垂直Bl与无公共点Cl与至少有一个公共点D在内，l与平行，l与相交都有可能15设三角形ABC是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（）A内心B外心C重心D垂心16已知yf（x）与yg（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意xR，f（x）g（x）恒成立，且yf（x）与yg（x）的反函数yf1（x）、yg1（x）均存在，命
4、题P：“对任意xR，f1（x）g1（x）恒成立”，命题Q：“函数yf（x）+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（）A命题P真，命题Q真B命题P真，命题Q假C命题P假，命题Q真D命题P假，命题Q假三、解答题17如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧的中点（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面PAC的距离18已知、是实常数，f（x）
5、（1）当1，时，求函数yf（x）的最小正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在，使得f（x）是与有关的常数函数（即f（x）的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由19已知常数aR，kN*，函数，x（0，+）（1）当a1，k2时，判断函数f（x）在区间2，+）的单调性并证明；（2）当k1时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围20已知常数p0，抛物线：y22px的焦点为F（1）若直线x2被截得的弦长为4，求p的值：（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为上的动点，求的取值范围；（3）设p2，直线l1、l2均过点F，且l1l2，l1与相交于A、B两点，l
6、2与相交于C、D两点，若ACBC，求四边形ACBD的面积21设各项均为整数的无穷数列an满足a11，且对所有nN*，|an+1an|n均成立（1）求a1+a2+a3的所有可能值；（2）若数列an使得无穷数列a1、a3、a5、a2n1、是公差为1的等差数列，求数列an的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列an，使得在该数列中有无穷多项为2021参考答案一、填空题1函数f（x）x的定义域为（0，+）解：y，使函数有意义只要满足x0即可，故函数y的定义域为：（0，+）；故答案为：（0，+）2若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为12解：设等边三角形的边长为a，则等边三角形的面
7、积为a2sin60a24，解得a4，所以该圆锥的底面圆半径为r2，母线长为l4，所以圆锥的表面积为SS底面+S侧r2+rl22+2412故答案为：123已知各项为正的等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a7a620，则S1122解：由a5+a7a620可得：2a6a620，an0，a62，S1111a622，故答案为：224幂函数y（mN）在区间（0，+）上是减函数，则m0解：由幂函数yxm2+2m3在（0，+）为减函数，则m2+2m30，解得3m1由于mN，则m0故答案为：05已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于解：可设ABC的三边分别为a3，b5，c7，由余弦定
8、理可得，cosC，可得sinC，可得该三角形的外接圆半径为故答案为：6若复数（1+ai）（2i）在复平面上所对应的点在直线yx上，则实数a3解：（1+ai）（2i）2i+2ai+a（a+2）+（2a1）i，复数（1+ai）（2i）在复平面上所对应的点的坐标为（a+2，2a1），则2a1a+2，即a3故答案为：37若x、y满足|x|y+1，且y1，则x+3y的最大值为5解：由x、y满足|x|y+1，且y1，画出可行域如图所示，可得A（2，1），则目标函数zx+3y在点A（2，1）取得最大值，代入得x+3y5，故x+3y的最大值为5故答案为：58设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x
9、）x25x，则不等式f（x）f（x1）0的解集为（2，3）解：根据题意，设x0，则x0，所以f（x）x2+5x因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）x2+5xf（x），所以f（x）x25x，所以当x0时，f（x）x25x，当x0时，f（x）x25x，则f（x）的图象如图：在区间（，）上为减函数，若f（x）f（x1）0即f（x1）f（x），又由x1x，必有，解可得：2x3，即不等式的解集为（2，3）；故答案为：（2，3）9若数列an的通项公式是an，n1，2，则（a1+a2+an）解：an，（n1，2）即an，a1+a2+an（21+23+25+）+（32+34+36+）（a1+a2+a
10、n）+，故答案为：10甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c则掷出的点数满足abc的概率为.（用最简分数表示）解：甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，基本事件的个数为666216，满足abc的基本事件有：111，122，133，144，155，166，212，313，414，515，616，224，236，326，共有14个，所以掷出的点数满足abc的概率为故答案为：11已知a是实数，在（1+ax）8的二项展开式中，第k+1项的系数为，（k0，1，2，3，8），若c1c2c3c9，则a的取值范围为（0，）解：由已知可得Ck+1k在k0，1，2，.8恒
11、成立，所以C，即a，（k0，1，2，.8），又当k1时，所以0a，故答案为：（0，）12设正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中点Pi的坐标为（xi，yi，zi）（i1，2，3，4），集合Ay|存在i1，2，3，4，使得yyi，则集合A的元素个数可能为 2、3或4种（写出所有可能的值）解：正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于y轴的平面内，故不可能，当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoz内时，集合A中有2个元素，改变正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系放置，可知集合A中也可能有3或4个元素
12、，故答案为：2、3或4二、选择题13方程在区间2，2）上的解的个数是（）A4B6C8D9解：求方程在区间2，2）上的解；则有：sin（2x+），即：2x+2k，kZ，或2x+2k，kZ，所以：xk，kZ，或x+k，kZ，当x在区间2，2）上时讨论kZ的值即可：x为：2，0，共8个，故选：C14已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是 （）Al与垂直Bl与无公共点Cl与至少有一个公共点D在内，l与平行，l与相交都有可能解：如图，且a，当la时，l或l，l与也可能相交，故直线l与平面的位置关系是在内，l与平行，l与相交都有可能故选：D15设三角形ABC
