1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线y=kx与直线y=2x+1垂直,则实数k=()A.2B.-2C.12 D.-12解析:因为两直线垂直,所以k2=-1,即k=-12,故选D.答案:D2.如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是()A.B.C.D.解析:根据线面垂直的判定定理可知满足,故选A.答案:A3.已知直线l平面,直线m平面,有下面四个命题:lm;lm;lm;lm.其中正确的有()A.B.
2、C.D.解析:正确,因为l,所以l,又m,故lm;错误,直线l与m的关系不确定;正确,因为l,lm,所以m,又m,由面面垂直的判定定理可知;错误,两平面也可能相交.故选D.答案:D4.在空间直角坐标系中,若一定点到三个坐标轴的距离都是2,则该定点到原点的距离是()A.6B.23C.3D.263解析:设原点为O,定点为P(a,b,c),则由题意,得a2+b2=2,a2+c2=2,b2+c2=2,所以a2+b2=4,a2+c2=4,b2+c2=4,整理得a2+b2+c2=6,所以|PO|=a2+b2+c2=6.答案:A5.已知直线l1:y=ax-2a+5过定点A,则点A到直线l:x-2y+3=0的
3、距离为()A.25 B.55 C.5 D.255解析:y=ax-2a+5可化为a(x-2)+5-y=0,故A(2,5).故点A到直线l:x-2y+3=0的距离d=|2-10+3|12+22=5.答案:C6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解析:由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为12224+224=16+8.故选A.答案:A7.已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且ABCD,ADBC,则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定解析: 过点A作AO面BCD,垂足为O,连接BO
4、,CO,DO.因为ABCD,AOCD,所以CD平面AOB,所以BOCD,同理DOBC.所以O为BCD的垂心,所以COBD.又AOBD,所以BD平面AOC.所以BDAC.故选A.答案:A8.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.-33,33B.-33,00,33C.-33,33D.-,-3333,+解析:C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).如图所示.当m=0时,C2:y=0,此时C1与C2显然只有两个交点,不符合题意;当m0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)
5、有两个交点,当圆与直线相切时,m=33,故当-33m0或0m33时满足题意.综上,可得-33m0或0m33.答案:B9.将直线2x-y+=0沿x轴向左平移1个单位长度,所得直线与x2+y2+2x-4y=0相切,则实数的值为()A.0或10B.-2或8C.-3或7D.1或11解析:将直线平移后得到y=2(x+1)+=2x+2+,由题意可知,该圆圆心为(-1,2),半径为5,则|-2-2+2+|22+(-1)2=5, 解得=-3或=7,故选C.答案:C10.已知a,b为两条直线,为两个平面,有下列四个结论:ab,ab;ab,ab;a,a;a,a.其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解
6、析:不正确,b可能在平面内;不正确,b可能在平面内;不正确,a可能在内;不正确,平面可能经过直线a.所以均不正确.故选D.答案:D11.在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题:到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个正方形;到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆;到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0;到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的轨迹是两条平行线.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4
7、个解析:根据题意,设到原点的“折线距离”等于1的点为P(x,y),则|x|+|y|=1,故到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是由四条直线x+y=1,x+y=-1,x-y=1,x-y=-1围成的四边形,是正方形,所以正确,错误;设到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”相等的点为P(x,y),则|x+1|+|y|=|x-1|+|y|,所以|x+1|=|x-1|,化简,得x=0,所以正确;设到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点为P(x,y),则|(|x+1|+|y|)-(|x-1|+|y|)|=1,即|x+1|-|x-1|=1,所以x=12,故两条平行直线,
8、故正确.答案:C12.如图所示,矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻转成A1DE,构成四棱锥A1-BCDE.若M为线段A1C的中点,在翻转过程中有如下4个命题:MB平面A1DE;存在某个位置,使DEA1C;存在某个位置,使A1DCE;点A1在半径为2的圆周上运动.其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4解析:如图,取CD的中点F,连接MF,BF,则MFDA1,BFDE,所以平面MBF平面A1DE,所以MB平面A1DE,故正确.因为A1C在平面ABCD中的射影在AC上,AC与DE不垂直,所以不存在某个位置,使DEA1C,故不正确.由CEDE,可得存在某
9、个位置使CE平面A1DE,从而A1DCE,故正确.因为DE的中点O是定点,OA1=2,所以点A1是在以O为圆心,2为半径的圆周上运动,故正确.故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知点A(-2,3),B(1,-4),则直线AB的方程是.解析:kAB=-4-31-(-2)=-73,直线AB的方程为y-3=-73(x+2),即为7x+3y+5=0.答案:7x+3y+5=014.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为.解析:如图所示,作EFAB于点
10、F.因为OE=(2)2-1=1,所以OE=12,EF=24,则直观图ABCD的面积为S=12(1+3)24=22.答案:2215.在平面直角坐标系xOy中,设直线y=3x+2m和圆x2+y2=n2相切,其中m,nN+,0|m-n|1,若函数f(x)=mx+1-n的零点x0(k,k+1),kZ,则k=.解析:直线y=3x+2m与圆x2+y2=n2相切,2m1+3=n,即2m-1=n.又0|m-n|1,m,nN+,m=3,n=4,f(x)=3x+1-4.令f(x)=0,可得x0=log343,0x01.又x0(k,k+1),kZ,k=0.答案:016.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已
