江苏省南京市2021届高三数学学情调研试题（含解析）.doc

1、江苏省南京市2021届高三数学学情调研试题（含解析）注意事项：1本试卷共6页，包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置3作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分

2、，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知集合Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则AB Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x32已知(34i)z1i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且|ab|，则a与b的夹角为A B C D4在平面直角坐标系xOy中，若点P(4，0)到双曲线C：1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为A2B4 C D5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2bcosC2ac，则角B的取值范围是

3、A(0， B(0， C，) D，)6设alog4 9，b21.2，c()，则Aabc Bbac Cacb Dcab7在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x1)2y21，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T若PTPB，则动点P的轨迹方程为Ax2y214x180Bx2y214x180Cx2y210x180 Dx2y210x1808已知奇函数f (x)的定义域为R，且f (1x)f (1x)若当x(0，1时，f(x)log2(2x3)，则f ()的值是A3 B2 C2 D3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题

4、卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分95G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10将函数f(x)sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，则A函数g(x

5、)的图象关于直线x对称 B函数g(x)的图象关于点(，0)对称 C函数g(x)在区间(，)上单调递增 D函数g(x)在区间(0，)上有2个零点11已知(2x)(12x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6x，则Aa0的值为2 Ba5的值为16Ca1a2a3a4a5a6的值为5 Da1a3a5的值为12012记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I若存在x0I，使得对任意xI，不等式f(x)g(x)(xx0)0恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M函数对”下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（ ）Af(x)lnx，g(x) Bf(x)ex，g(x)exCf(x)x3，g(x)x2 Df

6、(x)x，g(x)3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上r13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y4与抛物线C：yx2交于A

7、，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 15已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Snanan1，nN*，则a4 ； 若a12，则S20 (本题第一空2分，第二空3分)16若不等式(ax2bx1)ex1对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则ab的取值范围是 四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知向量m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，xR设函数f(x)mn1（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若，且f()，求cos2的值18（本小题满分

8、12分）已知数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn （1）在S1S32S22，S3，a2a34a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中求数列an的通项公式，并判断此时数列an是否满足条件P：任意m，nN*，aman均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足bnn()n1，nN*，求数列bn的前n项和Tn注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下： 是否达标性别不达标达标男生

9、3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：2 ，P(2k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望20（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AD/BC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点E在棱PC上，设CEC

10、PEDCBAP（1）求证：CDAE；（2）记二面角CAED的平面角为，且|cos|，求实数的值 21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21 （1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；（2）设A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点若ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程22（本小题满分12分）已知函数f (x)kxxlnx，kR（1）当k2时，求函数f (x)的单调区间；（2）当0x1时，f (x)k恒成立，求k的取值范围；（3）设nN*，求证：南京市 2021届高三年级学情调研测试数学试卷考点扫

11、描一、单项选择题：题号考点所属章节/模块第1题集合的运算（交集）集合第2题复数的运算复数第3题平面向量的数量积运算平面向量第4题圆锥曲线的几何性质（离心率）圆锥曲线第5题解三角形（正余弦定理）解三角形第6题指数、对数比较大小指数函数、对数函数第7题动点的轨迹方程（直线与圆）解析几何第8题函数的基本性质（奇偶性、周期性、对称性）函数的概念与性质整体分析：1-6题较为基础；第7题需要掌握切线长的转换，进而表示PA与PB的表达式，通过设P点求出轨迹方程；第8题需要利用已知条件中的关系式（关于直线x=1对称）、奇函数得出周期，进而求出对应区间的函数值。单项选择题基本上都是考查基础，难度较低或中等偏下一

12、些，需要平时多多注重基础的扎实度，拿到满分比较容易。二、多项选择题：题号考点所属章节/模块第9题统计图的信息统计第10题三角函数的对称轴、对称中心、单调性、零点三角函数的图像与性质第11题二项式定理中项的系数二项式定理第12题新定义函数函数的概念与性质整体分析：9-11题考查较为基础，难度较低，但要注意所学知识的全面性，不能有漏洞，另外，多选题更需要策略和方法。12题要注意理解新定义的概念，并运用函数的性质验证即可，难度一般，但是容易失分或少得分。三、填空题：题号考点所属章节/模块第13题圆柱体与球的体积几何体的体积第14题文化题（抛物线的切线、面积）圆锥曲线、导数的几何意义第15题数列的项、

