1、专题8：等差数列、等比数列(两课时)班级 姓名 一、课前测试1(1)已知数列an满足a14，an4(nN*且n2)，令bn，求证：数列bn是等差数列提示：用等差数列的定义来证，即证bnbn1(常数)(2)数列an前n项和为Sn，若anSnn，令bnan1，求证：数列bn是等比数列.提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系，找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证即由anSnn，得an1Sn1n1，两式相减得2anan11即2bnbn1从而有(常数)2已知数列an满足an2an12n1(nN*且n2)，a12，令bn(ant) (nN*)，否存在一个实数t，使得数列bn为等差数列？若存在
2、，求出实数；若不存在，请说明理由答案：存在实数t1，使得数列bn为等差数列3(1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S3与S4的等差中项为1，而S3与S4的等比中项是S5，则an (2)已知在等比数列an中，a32，a2a4，则an 答案：(1)an1或ann； (2) an23n3或an2()n34 (1)设在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求 ； (2)若两个等差数列an和bn的前n项之和分别是Sn、Tn，已知，则 (3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 答案：(1)n6， q2或；(2)；(3)3105 (1)已知an是等
3、差数列，若a120，公差d2，求数列前n项和Sn的最大值(2)已知an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是 d0；a70；S9S5；S6和S7均为Sn的最大值.答案：(1)当且仅当n10或11时，Sn取得最大值110(2)二、方法联想1等差、等比数列的证明方法 证明数列是等差数列：方法1 定义法，即当nN*时，an1an为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，2an1anan2均成立方法 证明数列是等比数列：方法1 定义法，即当nN*时，为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，an12anan2均成立，且an0 2等差、等比数列的呈现等差数列的呈
4、现形式呈现1 通项为一次形式，即ananb呈现2 前n项和为不含常数项的二次形式，即Snan2bn呈现3 若数列an为等比数列，且an0，则logaan为等差数列注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明判断数列不是等差数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列等比数列的呈现形式呈现1 通项公式为指数幂形式，即anaqn呈现2 若数列an的前n项和为Sna(qn1)(a0，q1，q0) 呈现3 若数列an为等差数列，则aa为等比数列注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明 判断数列不是等比数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列3基本量运算基
5、本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中只有3个是独立的，其余2个都可以用3个独立的基本量表示，即知三求二【变式】在等差数列an中，若a1a2a2130，则S15_ (基本量解决问题时，也应根据目标“按需所求”)4性质的应用方法 (1)在等差数列an中，若mnpq则amanapaq特别若mn2p，则aman2ap 在等比数列an中，若mnpq则amanapaq特别若mn2p，则amanap2 (2) 在等差数列an中，由Sn得，若n为奇数，则S2n1(2n1)an方法 在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列在等比数列an中，一般情况下Sn，S2nSn，S3
6、nS2n成等比数列【变式】 （1）若两个等差数列an和bn的前n项之和分别是Sn、Tn，已知，则 （2）已知一个等差数列an中，a1a2a32，a2a3a41，则数列an的前6项的和 答案：（1）；（2）55等差数列Sn的最值问题方法 在等差数列 an 中Sn 的最值问题：方法1：(1)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最大值. (2)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最小值，方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析【变式】已知an是等差数列，若a120，数列前n项和Sn取得最大值的条件的n10，求公差的取值范围(已知等差数列取得最值的条件，确定参数的取值范围)答案：(，2)
7、三、例题分析例1 已知数列an的各项都为正数，且对任意nN*，都有aanan2k (k为常数).(1)若k(a2a1)2，求证:a1，a2，a3成等差数列；(2)若k0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；(3)已知a1a，a2b (a，b为常数)，是否存在常数，使得anan2an1对任意nN*都成立?若存在.求出；若不存在，说明理由.答案：(1) 用定义证； (2)q1或q (3)存在常数使得anan2an1对任意nN*都成立 aanan2k，aan1an1k，n2，nN* aaanan2an1an1， 即aan1an1aanan2，an0， = anan2an1 a1a，a2b，aana
8、n2k，a3， 存在常数使得anan2an1对任意nN*都成立教学建议(1)主要问题归类与方法：1证明一个数列是等差数列：方法定义法：an1and(常数)，nN*；等差中项法：2anan1an1，n2，nN*；2等比数列的子列构成一等差数列，求公比：方法利用等差(比)数列的通项公式，进行基本量的计算3存在性问题：方法假设存在，由特殊情况，求参数的值，再证明；转化为关于n的方程恒成立问题； (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题是研究3个数构成等差数列；所以选择对于问题3，学生一般会选择，对于存在性问题，常规的方法就是先从特殊性出发探究出参数和值，再进行证明，这样处理
9、思路清晰，运算量小。所以选择方法例2 已知Sn是数列an的前n项和，且anSn11(n2)，a12 (1)求数列an的通项公式；(2)对于给定的k (k1，2，n)设T(k)表示首项为ak，公差为2ak1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(3)设bi为数列T(i)的第i项，Mnb1b2b3bn，求Mn答案：(1) an (2) T(2)的前10项之和1035255 (3) Mn教学建议(1)主要问题归类与方法：1求数列的通项：方法: 利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an利用等差(比)数列的通项公式，求通项；构造等差(比)数列求通项；用累加(乘)法求通项2数列
