1、2015-2016学年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1命题“x（0，），tanxsinx”的否定是_2圆x2+y24x+6y=0的圆心坐标_3设P是椭圆上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=_4已知抛物线的焦点坐标是（0，3），则抛物线的标准方程是_5已知命题“若ab，则ac2bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有_个6已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是_7已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为_85k6是方程为的曲
2、线表示椭圆时的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）9已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数a=_10设椭圆（ab0）的两焦点为F1，F2若椭圆上存在点Q，使F1QF2=120，椭圆离心率e的取值范围为_11若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_条12设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是_13AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为_14在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0
3、的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为_二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围16（14分）（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，）求双曲线方程17（14分）已知圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆
4、弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y=0的距离为求该圆的方程18（16分）船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离19（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t0）在椭圆的准线上（）求椭圆的标准方程：（）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值20（16分）已知椭圆C：+=1（ab0），过左焦点F1（1
5、，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点（）求椭圆C的方程；（）求的取值范围；（）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点2015-2016学年江苏省南京市江浦、六合两校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1命题“x（0，），tanxsinx”的否定是，tanxsinx【考点】命题的否定【分析】根据命题“x（0，），tanxsinx”是特称命题，其否定为全称命题，将“”改为“”，“改为“”即可得答案【解答】解：命题“x（0，）
6、，tanxsinx”是特称命题命题的否定为：x（0，），tanxsinx故答案为：x（0，），tanxsinx【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题2圆x2+y24x+6y=0的圆心坐标（2，3）【考点】圆的一般方程【专题】计算题；直线与圆【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标【解答】解：将圆x2+y24x+6y=0化成标准方程，得（x2）2+（y+3）2=13圆表示以C（2，3）为圆心，半径r=的圆故答案为：（2，3）【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标着重考查了圆的标准
7、方程与一般方程的知识，属于基础题3设P是椭圆上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=10【考点】椭圆的定义【专题】计算题【分析】先确定椭圆中2a=10，再根据椭圆的定义，可得PF1+PF2=2a=10，故可解【解答】解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10故答案为：10【点评】本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的定义，属于基础题4已知抛物线的焦点坐标是（0，3），则抛物线的标准方程是x2=12y【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意和抛物线的性
8、质判断出抛物线的开口方向，并求出p的值，即可写出抛物线的标准方程【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0，3），所以抛物线开口向下，且p=6，则抛物线的标准方程x2=12y，故答案为：x2=12y【点评】本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题5已知命题“若ab，则ac2bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有2个【考点】四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据命题的等价关系，可先判断原命题与逆命题的真假【解答】解：若ab，c2=0，则ac2=bc2，原命题若ab，则ac2bc2为假；逆否命题与原命题等价，逆否命题也为假
9、原命题的逆命题是：若ac2bc2，则c20且c20，则ab，逆命题为真； 又逆命题与否命题等价，否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2，故答案为：2个【点评】本题考查命题的真假判断，根据命题的等价关系，四个命题中，真（假）命题的个数必为偶数个6已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3xy的取值范围【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3xy，直线4xy+1=0与x+2y2=0交于点A（0，1）
10、，直线2x+y4=0与x+2y2=0交于点B（2，0），直线4xy+1=0与2x+y4=0交于点C（，3），分析可知z在点C处取得最小值，zmin=31=，z在点B处取得最大值，zmax=320=6，z6，故答案为；【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；7已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为2或【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先由双曲线的两条渐近线的夹角为60，得双曲线的两条渐近线的斜率或，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由或，再由双曲线中c2=a2+b2，求其离心率即可【解
11、答】解：双曲线的两条渐近线的夹角为60，且渐近线关于x、y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30，150，斜率为若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60，120，斜率为若双曲线的焦点在x轴上，则或c2=a2+b2或或e21=3e=或e=2若双曲线的焦点在y轴上，则或c2=a2+b2或或e21=3e=或e=2综上所述，离心率为2或故答案为 2或【点评】本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键85k6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件
12、与充要条件的判断【专题】方程思想；数学模型法；简易逻辑【分析】方程的曲线表示椭圆（k5）（6k）0，k50，k56k，解出即可判断出【解答】解：方程的曲线表示椭圆（k5）（6k）0，k50，k56k，5k6，且k5.55k6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点评】本题考查了充要条件的判定、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数a=1【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得a0，即有焦点在x轴上，分别求得椭圆和双曲线的半焦距，解方程可得a=1【解答
13、】解：由题意可得a0，即有焦点在x轴上，可得椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，由题意可得=，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查焦点的位置判断和焦距的求法，属于基础题10设椭圆（ab0）的两焦点为F1，F2若椭圆上存在点Q，使F1QF2=120，椭圆离心率e的取值范围为【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及当Q为椭圆上下顶点时F1QF2最大，a2=b2+c211若点A（1，0）和点B（5，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有4条【考点】点到直线的距离公式【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆【分析】分别以A，B为圆心，以1和2为半径作圆，则符合条
