1、第三十章二次函数30.4 二次函数的应用第2课时求二次函数解几何最值问题1课堂讲解u二次函数的最值u几何面积的最值2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究1知识点二次函数的最值1当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最值即当x时，y最值 .当a0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；当a0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值知1讲知1讲2.当自变量的取值范围是x1xx2时，(1)若在自变量的取值范 围x1xx2内，最大值与最小值同时存在，如图，当a0时，最小值在x处取得，
2、最大值为函数在xx1，xx2时的 较大的函数值；当a0时，最大值在x处取得，最小值为函数在xx1，xx2时的较小的函数值；知1讲(2)若不在自变量的取值范围x1xx2内，最大值和最小值同时存在，且函数在xx1，xx2时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图.导引：先求出抛物线yx22x3的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，利用图象求解例1分别在下列范围内求函数yx22x3的最值：(1)0 x2；(2)2x3.知1讲解：yx22x3(x1)24，图象的顶点坐标为(1，4)(1)x1在0 x2范围内，且a10，当x1时，y有最小
3、值，y最小值4.x1是0 x2范围的中点，在直线x1两侧的图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值知1讲知1讲(2)x1不在2x3范围内(如图)，而函数yx22x3(2x3)的图象是抛物线 yx22x3的一部分，且当2x3时，y随x的增大而增大，当x3时，y最大值322330；当x2时，y最小值222233.总结知1讲求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解1 二次函数yx24xc的最小值为0，则c的值为()A2 B4 C4 D162已知0 x ，那么函数y2x28x6的最大值是()A6B2.5 C2D不能确定知1练BB3 已知yx
4、(x3a)1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1x5时，若y在x1时取得最大值，则实数a的取值情况是()Aa9 Ba5 Ca9 Da54 二次函数y2x26x1，当0 x5时，y的取值范围是_知1练D5 若二次函数yx2ax5的图象关于直线x2对称，且当mx0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_知1练2知识点几何面积的最值知2导利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值知2讲用总长度为
5、24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行.设AB=x m，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米?例2 知2讲1.当矩形的宽AB=x m时，如何用包含x的代数式表示矩形的长BC?2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么?3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗?4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.5.该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值是多少?思考：知2讲 当x=3时，S有最大值，且S最大12m2答：当x=3时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为12 m2.解：知2讲例
6、3 如图，已知ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80 cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD x(cm)，SBDEFy(cm2)，求：(1)y与x之间的函数关系式 (2)自变量x的取值范围 (3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出DCE的边CD上的高和ABC的边BC上的高，根据条件求出ABC的边BC上的高，再利用相似找出其他等量关系，然后设法用x表示BDEF的边 BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据 x的取值范围及求最值的方法解题知2讲解：(1)设DCE的边CD上的高为h cm，
7、ABC的边BC上的高为b cm，则有SBDEFxh(cm2)SABCBCb，2 400 80b.b60.四边形BDEF为平行四边形，DEAB.EDCABC.yx x260 x，即yx260 x.知2讲 (2)自变量x的取值范围是0 x80.(3)由(1)可得y (x40)21 200.a0，0 x80，当x40时，y取得最大值，最大值是1 200.总结知2讲本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积如图，已知AB2，点C在线段AB上，四边 形AC
8、DE和四边形CBFG都是正方形.设BC=x.(1)AC_.知2练12x(2)设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积 为S，用x表示S的函数表达式为S_.(3)总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少?(4)当总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置？知2练(3)S2x24x42(x1)22.a20，S有最小值，S最小值2.(4)当S2时，2(x1)222，解得x1.AB2，AC2x1，点C在AB的中点处2x24x42 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为()A25 cm2 B50 cm2 C100 cm2 D不确定3 用一条长为40
9、cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为()A20 B40 C100 D120知2练BD4 如图，在矩形ABCD中，AD1，AB2，从较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在()AAD的中点 BAEED(1)2 CAEED1 DAEED(1)2 知2练A【中考宿迁】如图，在RtABC中，C90，AC6 cm，BC2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时,另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是(
10、)A20 cm B18 cm C2 cm D3 cm知2练5C【中考金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，ABBC10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)(1)如图，若BC4 m，则S_；知2练688m2(2)如图，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以 CD为边拓展一等边三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在 BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为_知2练【中考绍兴】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可
11、建围墙的总长为50 m设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)(1)如图，问当饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室 的占地面积最大，小敏说：“只 要饲养室长比(1)中的长多2 m就 行了”请你通过计算，判断小 敏的说法是否正确知2练7知2练(1)yx (x25)2，当x25时，占地面积y最大，即当饲养室长为25 m时，占地面积最大(2)yx (x26)2338，当x26时，占地面积y最大，即当饲养室长为26 m时，占地面积最大262512，小敏的说法不正确解：利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题1知识小结