13、是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（）A内心B外心C重心D垂心解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由|PA|2+|PB|2+|PC|2|OA|2+|OB|2+|OC|2，得，展开整理，则3x2+3y22（x1+x2+x3）x2（y1+y2+y3）y0圆的圆心坐标为（，），位于三角形ABC的重心故选：C16已知yf（x）与yg（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意xR，f（x）g（x
14、）恒成立，且yf（x）与yg（x）的反函数yf1（x）、yg1（x）均存在，命题P：“对任意xR，f1（x）g1（x）恒成立”，命题Q：“函数yf（x）+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（）A命题P真，命题Q真B命题P真，命题Q假C命题P假，命题Q真D命题P假，命题Q假解：已知yf（x）与yg（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意xR，f（x）g（x）恒成立，且yf（x）与yg（x）的反函数yf1（x）、yg1（x）均存在，则函数设yf（x）的图象在yg（x）图象的下方，由图象均关于yx直线对称，其反函数yf1（x）、yg1（x）均存在，命题p：对任意x
15、R，f（x）g（x）恒成立，f1（x）g1（x）不一定恒成立”由图象关于yx直线对称可知p是错误的命题Q：因为对任意xR，f（x）g（x）恒成立，所以f（x）+g（x）2g（x），因为yg（x）的反函数yg1（x）存在，y2g（x）的反函数也存在，其图象存在，“函数yf（x）+g（x）的反函数一定存在”Q正确的故选：C三、解答题17如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧的中点（1）求异
16、面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面PAC的距离解：（1）由题意以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，4），A1（0，1，2），B（0，1，0），C（1，0，0），（0，1，2），（1，1，0），cos，异面直线PA1与BC所成的角的大小为（2）B1（0，1，2），A（0，1，0），（0，1，2），（0，1，4），（1，0，4），设平面PAC的法向量（x，y，z），则，取z1，得（4，4，1），点B1到平面PAC的距离为：d18已知、是实常数，f（x）（1）当1，时，求函数yf（x）的最小正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在，
17、使得f（x）是与有关的常数函数（即f（x）的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由解：f（x）|cos2x（sin2xcos2cos2xsin2）（+sin2）cos2xcos2，（1）当1，时，f（x）cos2x+，f（x）的周期T，当从cos2x1时，最大值为，由+2k2x2k（kZ），得+kxk（kZ），f（x）的单调增区间为（kZ），（2）f（x），显然当0，即1时，f（x）的值与x的取值无关，存在1，使得f（x）是与有关的常数函数19已知常数aR，kN*，函数，x（0，+）（1）当a1，k2时，判断函数f（x）在区间2，+）的单调性并证明；（2）当k1时，
18、若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围解：（1）当a1，k2时，f（x）x1+，x2，+），f（x）在区间2，+）上单调递增，证明如下：f（x）1，当x2时，f（x）0，所以函数f（x）在区间2，+）上是单调递增的（2）当k1时，f（x）ax1+，lg（3x4）（）lg10，所以0，即ax2x+10，x，所以由题意可得ax2x+10在（，+）上有两个相异实根，所以，解得a即实数a的取值范围是20已知常数p0，抛物线：y22px的焦点为F（1）若直线x2被截得的弦长为4，求p的值：（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为上的动点，求的取值范围；（3）设p2，直线l1、l2均过点F，且
19、l1l2，l1与相交于A、B两点，l2与相交于C、D两点，若ACBC，求四边形ACBD的面积解：（1）由x2，得y2，因为直线x2被截得的弦长为4，所以224，解得p1（2）E点是F（，0）关于原点O对称点，则E（，0），设过点E的直线yk（x+），ktan（0），联立抛物线方程得k2x2+（k2p2p）x+0，由直线与抛物线相切，得（k2p2p）2k4p20，k1，过点E作x轴的垂线，则该垂线为抛物线y22px的准线，过点P作准线的垂线，垂足为D，由抛物线的对称性，不妨取k1可得切线的倾斜角为，则取0，由抛物线的定义，可得，因为0，所以cos1，即1，所以的取值范围为1，（3）由题知抛物线y
20、24x，焦点F（1，0），且直线l1，l2的斜率都存在且不为0，所以直线l1的方程可设为yk（x1），因为l1l2，则直线l2的方程为y（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得k2x2（2k2+4）x+k20，所以x1+x2，x1x21，所以|AB|x2x1|，同理，可得|CD|4+4k2，因为ACBC，l1l2，所以ABCF，则RtAFCRtCFB，所以，所以|CF|2|AF|BF|，由抛物线的定义知，|CF|x3+1，|AF|x1+1，|BF|x2+1，所以（x3+1）2（x1+1）（x2+1），即x3+1，所以x3，代入l2的方程，得y3
21、（2），因为C（x3，y3）在y24x上，所以（+44+4）4（1），化简得（1+k2）（）2，解得k2，故四边形ABCD的面积为|AB|CD|4+4k2|821设各项均为整数的无穷数列an满足a11，且对所有nN*，|an+1an|n均成立（1）求a1+a2+a3的所有可能值；（2）若数列an使得无穷数列a1、a3、a5、a2n1、是公差为1的等差数列，求数列an的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列an，使得在该数列中有无穷多项为2021解：（1）a11，|a2a1|1，a20或a22，又|a3a2|2，当a20时，a32或a32，当a22时，a34或a30，a1+a2+a3的所有可能取值为1，3，7；（2）证明：a1、a3、a5、a2n1、是公差为1的等差数列，a2n1n，n为奇数时，n为偶数时，由，得，；（3）证明：由（2）可知，存在a1、a3、a5、a2n1、是公差为1的等差数列，在该数列中，有a40412021，记i4041，令ai+1aii，ai+2ai+1（i+1），ai+3ai+2（i+2），ai+4ai+3i+3，则ai+4aii（i+1）（i+2）+i+30，ai+4ai2021，同理ai+8ai+42021，存在满足条件的数列an，使得在该数列中有无穷多项为2021，得证