11、知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为.解析:设球的半径为R,六棱柱的底面边长为a,高为h,显然有a2+h22=R.由V六棱柱=634a2h=98,6a=3,解得a=12,h=3. 所以R=1,则V球=43R3=43.答案:43三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知两直线l1:2x-y+7=0,l2:x+y-1=0,点A(m,n)是l1和l2的交点.(1)求m,n的值;(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程;(3)求过点A且平行于直线l:2x-3y-1=0的直线l4的方程.解
12、(1)因为A(m,n)是l1和l2的交点,所以由2m-n+7=0,m+n-1=0,解得m=-2,n=3.(2)由(1)得点A为(-2,3).因为kl1=2,l3l1,所以kl3=-12,由点斜式得,直线l3的方程为y-3=-12(x+2),即x+2y-4=0.(3)因为l4l,所以kl=kl4=23,由点斜式得,直线l4的方程为y-3=23(x+2),即2x-3y+13=0.18.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD中,BDCD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H是BE的中点,G是AE,DF的交点,连接GH.求证:(1)GH平面CDE;(2)BD平面CDE.证明(1)四边形AD
13、EF是正方形,且G是对角线AE,DF的交点,G是AE的中点.又H是BE的中点,在EAB中,GHAB,ABCD,GHCD.又CD平面CDE,GH平面CDE,GH平面CDE.(2)平面ADEF平面ABCD,交线为AD,EDAD,ED平面ADEF,ED平面ABCD,EDBD.又BDCD,且CDED=D,BD平面CDE.19.(12分)已知直线l经过两点(2,1),(6,3).(1)求直线l的方程;(2)圆C的圆心在直线l上,并且与x轴相切于点(2,0),求圆C的方程.解(1)由题意可知,直线l经过点(2,1),(6,3),由直线方程的两点式可得直线l的方程为y-13-1=x-26-2,整理得x-2y
14、=0.(2)依题意,设圆C的方程为(x-2)2+y2+ky=0(k0),其圆心为2,-k2.圆心C在x-2y=0上,2-2-k2=0,k=-2.圆C的方程为(x-2)2+y2-2y=0,即x2+y2-4x-2y+4=0.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.分析在第(1)问中,由于圆心C及点P的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CMMP,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M的坐标所满足的等式,从而得到点M的轨迹方程;
15、在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l垂直,由此求出直线l斜率从而得到其方程,同时可求得POM的面积.解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4).设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所
16、以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,计算可知O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为1241054105=165.21.(12分)已知以点Ct,2t(tR,且t0)为圆心的圆经过原点O,且与x轴的另一交点为A,与y轴的另一交点为B.(1)求证:AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.(1)证明由题意知,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2
17、+4t2,化简得x2-2tx+y2-4ty=0.当y=0时,x=0或x=2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或y=4t,则B0,4t,SAOB=12|OA|OB|=12|2t|4t=4,故AOB的面积为定值.(2)解|OM|=|ON|,原点O在线段MN的垂直平分线上.设MN的中点为H,则CHMN,C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12,t=2或t=-2.圆心为C(2,1)或(-2,-1).圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.当圆C的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,圆心到直线2x+y-4=0的距离大于5,此时不满足直线与
18、圆相交,舍去,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解由(2)知,圆心C(2,1),半径r=5.点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|,又B到圆上点Q的最短距离为|BC|-r=(-6)2+(-3)2-5=35-5=25,则|PB|+|PQ|的最小值为25.直线BC的方程为y-1-2-1=x-2-4-2,即y=12x,此时点P为直线BC与直线x+y+2=0的交点,由y=12x,x+y+2=0,解得x=-43,y=-23, 故此时点P的坐标为-43,-23.22.(12分)如图所示,在直角梯形ABCD中,ADBC
19、,BAD=90,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图图(1)求证:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.(1)证明在题图中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=90,所以BEAC.在题图中,因为BEA1O,BEOC,A1OOC=O,所以BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由题意知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,A1O平面A1BE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,由题图可知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.
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