1、2.3.1-2两条直线的交点坐标及两点间的距离公式 知识要点要点一两条直线的交点坐标1求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可2应用：可以利用两条直线的_判断两条直线的位置关系一般地，直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20的位置关系如表所示：方程组A1xB1yC10A2xB2yC20 的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数_个_个_个直线l1和l2的位置关系相交重合平行交点个数1无数多0方法技巧两直线相交的条件：将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交设 l1：A1xB1y
2、C10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2相交的条件是 A1B2A2B10 或A 1A2B1B2(A2，B20)若两直线斜率都存在，设两条直线 l1：yk1xb1，l2：yk2x b2，则 l1 与 l2 相交k1k2.要点二 两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|_特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|_x2x12y2y12x2y2方法技巧对两点间距离公式的理解：公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|x1x22y1y22，利用此公式可以将几何问题代数化当直线 P1P2 平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般
3、我们用下列方法：法一：直线 P1P2 平行于 x 轴时|P1P2|x2x1|；法二：直线 P1P2 平行于 y 轴时|P1P2|y2y1|.基础自测1直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2,2)B(1,1)C(1,2)D(2,1)解析：由x1，y2得交点坐标为(1,2)，故选C.答案：C2已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为()A5 B.5C3 D.29解析：由平面内两点间的距离公式可知|AB|322752 5.答案：B3已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|5，则a的值为()A4 B4或2C2 D2或4解析：a126225，a4或2.答案：D题型一两直线的交点问题探究
4、 1判断两直线是否相交例 1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7 和 l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40 和 l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40 和 l2：y2x3.解析：(1)方程组2xy70，3x2y70的解为x3，y1.因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组2x6y40，4x12y80有无数个解，这表明直线l1和l2重合(3)方程组4x2y40，2xy30无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.方法技巧两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不
5、等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在探究 2过两直线交点的直线方程例 2求过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线方程解析：方法一 解方程组2x3y30，xy20，得x35，y75，所以两直线的交点坐标为(35，75).又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y753(x35)，即15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线 3xy10 平行，所以有21330，212330，得112，代入(*)式得(2112)x(112 3)y(2112 3
6、)0，即15x5y160.变式探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解析：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得34，所以所求直线方程为5x15y180.方法技巧过两条直线交点的直线方程的求法1常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程变式训练 1(1)若三条直线 2x3y80，xy10，xky0 相交于一点，则 k 的值为()A2B12C2D.12
7、解析：(1)易求直线2x3y80与xy10的交点坐标为(1，2)，代入xky0，得k12.故选B.答案：(1)B(2)直线l经过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为()A2xy0 B2xy0Cx2y0 Dx2y0解析：(2)设所求直线方程为2x3y8(xy1)0，即(2)x(3)y80，因为l过原点，所以8.则所求直线方程为2xy0.故选B.答案：(2)B题型二两点间的距离公式的应用例 3已知ABC 三顶点坐标 A(3,1)、B(3，3)、C(1,7)，试判断ABC 的形状解析：方法一|AB|3323122 13，|AC|1327122 13，又|BC|1327
8、322 26，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形方法二 kAC711332，kAB 313323，则kACkAB1，ACAB.又|AC|1327122 13，|AB|3323122 13，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形方法技巧1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理变式训练 2(1)已知点 A(3,4)，B(2，3)，在 x 轴上找一点 P，使|PA|PB|，并
9、求|PA|的值；(2)已知点 M(x，4)与点 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的值解析：(1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|x32042 x26x25，|PB|x220 32 x24x7.由|PA|PB|，得x26x25x24x7，解得x95.故所求点P的坐标为(95，0).|PA|95320422 1095.(2)由|MN|7 2，得|MN|x224327 2，即x24x450，解得x19或x25.故所求x的值为9或5.题型三运用坐标法解决平面几何问题例 4在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)证明：设 BC 所在边为
10、 x 轴，以 D 为原点，建立坐标系，如图所示，设 A(b，c)，C(a,0)，则 B(a,0)|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)方法技巧利用坐标法解平面几何问题常见的步骤1建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；2用坐标表示有关的量；3将几何关系转化为坐标运算；4把代数运算结果“翻译”成几何关系变式训练 3已知：等腰梯形 ABCD 中，ABDC，对角线为AC 和 BD.求证：|AC|BD|.证明：如图所示，建立直角坐标
11、系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)|AC|b02c02 b2c2，|BD|aba2c02 b2c2.故|AC|BD|.易错辨析应用直线系方程漏解引发的错误例 5过两直线 xy10 和 2xy40 的交点，且到原点的距离为4 55 的直线方程解析：设所求直线为 xy1(2xy4)0，即(21)x(1)y410，由点到直线的距离公式得38所以所求直线方程为 2x11y200.因为原点到直线 2xy40 的距离也为4 55，故直线 2xy40 也符合题意故所求的直线方程为 2x11y200 和 2xy40.【易错警示】易错原因纠错心得应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线 2xy40.直线系(21)x(1)x410 表示经过两直线 xy10 和 2xy40 的交点，但不包括直线 2xy40，而本题是特殊情况，因为原点到直线 2xy40 的距离也为4 55.谢谢 观 看