13、求和数列求和第16题含参函数的恒成立问题函数与导数整体分析：13题较为基础，主要考查几何体的体积运算；14题考查文化题题型，需要理解阿基米德三角形或定理的运算，然后应用到抛物线求解切线方程以及直线构成的三角形的面积，当然千万不要忘记最后的三分之二，难度一般，此题为新题型：文化题，需要注意训练；15题考查数列的性质及求和，该数列较为容易递推出来奇数项和偶数项都是隔项成等差数列，而且奇数项和偶数项一样，进而求出第4项和求和，难度适中，此题为新题型：双空题，需要注意训练；16题考查多参数的函数恒成立问题，需要分类进行讨论，分析求导并判断单调性得出答案，难度中等偏上，一般情况下不一定能做出来。四、解答

14、题：题号考点所属章节/模块第17题平面向量数量积坐标公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换求三角函数值平面向量、三角函数第18题数列求通项公式、错位相减求和数列第19题线性回归分析、随机变量的分布列、期望统计案例、概率统计第20题立体几何证明平行与垂直、二面角问题立体几何、空间向量第21题椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系综合圆锥曲线第22题函数的单调性、恒成立问题、推理与证明函数与导数整体分析：17题考查平面向量数量积坐标公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换求三角函数值等，难度较小，需要拿到满分；18题考查数列的通项公式、错位相减法求和，此题为新题型：开放性试题，平时需要注意训练；1

15、9题考查线性回归分析、随机变量的概率、期望、分布列等，难度不大，较为基础，需要注意计算正确；20题考查立体几何证明平行与垂直、利用二面角的余弦值求实数，需要利用空间向量建立空间直角坐标系解题，难度不大，同样需要注意求解面的法向量时的计算；21题考查圆锥曲线综合，整体来说，第一问考查较为新颖，而不是老套的求解标准方程，第二问考查较为经典：中点弦、向量垂直等关系，需要设出直线方程，利用垂直求得关系式得出结果，注意不要忘记检验二次函数的判别式是否满足题意，难度中等，也许拿到满分不是那么容易；21题考查导数与函数综合应用，第一问，较为简单，求函数的单调区间；第二问，考查含参函数的恒成立问题，需要分类讨

16、论，最好是构造新函数解决，较为清晰化，难度中等；第三问，利用第二问的一般性结论证明不等式，并合理利用函数性质建立不等关系，证明结果，难度较大。南京市2021届高三年级学情调研全解析 数 学 2020.09注意事项：1本试卷共6页，包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置3作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答

17、在试卷上4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知集合Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则AB Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3解析：集合Ax|x2x20=x|-1x2，ABx|1x2 ，答案选C.2已知(34i)z1i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：z=，z对应的点位于第二象限，答案选B.3已知向量a，b满足

18、|a|1，|b|2，且|ab|，则a与b的夹角为A B C D解析：|ab|2=|a|2+2ab+|b|25+4cos=3，解得，所以，答案选D.4在平面直角坐标系xOy中，若点P(4，0)到双曲线C：1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为A2B4 C D解析：双曲线C：1的一条渐进线方程为3xay=0，则点P到该渐进线方程的距离为，解得a2=3，所以椭圆的离心率为，故答案选A.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2bcosC2ac，则角B的取值范围是A(0， B(0， C，) D，)解析：因为2bcosC2ac，所以由余弦定理可得2ac，化简得aca2+c2b2，即，因

19、为，则，答案选A.6设alog4 9，b21.2，c()，则Aabc Bbac Cacb Dcab解析：由题意b21.2=1，alog4 9=log2 3=log2 ，c()，所以acb，答案选C.7在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x1)2y21，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T若PTPB，则动点P的轨迹方程为Ax2y214x180Bx2y214x180Cx2y210x180 Dx2y210x180解析：根据切线长的求解方法得到PT=PB，即，设点P(x，y)，代入到公式中化简得，x2y210x180，答案选C.8已知奇函数f (x)的定义域为R，且f (1x)f (1x)

20、若当x(0，1时，f(x)log2(2x3)，则f ()的值是A3 B2 C2 D3解析：由题意f (1x)f (1x)可得函数关于直线x=1对称，则有f (2x)f (x) ，且f (x)为奇函数，则f (2x)f (x)f (x)，f (4x)f (2x)f (x)，即周期为4，所以f ()，答案选B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分95G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直