10、求和问题：方法：利用等差(比)数列前n和公式求和；分部求和；错位相减法；裂项求和(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择，因为本题中给出数列通项an与Sn之间的关系，可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列是否为等差数列，本题中的数列从第2项起是等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法，数列Mn的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选择方法例3 已知无穷数列an中，a1，a2，am是首项为10，公差为2的等差数列；am1，am2，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m3，mN*），并对
11、任意的nN*，均有an2man成立(1)当m12时，求a2010；(2)若a52，试求m的值；(3)判断是否存在m（m3，mN*），使得S128m32014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由答案：(1)a2010a18a126()6(2)m45，或15，或9(3)当m6时，S2m取得最大值，则S128m3取得最大值为6430242007由此可知，不存在m（m3，mN*），使得S128m32014成立教学建议(1)主要问题归类与方法：1求周期数列的项：方法: 找出数列在一个周期内的通项公式，根据数列的周期，求数列中任意一项找出数列的项在第几个周期内，根据数列在一个周期内特征来归纳通
12、项2求周期数列的前n项和问题： 方法: 先求出数列在一个周期内的和，根据数列的周期确定前n项中，共含有几个周期，还剩下多项，再考虑求和3条件探索性问题： 方法: 利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件； 从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明(2)方法选择与优化建议：对于问题1，由于数列在一个周期性的各项是由一个等差数列和一个等比数列构成，数列的周期已知，所以很容易找出a2010a18，而a18是等比数列的第6项，由等比数列的通项公式可求主要是搞清楚数列在一个周期内的和，以及所求的和包含多少个周期，还剩多少项 对于问题2，学生一般会选择方法，本题中S128m3能求出，所以
13、用方法四、反馈练习1设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为 答案：2 (考查等差数列与数列前n项和的概念，等比数列的性质)2已知等比数列an满足an0，n1，2，且a5a2n522n (n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1 答案：n2 (考查等差数列与等比数列的转化，等比数列的性质，前n项和)3已知数列an的首项a1，且满足5 (nN*)，则a6 答案： (考查等差数列的概念，等差数列的通项公式)4已知各项为正数的等差数列an的前20项和为100，那么a7a14的最大值为 答案：25 (考查等差数列的前n项和，等差数列的性
14、质，基本不等式求最值)5函数yx2 (x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*若a116，则a1a3a5 答案：21 (考查导数的几何意义，等比数列的概念)6已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，则常数p 答案：p2或p3 (考查等比数列的概念，从特殊到一般的思想)7已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 答案：5 (考查等差数列的性质)8已知数列an的为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为 答案：19 (考查等差数列的性质)9在正项等比数列an中，a5
15、，a6a73，则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n 的值_.答案：12 (考查等比数列通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查解不等式)10数列an的前n项和为Sn，满足nan1Snn(n1)，nN*，且a12，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立，则M的最小值是 答案：2 (考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，不等式恒成立问题)11已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 015答案：(1) a
16、n2n1，bn3n1 (2) 32 015(考查等差、等比数列基本量计算，数列前n项和与通项之间的关系，等比数列求和)12已知数列an满足，an+1+ an4n3(nN*) (1)若数列an是等差数列，求a1的值； (2)当a12时，求数列an的前n项和Sn； (3)若对任意nN*,都有a+ a20n15成立，求a1的取值范围答案：(1) a1；(2) Sn (3) (，42，+)(考查等差数列的概念与性质，等差数列前n项和，数列中的不等式恒成立问题)13已知数列an的首项a12a1（a是常数，且a1），an2an1n24n2（n2），数列bn的首项b1a，bnann2（n2）(1)证明：bn
17、从第2项起是以2为公比的等比数列；(2)设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值；(3)当a0时，求数列an的最小项答案：(1)略；(2)a；(3)当a(0，)时，最小项为8 a 1；当a时，最小项为4 a或8 a1；当a(，)时，最小项为4 a；当a时，最小项为4 a或2 a1；当a(，)时，最小项为2 a1(考查等比数列的证明，等比数列求和，数列的最小项问题)14已知无穷数列an的各项均为正整数，Sn为数列an的前n项和(1)若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有S(Sn)3成立，求数列an的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合a1，a2，an中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合求a1，a2的值；求数列an的通项公式答案：(1) 共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an1或an2n1(2) a11，a23 an (考查从特殊到一般的思想，由递推求数列通项，以及推理论证明的能力)
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