1、2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1计算： =（i是虚数单位）2已知函数f（x）=，则f（f（3）=3函数f（x）=ln（+1）（x0）的反函数f1（x）=4已知正实数x，y满足x+3y=1，则xy的最大值为5已知复数z=3sin+icos（i是虚数单位），且|z|=，则当为钝角时，tan=6在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定
2、至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种7设数列an前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（nN*），则Sn=8已知抛物线y2=2px（p0）的焦点在圆（x1）2+y2=4上，则p=9若二项式展开式中含x2项的系数为，则=10若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为1，则实数x的取值集合为11如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为12设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若函数y=ax（a0，且a1）的图象经过区域M，则实数a的
3、取值范围为13已知直线l1：12x5y+15=0和l2：x=2，点P为抛物线y2=8x上的动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为14已知向量，满足，且，则|2|的最小值为二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15设全集U=R，已知A=x|0，B=x|x1|2，则（UA）B=（）A（，1）B（1，2C（2，3D2，3）16设aR，则“a=1”是“f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件17一个四棱锥的三
4、视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A24B16C12D818设函数f（x）（xR）满足f（x）=f（x），f（x）=f（2x），且当x0，1时，f（x）=x2又函数g（x）=|sin（x）|，则函数h（x）=g（x）f（x）在区间1，3上零点的个数为（）A6B7C8D9三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19函数f（x）=m+logax（a0且a1）的图象过点（8，2）和（1，1）（）求函数f（x）的解析式；（）令g（x）=2f（x）f（x1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值20在如图所示的直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面
5、ABCD是边长为2的菱形，且BAD=60，AA1=4（1）求直四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积；（2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小21如图，经过村庄A有两条夹角60为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）记AMN=（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？22已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P（1）
6、求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）23设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=+（N*），试求（b1+b2+bn2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试
7、题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1计算： =i（i是虚数单位）【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质【专题】数系的扩充和复数【分析】由虚数单位i的运算性质化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解： =故答案为：i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2已知函数f（x）=，则f（f（3）=【考点】函数的值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由分段函数f（x）=，先求f（3），再求f（f（3）即可【解答】解：函数f（x）=，f（3）=23=，f（f（3
8、）=f（）=，故答案为：【点评】本题考查了分段函数的简单应用，属于基础题3函数f（x）=ln（+1）（x0）的反函数f1（x）=，x（0，+）【考点】反函数【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用反函数的求法求解即可【解答】解：函数f（x）=ln（+1）（x0），f（x）（0，+）+1=ey，解得x=，函数f（x）=ln（+1）（x0）的反函数f1（x）=，x（0，+）故答案为：，x（0，+）【点评】本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力注意函数的定义域4已知正实数x，y满足x+3y=1，则xy的最大值为【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】运用基本不等式得出x+3y=1，化
9、简求解xy即可【解答】解；正实数x，y满足x+3y=1，x+3y=1，化简得出xy（x=3y=等号成立）xy的最大值为（=，y=等号成立）故答案为；【点评】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断，变形得出不等式的条件，属于容易题5已知复数z=3sin+icos（i是虚数单位），且|z|=，则当为钝角时，tan=1【考点】复数求模【专题】三角函数的求值；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的模，得到的三角方程，然后求解即可【解答】解：复数z=3sin+icos（i是虚数单位），且|z|=，可得9sin2+cos2=5，可得sin2=，当为钝角时，sin=，=135，tan=1
10、故答案为：1【点评】本题考查复数的模以及三角函数的化简求值，考查计算能力6在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有10种【考点】计数原理的应用【专题】应用题；排列组合【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种故答案为：10【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础7设数列an前
11、n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（nN*），则Sn=4n【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】an+1=3Sn（nN*），变形为Sn+1Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=3Sn（nN*），Sn+1Sn=3Sn，化为Sn+1=4Sn，数列Sn是等比数列，首项为4，公比为4Sn=4n故答案为：4n【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知抛物线y2=2px（p0）的焦点在圆（x1）2+y2=4上，则p=6【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定
12、义、性质与方程【分析】求出抛物线的焦点（，0），把它代入圆的方程求出p的值【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），代入圆（x1）2+y2=4 得（1）2=4，p=6，故答案为：6【点评】本题考查由抛物线的方程求焦点坐标，以及点在圆上的性质9若二项式展开式中含x2项的系数为，则=【考点】极限及其运算；二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数，得出a的值；再计算的值【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tr+1=x6r=（a）r，令6r=2，解得r=3；展开式中含x2项的系数为（a）3=，解得a=；=故答案为：【点评】本题
