1、第1课时两点间的距离公式课时过关能力提升1.若点A为(1,-3),点B为(5,-1),则原点到线段AB中点的距离是()A.1B.13 C.13 D.210解析:因为线段AB中点为M(3,-2),所以|OM|=32+(-2)2=13.答案:B2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=13,则实数k等于()A.3B.3C.-3D.0解析:|AB|=(2k-k)2+(-1-1)2=13,解得k=3.答案:A3.已知点P的横坐标是7,点P到点Q(-1,5)的距离为10,则点P的纵坐标是()A.11B.-1C.11或-1D.41解析:设点P的纵坐标为y,则(-1-7)2+(5-y)2=10,
2、解得y=11或y=-1.答案:C4.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与y=2x平行,则|AB|的值为()A.5B.5 C.2 D.2解析:kAB=b-a5-4=b-a,又因为过点A,B的直线与y=2x平行,所以b-a=2,所以|AB|=(5-4)2+(b-a)2=5.答案:B5.已知两点M(a,b),N(c,d),且a2+b2-c2+d2=0,则()A.原点一定是线段MN的中点B.M,N一定都与原点重合C.原点一定在线段MN上但不一定是中点D.点M,N到原点的距离相等解析:将等式a2+b2-c2+d2=0变形为a2+b2=c2+d2,根据两点间的距离公式可知,点M(a,b)到原点的距离与
3、点N(c,d)到原点的距离相等.答案:D6.若点(a,b)关于直线y=2x的对称点在x轴上,则a,b满足的条件为()A.4a+3b=0B.3a+4b=0C.2a+3b=0D.3a+2b=0解析:设点(a,b)关于直线y=2x的对称点为(c,0),由题意得b+02=2a+c2,b-0a-c=-12,消去c得4a+3b=0,即a,b满足的条件为4a+3b=0,故选A.答案:A7.已知A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是()A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)解析:点A(1,3)关于x轴的对称点为A(1,-3),连接AB并延长
4、交x轴于点P,即为所求.直线AB的方程是y+3=-2+35-1(x-1),即y=14x-134.令y=0,得x=13.答案:B8.在平面直角坐标系中,给出点A(1,0),B(4,0).若直线x+my-1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则实数m的取值范围是.解析:设P(1-my,y),因为|PA|=2|PB|,所以(my)2+y2=4(3+my)2+y2,整理得(m2+1)y2+8my+12=0,由题意知方程有解,即=64m2-48(m2+1)=16m2-480,解得m3或m-3,故实数m的取值范围是(-,-33,+).答案:(-,-33,+)9.已知点A(-3,5),B(2,15),
5、点P在直线l:3x-4y+4=0上,则|PA|+|PB|的最小值为.解析:设点A关于l:3x-4y+4=0的对称点为C(a,b),则3a-32-4b+52+4=0,b-5a+3=-43, 解得a=3,b=-3,所以|PA|+|PB|的最小值为|CB|=(2-3)2+15-(-3)2=513.答案:51310.已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示.正三角形ABC的边长为a,B-a2,0,Ca2,0,A0,32a,设P(x,y),由两点间距离公式得,|PA
6、|2+|PB|2+|PC|2=x2+y-32a2+x+a22+y2+x-a22+y2=3x2+3y2-3ay+5a24=3x2+3y-36a2+a2a2,当且仅当x=0,y=36a时,等号成立.故所求最小值为a2,此时点P是正三角形ABC的中心.11.在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(7,1),D(4,6),M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P,求线段AP的长.解AB的中点为M(4,1),因为四边形ABCD为平行四边形,所以AC的中点与BD的中点重合,设点C的坐标为(x,y),则x+12=7+42,y+12=1+62,解得点C(10,6).所以直线CM的方程为y-1=6-110-4(x-4),即5x-6y-14=0.又直线BD的方程为y-1=6-14-7(x-7),即5x+3y-38=0.由5x-6y-14=0,5x+3y-38=0,得P6,83. 所以由两点间的距离公式得|AP|=(6-1)2+83-12=5103.