21、接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势解析：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中并非一直处于领先地位，很明显C选项不正确，答案选ABD.10将函数f(x)sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，则A函数g(x)的图象关于直线x对称 B函数g(x)的图象关于点(，0)对称 C函数g(x

22、)在区间(，)上单调递增 D函数g(x)在区间(0，)上有2个零点解析：由题意可知yg(x)sin，可验证g()1，所以A选项正确；g()0，所以B选项错误；令，解得，所以C选项正确；法一：可通过五点作图法画出图像验证D选项；法二：可令，解得，在区间(0，)上有满足题意，为两个零点，所以D选项正确，答案选ACD.11已知(2x)(12x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6x，则Aa0的值为2 Ba5的值为16Ca1a2a3a4a5a6的值为5 Da1a3a5的值为120解析：由题意可令x=0，解得a0=2，所以A选项正确；a5，所以B选项正确；令x=1，解得a0a1a2a3a4a5a6=3

23、，所以a1a2a3a4a5a6=5，所以C选项正确；令x=1，解得a0a1a2a3a4a5a6=(a0a2a4a6)(a1a3a5)=243，式子间进行联立，可解得a1a3a5=123，所以D选项错误，答案选ABC.12记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I若存在x0I，使得对任意xI，不等式f(x)g(x)(xx0)0恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M函数对”下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（ ）Af(x)lnx，g(x) Bf(x)ex，g(x)exCf(x)x3，g(x)x2 Df(x)x，g(x)3解析：由题意f(x)g(x)(xx0)0恒成立，可知当时，f(x)g(

24、x)，当时，f(x)g(x)，则可根据图象验证选项，只有AC选项符合，故答案选AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上r13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则 答案：2解析：由题意可列出体积公式为：，解得2.14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的

25、阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y4与抛物线C：yx2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 答案： 解析：由题意可求出A，B点的坐标分别为A(4，4)，B(4，4)，且求得在A，B两点的切线方程分别为：y2x4，y2x4，两直线交点为(0，4)，则弦AB与两切线构成的三角形的面积为，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为.15已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Snanan1，nN*，则a4 ； 若a12，则S20 (本题第一空2分，第二空3分)答案：4；220 解析：由2Snanan1可得2Sn1an

26、1an2，两式相减得2an1an1(an2an)，由数列an的各项均为正数，可得到an2an2，令n=1，则有2S12a1a1a2，解得a22，所以a44；若a12，则a34，即奇数列与偶数列均为首项为2，公差为2的等差数列，可求得S202220.16若不等式(ax2bx1)ex1对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则ab的取值范围是 答案：(，1解析：可设f(x)=(ax2bx1)ex，可知f(0)=1，又由一切xR时，(ax2bx1)ex1恒成立，则得到0为函数f(x)取得最大值的点，也是极大值点，则由f(x)=ax2(2a+b)xb1ex，f(0)=b1=0，解得b=1，

27、所以f(x)=(ax2x1)ex，f(x)=ax2a1xex，所以当a=0时，可得到f(x)在上单调递增，在上单调递减，可得f(x)f(0)，满足题意；当a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增,在上单调递减，且在时，ax2x10，则f(x)=(ax2bx1)ex1，则可得f(x)f(0)，满足题意；综上，a0，b=1，则ab(，1四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知向量m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，xR设函数f(x)mn1（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若，且f

28、()，求cos2的值解析：因为 m(2cosx，1)，n(sinx，2cos2x)，所以f(x)mn12sinxcosx2cos2x1 sin2xcos2x2sin(2x) 4分（1）T 5分（2）由f()，得sin(2)由，得2，所以cos(2)， 7分从而 cos2cos(2)cos(2)cossin(2)sin 10分18（本小题满分12分）已知数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn （1）在S1S32S22，S3，a2a34a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中求数列an的通项公式，并判断此时数列an是否满足条件P：任意m，nN*，aman均为数列an中的项，说明理由； （

29、2）设数列bn满足bnn()n1，nN*，求数列bn的前n项和Tn注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解析：（1）选， 因为S1S32S22， 所以S3S2S2S12，即a3a22， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以4a12a12，解得a11， 因此an12n12n1 4分 此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是数列an的第mn1项， 因此数列an满足条件P 7分 选， 因为S3，即a1a2a3， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以a12a14a1，解得a1， 因此an2n1 4分 此时a1a2a1an，即a1a2不