14、件的直线为两圆的公切线，即可得出结论【解答】解：分别以A，B为圆心，以1和2为半径作圆，则符合条件的直线为两圆的公切线，显然两圆外离，故两圆共有4条公切线，满足条件的直线l共有4条故答案为：4【点评】本题考查了点到直线的距离，巧用转化法是快速解题的关键12设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意算出双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=连结PF，过P作右准线的垂线，垂足为M，由双曲线第二定义得|PM|=|PF|，从而得出|PA|+
15、|PF|=|PA|+|PM|，利用平面几何知识可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值由此利用双曲线的方程加以计算，可得满足条件的点P的坐标【解答】解：双曲线中，a=1，b=，c=2，可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=，设右准线为l，过P作PMl于M点，连结PF，由双曲线的第二定义，可得|PM|=|PF|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，设P（m，2），代入双曲线方程得m=，得点P（，2）满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）
16、有最小值的点P坐标为故答案为：【点评】本题给出定点A与双曲线上的动点P，求4|PA|+2|PF|有最小值时点P的坐标着重考查了双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题13AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y=x2的准线方程为y=，利用抛物线的定义可得|AB|y1+y2+，由弦AB的中点到x轴的距离是1，即可得出结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y=x2的准线方程为y=
17、，|AB|y1+y2+，弦AB的中点到x轴的距离是1，y1+y2=2，|AB|故答案为：【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线与直线的位置关系，正确运用抛物线的定义14在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或2【考点】圆的切线方程【专题】计算题；直线与圆【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，1），根据对称性，MNPR，=，k
18、MN=，+=0kMNkTQ=1，MNTQ，P，Q，R，T共线，kPT=kRT，即，a2a6=0，a=3或2故答案为：3或2【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法【专题】计算题【分析】先解不等式分别求出p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取
19、值范围【解答】解：p：|4x|6，x10，或x2，A=x|x10，或x2q：x22x+1a20，x1+a，或x1a，记B=x|x1+a，或x1a而pq，AB，即，0a3【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用，解题的关键是正确求解不等式16（14分）（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，）求双曲线方程【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质【专题】计算题；分类讨论；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程
20、【分析】（1）设出椭圆方程，利用条件得，解得a=4，c=2，b2=12，即可求椭圆的方程（2）设双曲线方程为x2y2=，代入点，求出，即可求双曲线方程【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为+=1（ab0）或+=1（ab0），由已知条件得，解得a=4，c=2，b2=12故所求椭圆方程为+=1或+=1（2）e=，设双曲线方程为x2y2=又双曲线过（4，）点，=1610=6，双曲线方程为x2y2=6【点评】本题考查椭圆、双曲线的方程，考查待定系数法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14分）已知圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y=0的距
21、离为求该圆的方程【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】依题意，可设所求圆心为P（a，b），半径为r，由截y轴所得的弦长为2可得r2=a2+1；由被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90，从而有r=b；再由圆心到直线l：x2y=0的距离为可得a2b=1，综合可求得a，b的值，从而可得该圆的方程【解答】解：设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90，故r=b，即r2=2b2，2b2a2=
22、1，又P（a，b）到直线x2y=0的距离为，即=，即a2b=1解组成的方程组得：或，于是即r2=2b2=2，所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x1）2+（y1）2=2【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题18（16分）船上两根高5m的桅杆相距10m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】以两根桅杆的顶端A，C所在直线
23、为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立如图所示直角坐标系，求出椭圆的方程，然后求解P到桅杆AB的距离【解答】解：以两根桅杆的顶端A，C所在直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立如图所示直角坐标系，则P点在以A，C为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的方程为，因为P点纵坐标为5，代入椭圆方程可解得所以P到桅杆AB的距离为m（14分）答：绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为m（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力19（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t0）在椭圆的准线上（）求椭圆的标准方程：（）求以OM为直径且被直线
24、3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线
25、的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x4y5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值【解答】解：（）又由点M在准线上，得=2故=2，c=1，从而a=所以椭圆方程为+y2=1；（）以OM为直径的圆的方程为x（x2）+y（yt）=0即（x1）2+=+1，其圆心为（1，），半径r=因为以
26、OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x4y5=0的距离d=所以=，解得t=4所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=5（）设N（x0，y0），则=（x01，y0），=（2，t），=（x02，y0t），=（x0，y0），2（x01）+ty0=0，2x0+ty0=2，又，x0（x02）+y0（y0t）=0，x02+y02=2x0+ty0=2，所以|=为定值【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和20（16分）已知椭圆C：+=1（ab0
27、），过左焦点F1（1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点（）求椭圆C的方程；（）求的取值范围；（）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；定义法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意可得c=1，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（）设直线PB的方程为y=k（x4），代入椭圆方程，运用韦达定理，及向量的数量积的坐标表示，化简整理，由不等式的性质，即可得到所求范围；（）求得E的坐
28、标，以及直线AE的方程，令y=0，运用韦达定理，化简整理，即可得到所求定点【解答】解：（）由题意可得c=1，F2MN的周长为8，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，即有b=，则椭圆的方程为+=1；（）解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x4），由代入椭圆的方程得：（3+4k2）x232k2x+64k212=0由=（32k2）24（4k2+3）（64k212）0得：k2，设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x14）（x24）=k2x1x24k2（x1+x2）+16k2，=x1x2+y1y2=（1+k2）4k2+16k2=25，0k2，29，4，），的取值范围是4，）（）证明：B、E两点关于x轴对称，E（x2，y2），直线AE的方程为yy1=（xx1），令y=0得：x=x1，又y1=k（x14），y2=k（x24），x=，由将代入得：x=1，直线AE与x轴交于定点（1，0）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题
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