1、第一章 解三角形 单元测试3一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1在ABC中，若AB1，BC1，AC，则B等于()A30B45C60 D120答案C解析cosB，B60.2在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积等于()A. B.C. D2答案A解析由正弦定理知，sinC1，C为直角，AC，则SABCACBC.3在ABC中，A45，AC4，AB，那么cosB()A. BC. D答案D解析BC2AC2AB22ACABcosA1628cos4510，BC，cosB.4在ABC中，a2，b2，B45，则A等于()A30
2、 B60C60或120 D30或150答案C解析，sinA，A60或120.asinBb BC90 D180答案B解析仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故.7已知ABC中，sinB，tanC，则()AACB BABCCBCA DCBA答案A解析tanC，C，sinC，sinB，B，又tanC，C，BCCB.8ABC的三边分别为2m3，m22m，m23m3(m0)，则最大内角度数为()A150 B120C90 D135答案B解析解法1：m0，m23m32m3，m23m3m22m.故边m23m3对的角为最大角，由余弦定理，cos，120.解法2：特值法取m1，则三边长为5,3,7cos，120.9
3、已知钝角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是()A1x5 B.xC1x或x5 D1x答案C解析当x为最大边时，x5；当3为最大边时，1x.x的取值范围是：1x或x3，当3为最大边时，必有x0，(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)4b2c2sin2A0，所以f(x)的图象在x轴上方11(20102011山东苍山县高二期中)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()海里/小时B20()海里/小时C20()海里
4、/小时D20()海里/小时答案B解析由题意可知SMN153045，MS20，MNS45(9030)105，设货轮每小时航行x海里，则MNx，MSN1801054530，由正弦定理得，sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45，x20()，故选B.12(20102011山东临清高二期中)已知ABC中，sinAsinBsinC(cosAcosB)，则ABC的形状是()A锐角三角形 B钝角三角形C等腰三角形 D直角三角形答案D解析sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBsinBcosA，sinAsinBsinAcosBcosAsinAcos2BsinBcos2
5、AsinBcosBcosA，sinA(1cos2B)sinB(1cos2A)(sinAsinB)cosBcosA，sinAsinB(sinAsinB)(sinAsinB)cosBcosA，sinAsinB0，sinAsinBcosAcosB，cos(AB)0，AB，C，故选D.点评可以通过角的关系来讨论，也可以利用正、余弦定理化角为边讨论：由正弦定理和余弦定理得，abc()两边同乘以2ab得，2a2b2ab2ab2ac2a3a2bbc2b3，a2bab2a3b3ac2bc2，(ab)(a2b2)(ab)c2，a2b2c2，ABC为直角三角形二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将
6、正确答案填在题中横线上)13三角形一边长14，它对的角为60，另两边之比为85，则此三角形面积为_答案40解析设另两边长为8x和5x，则cos60，x2，另两边长为16和10，此三角形面积S1610sin6040.14在ABC中，a50，B30，C120，那么BC边上的高的长度是_答案25解析A30，AB50.BC边上的高ADAB25.15在锐角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是_答案(2，)解析c是锐角ABC的最大边，2c.16若ABC的面积为S，则C_.答案30解析absinC，sinCcosC，tanC，C30.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过
7、程或演算步骤)17(本题满分12分)在ABC中，已知a，A60，bc1，求b，c和B，C.解析由余弦定理得，6b2c22bccos60，b2c2bc6由bc1平方得：b2c22bc42、两式相减得bc22.由，解得 ，由正弦定理sinB.b2，B为锐角，B75，C45.点评求角B时，若先求得sinC，ac，C45，从而得B75.若用余弦定理cosB，B75.18(本题满分12分)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，且sinA2sinBcosC，判断ABC形状解析由正弦定理得a2b2c2，ABC为Rt，且A90.又由sinA2sinBcosC得：sin(BC)2sinBcosCsin(
8、BC)0，BC45，ABC为等腰直角三角形19(本题满分12分)ABC三内角A、B、C的对边a、b、c，面积Sa2(bc)2，且bc8.(1)求cosA.(2)求S的最大值解析(1)由条件Sa2(bc)2可得：bcsinAb2c22bccosA(b2c22bc)sinA4(1cosA)0sinA1，cosAbc，记xsinAcosC，ysinCcosA，zsinBcosB，试比较x、y、z的大小解析abc，ABC，ycosx在(0，)上为减函数且A、B、C(0，)，cosAcosBbc，由正弦定理sinAsinBsinC.若A为锐角，则cosA0，从而可知，sinAcosCsinBcosBsinCcosA，xzy若A，)，则cosCcosB0cosA.sinAcosCsinBcosBsinCcosAxzy综上知xzy.