13、考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目10若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为1，则实数x的取值集合为x|x=+2k，kZ【考点】三阶矩阵【专题】三角函数的求值；矩阵和变换【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论【解答】解：行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为1，=1，sin（+x）=1，sinx（cosxsinx）=1，即cosx=1，x=+2k （kZ），故答案为：x|x=+2k，kZ【点评】本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题方法的积累，
14、属于中档题11如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据F2AB是等边三角形，判断出AF2F1=30，进而在RTAF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得【解答】解：F2AB是等边三角形，AF2F1=30，|F1F2|=2，|AF1|=1，|AF2|=，a=，2a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生综合分析问题和数形结
15、合的思想的运用属基础题12设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若函数y=ax（a0，且a1）的图象经过区域M，则实数a的取值范围为2，9【考点】简单线性规划的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=ax（a0，a1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题【解答】解：平面区域M如如图所示求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）由图可知，欲满足条件必有a1且图象在过B、C两点的图象之间当图象过B点时，a1=9，a=9当图象过C点时，a3=8，a=2故a的取值范围为2，9【点评】本题主要考查了用平
16、面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础13已知直线l1：12x5y+15=0和l2：x=2，点P为抛物线y2=8x上的动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为3【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线方程求出其焦点坐标和准线方程，把抛物线y2=8x上的点P到两直线l1：x=2，l2：12x5y+15=0的距离之和的最小值转化为焦点到l2：12x5y+15=0的距离，由点到直线的距离公式求解【解答】解：如图，由抛物线y2=8x，得其焦点F（2，0
17、），准线方程为x=2l1：x=2为抛物线的准线，P到两直线l1：x=2，l2：12x5y+15=0的距离之和，即为P到F和l2：12x5y+15=0的距离之和最小值为F到l2：12x5y+15=0的距离故答案为：3【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题14已知向量，满足，且，则|2|的最小值为1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】可设，根据已知条件容易判断出AOB为等边三角形，且边长为2，而C点在以AB为直径的圆上，延长OB到D，使|OB|=|BD|，这样即可得到而，连接D和圆心E，设C点是与圆的交点，从而|CD|
18、便是的最小值，而由余弦定理可求出|DE|，而圆半径为1，从而能得出|CD|的值【解答】解：由已知条件知cos=；设，；C点在以AB为直径的圆上，如下图所示：延长OB到D，使|OB|=|BD|，连接CD；则，；设圆心为E，连接D点和圆心，设与圆交点为C，则|CD|便是|2|的最小值；由上面知AOB为等边三角形，边长为2；|BE|=1，|BD|=2，EBD=120；在BED中由余弦定理得|ED|=；的最小值为故答案为：【点评】考查数量积的计算公式，向量夹角的范围，两向量垂直的充要条件，直径所对圆周角为直角，以及余弦定理，圆外一点到圆的最近距离二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正
19、确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15设全集U=R，已知A=x|0，B=x|x1|2，则（UA）B=（）A（，1）B（1，2C（2，3D2，3）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+3）（x2）0，解得：x或x2，即A=（，）（2，+），UA=，2，由B中不等式变形得：2x12，解得：1x3，即B=（1，3），（UA）B=（1，2，故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键16设aR，则“a=
20、1”是“f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据二次函数的性质结合充分必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a=1，则f（x）=|（x2）x|=|（x+2）x|，x（0，+）如图示：，f（x）在（0，+）单调递增，“a=1”是“f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增”的充分条件；若f（x）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增，a0时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，a0时，f（x）在（0，+）单调递增，f（x
21、）=|（ax2）x|在（0，+）上单调递增推不出a=1，不是必要条件，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道中档题17一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A24B16C12D8【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】画出图形，利用三视图的数据，求解棱锥的体积即可【解答】解：由题意可知几何体为如图所示的四棱锥：棱锥的底面是边长为：2，3的矩形，棱锥的高为4，四棱锥的体积为：=8故选：D【点评】本题考查三视图与几何体是直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力18设函数f（x）（xR）满足f（x）=f（x），f（x）=f（2x），
22、且当x0，1时，f（x）=x2又函数g（x）=|sin（x）|，则函数h（x）=g（x）f（x）在区间1，3上零点的个数为（）A6B7C8D9【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】根据条件判断函数f（x）的周期性，令h（x）=0，得g（x）=f（x），分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象判断两个函数的交点个数即可得到结论【解答】解：f（x）=f（x），f（x）=f（2x），f（x）=f（2x）=f（x2），即函数是偶函数，且函数是周期为2的周期数列，设x1，0，则x0，1，则f（x）=f（x）=（x）2=x2，即f（x）=x2x1，1，由h（x）=g（x）f
23、（x）=0，则f（x）=g（x），g（x）=|sin（x）|，在坐标系中作出函数f（x），g（x）的图象如图：由图象可知，两个图象的交点个数为6个，故函数h（x）=g（x）f（x）在区间1，3上零点的个数为6个，故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19函数f（x）=m+logax（a0且a1）的图象过点（8，2）和（1，1）（）求函数f（x）的解析式；（）令g（x）=2f（x）f（x1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值【考点】函数