30、为数列an中的项， 因此数列an不满足条件P 7分 选， 因为a2a34a4， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以2a14a148a1，又a10，故a14， 因此an42n12n1 4分 此时任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是为数列an的第mn1项， 因此数列an满足条件P 7分（2）因为数列an是公比为2的等比数列， 所以2，因此bnn2n1 所以Tn120221322n2，则2Tn 121222(n1)2n2，两式相减得Tn121222n2 10分 n2 (1n)21， 所以Tn(n1)21 12分19（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅

31、读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下： 是否达标性别不达标达标男生3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：2 ，P(2k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布

32、列和数学期望解析：（1）假设H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得211.8366.635，因为当H0成立时，26.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 4分（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标由题意知：P(A)，P(B) 6分随机变量X的取值可能为0，1，2，3P(X0)(1)2(1)，P(X1)C(1)(1)(1)2，P(X2)()2(1)C(1)，P(X3)()2 所以随机变量X的分布列为：X0123P 10分期望E(X)01231.55 12分20（本小题满分12分） 如

33、图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AD/BC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点E在棱PC上，设CECPEDCBAP（1）求证：CDAE；（2）记二面角CAED的平面角为，且|cos|，求实数的值 解析：（1）证明：因为PAD90，所以PAAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD 2分又CD平面ABCD，所以CDPA 在四边形ABCD中，AD/BC，DAB90，所以ABC90，又ABBC1，所以ABC是等腰直角三角形，即BACCAD45，AC在CAD中，CAD45，AC，AD2，所以CD，从而AC2CD24AD2

34、所以CDAC 4分又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以CD平面PAC 又AE平面PAC，所以CDAE 6分（2）解：因为PA平面ABCD，BAAD，zxPABCDEy 故以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系因为ABBCPA1，AD2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，2，0)因为点E在棱PC上，且CECP，所以，设E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)，故E(1，1，)，所以(1，1，) 由（1）知，CD平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为n(1，1，0)设平面AED的法向量为m(x1，y1，z1

35、)，由得令z11，所以平面AED的一个法向量为m(，0，1) 9分因此 |cos|cos|，化简得3840，解得或2因为E在棱PC上，所以0，1，所以所以当|cos|时，实数的值为 12分21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21 （1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；（2）设A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点若ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程解析：（1）因为椭圆C：y21，所以F1(，0)，F2(，0)设T(x0，y0)，则 (x0，y0)(x0，y0)x02y023因为点T(x

36、0，y0)在椭圆C上，即y021，所以x022，且x020，4，所以的取值范围是2，1 4分（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程ykxm (m1，k0)设B(x1，y1)，(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1x2 6分因为ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以ABAD，即 0，因此 (y11)( y21)x1x20，即(kx1m1)( kx2m1)x1x20，从而 (1k2) x1x2k(m1)( x1x2)(m1)20，即 (1k2)k(m1)(m1)20，也即 4(1k2)( m1)8k2m(14k2) (m1)0，解得m 9分又线段BD

37、的中点M(，)，且AMBD，所以，即3m14k2，解得k又当k，m时，64k2m24(14k2)( 4m24)0，所以满足条件的直线l的方程为yx. 12分22（本小题满分12分）已知函数f (x)kxxlnx，kR（1）当k2时，求函数f (x)的单调区间；（2）当0x1时，f (x)k恒成立，求k的取值范围；（3）设nN*，求证：解析：（1）当k2时，f (x)2xxlnx，f(x)1lnx， 由f(x)0，解得0xe；由f(x)0，解得xe， 因此函数f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) 2分（2）f (x)kxxlnx，故f(x)k1lnx 当k1时，因为0x1，所以k10lnx， 因此f(x)0恒成立，即f (x)在(0，1上单调递增， 所以f (x)f (1)k恒成立 4分 当k1时，令f(x)0，解得xek1(0，1) 当x(0，ek1)，f(x)0，f (x)单调递增；当x(ek1，1)，f(x)0，f (x)单调递减； 于是f (ek1)f (1)k，与f (x)k恒成立相矛盾 综上，k的取值范围为1，) 7分 （3）由（2）知，当0x1时，xxlnx1 令x(nN*)，则 lnn1，即2lnnn21， 因此 10分 所以 12分