1、1.4两条直线的交点课时过关能力提升1.下列直线中,与直线2x-y-3=0相交的是()A.2ax-ay+6=0(a0)B.y=2xC.2x-y+5=0D.2x+y-3=0解析:选项A,B,C中的直线均与直线2x-y-3=0平行.答案:D2.若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.12,16 B.12,-16C.16,-12 D.-16,12解析:因为m+2n-1=0,所以m=1-2n,则直线mx+3y+n=0可化为x+3y+(-2x+1)n=0,由x+3y=0,-2x+1=0,解得x=12,y=-16. 故直线mx+3y+n=0过定点12,-16.答案:B3.直线l
2、经过l1:x+y-2=0与l2:x-y-4=0的交点P,且过线段AB的中点Q,其中A(-1,3),B(5,1),则直线l的方程是()A.3x-y-8=0B.3x+y+8=0C.3x+y-8=0D.3x-y+8=0解析:由x+y-2=0,x-y-4=0,得两直线交点P为(3,-1),又因为点Q为(2,2),所以直线l的斜率为-3,所以所求直线l的方程为y+1=-3(x-3),即3x+y-8=0.答案:C4.若点A(3,-4)与点A(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x+6y+16=0B.6x-y-22=0C.6x+y+16=0D.x+6y-16=0解析:AA中点为(4,2),kAA
3、=8-(-4)5-3=6,所求直线为y-2=-16(x-4),即x+6y-16=0.答案:D5.已知直线l1:x+2y-6=0,l2:x-y-3=0,则l1,l2,x轴及y轴围成的四边形的面积为()A.8B.6C.152 D.3解析:解方程组x+2y-6=0,x-y-3=0,得x=4,y=1,即直线l1,l2的交点坐标为(4,1);直线l1:x+2y-6=0与x轴,y轴的交点坐标分别为(6,0),(0,3);直线l2:x-y-3=0与x轴,y轴的交点坐标分别为(3,0),(0,-3).如图,可知所求四边形的面积为1263-1231=152.答案:C6.直线l:y=kx-1与y-2x-1=12不
4、相交,则k的值是()A.12或3 B.12 C.3 D.13或2解析:y-2x-1=12表示直线x-2y+3=0去掉点(1,2),所以直线l:y=kx-1与y-2x-1=12不相交只有直线l与x-2y+3=0平行或直线l过点(1,2),所以k的取值为12或3.答案:A7.过点A(ln 1,log28)及直线3x-y+3=0与x轴的交点的直线的一般式方程为.解析:点A的坐标为(0,3),直线3x-y+3=0与x轴的交点坐标为(-1,0),由截距式得所求直线方程为x-1+y3=1,即3x-y+3=0.答案:3x-y+3=08.过点P(3,0)作一条直线l,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2
5、:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,则直线l的方程为.解析:(方法一)显然所求直线的斜率存在,设直线的方程为y=k(x-3),点A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由题意得k2且k-1,由y=k(x-3),2x-y-2=0,解得xA=3k-2k-2,yA=4kk-2, 由y=k(x-3),x+y+3=0,解得xB=3k-3k+1,yB=-6kk+1. P(3,0)是线段AB的中点,xA+xB=6,yA+yB=0,即3k-2k-2+3k-3k+1=6,4kk-2+-6kk+1=0,解得k=8.故所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.(方法二)不妨设点A(x
6、,y)在l1上,点B(xB,yB)在l2上.由题意知x+xB2=3,y+yB2=0,则点B(6-x,-y),解方程组2x-y-2=0,6-x-y+3=0,得x=113,y=163,则所求直线的斜率k=163-0113-3=8.故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.答案:8x-y-24=09.求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.证明(方法一)取m=1时,直线方程为y=-4;取m=12时,直线方程为x=9,两直线的交点为P(9,-4),将点P的坐标代入原方程左边,得(m-1)9+(2m-1)(-4)=m-5=右边.故不论m为何实数,点P(
7、9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上,即直线恒过点P(9,-4).(方法二)原方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.若对任意m都成立,则有x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4,故不论m为何实数,所给直线都过定点P(9,-4).10.已知直线l1:(a+3)x+4y=5-3a与l2:2x+(a+5)y=8,求当a为何值时,(1)直线l1与l2相交且交点在x轴上方;(2)直线l1与l2平行.解(1)由(a+3)x+4y=5-3a,2x+(a+5)y=8,消去x得(a2+8a+7)y=14(a+1),即y=14(a+1)a2+8a+7=14a+70
8、,且a+10,所以a-7且a-1.(2)若l1l2,则(a+3)(a+5)-8=0,8(a+3)-2(5-3a)0,解得a=-7.11.已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x-2y-1=0.(1)求直线l的方程;(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.解(1)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2.所以点P的坐标是(-2,2).又所求直线l与直线x-2y-1=0垂直,所以可设直线l的方程为2x+y+C=0.因为直线l过点P,把点P的坐标代入得2(-2)+2+C=0,即C=2.故所求直线l的方程为2x+y+2=0.(2)由直
9、线l的方程知,它在x轴、y轴上截距分别是-1,-2,所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=1212=1.12.已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M:(1)使|MA|-|MB|最大;(2)使|MA|+|MB|最小.解(1)先作点B关于l的对称点B,连接AB并延长交l于点M,则点M即为所求.由图知A,B,M三点共线且M在线段AB的延长线上时,|MA|-|MB|最大.设线段BB的中点坐标为(x,3x-1),又由BB关于l对称得点B的坐标为(2x,6x-6),且kBBkl=-1,即6x-6-42x-0=-13,解得x=32.点B的坐标为(3,3).AB所在直线方程为y-13-1=x-43-4,即2x+y-9=0.此时,由2x+y-9=0,3x-y-1=0,得x=2,y=5.即点M的坐标为(2,5).图(2)连接AB,交l于点M,则点M即为所求.由图知A,M,B三点共线且M在线段AB上时,|MA|+|MB|最小.图由题意知AB所在直线方程为y-14-1=x-4-4,即3x+4y-16=0.此时由3x+4y-16=0,3x-y-1=0,解得x=43,y=3.所以点M的坐标为43,3.