24、解析式的求解及常用方法；基本不等式【专题】综合题【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入即可；（2）先求出g（x）的表达式，观察到函数是复合函数，故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值【解答】解：（）由得，解得m=1，a=2，故函数解析式为f（x）=1+log2x，（）g（x）=2f（x）f（x1）=2（1+log2x）1+log2（x1）=，其中x1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x1在（0，+）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1【点评】该题目第一问是送分的，第二问比较有难度，解题时应该注意复合函数的最值拆分开来求：本题先分离常数利用基
25、本不等式求真数的范围，利用对数函数的单调性求出最值20在如图所示的直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且BAD=60，AA1=4（1）求直四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积；（2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【专题】空间角；立体几何【分析】（1）根据体积公式得出：菱形ABCD的面积h即可，关键求面积，高（2）根据性质得出：A1BC1等于异面直线AD1与BA1所成角在A1BC1中，由余弦定理可求解【解答】解：（1）因菱形ABCD的面积为AB2sin60=故直四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为：S底面A
26、BCDAA1=（2）连接BC1，A1C1，易知BC1AD1，故A1BC1等于异面直线AD1与BA1所成角由已知，可得A1B=BC1=，A1C1=则在A1BC1中，由余弦定理，得cosA1BC1=故异面直线AD1与BA所成角的大小为arcos【点评】本题考查了空间几何体的性质，运用求解体积，空间想象能力，思维能力的运用，属于中档题21如图，经过村庄A有两条夹角60为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）记AMN=（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长
27、时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？【考点】在实际问题中建立三角函数模型【专题】解三角形【分析】（1）根据正弦定理，即可表示出AN，AM；（2）设AP2=f（），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值【解答】解：（1）AMN=，在AMN中，由正弦定理得： =所以AN=，AM=（2）AP2=AM2+MP22AMMPcosAMP=sin2（+60）+4sin（+60）cos（+60）= 1cos（2+120）sin（2+120）+4= sin（2+120）+cos（2+120）+=sin（2+150），（0
28、，120）（其中利用诱导公式可知sin（120）=sin（+60）当且仅当2+150=270，即=60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2故答案为：（1）AN=，AM=（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小【点评】本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键22已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的
29、动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）如图所示，|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2|F1F2|=2，可知：动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（ab0），可得a=，c=1，b2=a2c2即可得出椭圆C的方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（1，0）由于，可得x1+2x2=2，y1+2y2=0代入椭圆方程可得=1，又，联立解出即可得出kMN=（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点设直线AB的方程为y=kx，A（x1，y1），
30、B（x2，y2）联立直线与椭圆方程化为（1+2k2）x2kx=0，把根与系数的关系代入=0，解出即可【解答】解：（1）如图所示，|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2|F1F2|=2，动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（ab0），a=，c=1，b2=1方程C为=1（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（1，0），x1+2x2=2，y1+2y2=0x1=22x2，y1=2y2，代入椭圆方程可得=1，又，联立解得，kMN=（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点设直线AB的方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）则=（x1，y1t）（x2，y2t）
31、=x1x2+（y1t）（y2t）=x1x2+t+t2=（1+k2）x1x2（k+kt）（x1+x2）（x1+x2）+t2=0，联立，化为（1+2k2）x2kx=0，0恒成立x1+x2=，x1x2=代入上式可得：+t2=0，化为（18t218）k2+（9t2+6t15）=0，解得t=1满足0在y轴上存在定点T（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个点T【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的性质、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题23设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（nN*）（
32、1）求数列an的通项公式；（2）设bn=+（N*），试求（b1+b2+bn2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由【考点】数列的极限；数列的求和【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）通过4an+1=4Sn+14Sn得（an+1+an）（an+1an2）=0，进而可得结论；（2）通过分离bn的分母可得bn=2+2（），累加后取极限即可；（3）假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+am+k=300，通过（1）可得300=（2m+k1）（k+1），利用2m+k1k+14，
33、且2m+k1与k+1的奇偶性相同，即得结论【解答】解：（1）4Sn=（an+1）2，4Sn+1=（an+1+1）2，两式相减，得4an+1=4Sn+14Sn=（an+1）2（an+1+1）2=+2an+12an，化简得（an+1+an）（an+1an2）=0，又数列an各项均为正数，an+1an=2 （nN*），数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an=2n1 （nN*）（2）因为bn=+=+=2+2（），故b1+b2+bn=2n+2（1）+（）+（）=2n+2（1），于是（b1+b2+bn2n）= 2（1）=2；（3）结论：存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+am+k=300理由如下：假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+am+k=300，由（1），可得am+am+1+am+k=（2m+k1）（k+1），从而（2m+k1）（k+1）=300，由于正整数m、k均大于2，知2m+k1k+14，且2m+k1与k+1的奇偶性相同，故由300=22352，得或，解得或，因此，存在大于2的正整数m、k：或，使得am+am+1+am+k=300【点评】本题考查求数列的通项，涉及到极限等知识，注意解题方法的积累，属于中档题