1、上海市莘庄中学2020学年第一学期期末考试高二数学试卷（时间：120分钟 满分150分） 2021年1月一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 抛物线的焦点到准线的距离是 .2. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 .3. 若线性方程组的增广矩阵是，且此方程组无解，则实数= .4. 已知=（2，3），=（-4，7）则向量在方向上的投影为 .5. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是 .6.设变量、满足约束条件，则的最大值为 .7.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）有公共点，则实数的取值范
2、围为 . 8. 若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的值是 . 9. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 10. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（），与轴交于点，与交于点，、分别是曲线与线段上的动点.若且，则 .11. 已知点，椭圆()上两点，满足，则当= 时，点横坐标的绝对值最大 12. 如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是 二、选择题（本大题满分20分，每题5分，共20分）13平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （
3、 ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 （ ）A B3 C D15图中曲线（实线部分）的方程是 （ ）A. B. C. D. 16已知抛物线E：和直线在第一象限内的交点为设是抛物线E上的动点，且满足，记，则 （ ）A. 当时，的最小值是 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最小值是三、解答题（本大题满分76分）17. 已知，.（1）求与的夹角；（2）若，且，求及.18. 已知双曲线（），直线与交于、两点.（1）若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若点的坐标为，直线的斜
4、率等于1，且，求双曲线的渐近线方程.19. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，且满足，其中（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的轨迹形状；（2）过点且斜率为1的直线交曲线于两点，若中点横坐标为，求实数的值.20. 已知点，、是平面直角坐标系上的点，且满足.（1）当坐标为，写出点的轨迹方程； （2）若、都在椭圆上，且三点都在x轴上方，其中：点的横坐标为0，求的面积；（3）若、都在抛物线上，点的横坐标为2，问：x轴上是否存在一点M，使得，若存在，请求出点M，若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆（）的左、右焦点为、，设点，在中，周长为.（1）求椭圆方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直
5、线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.上海市莘庄中学2020学年第一学期期末考试高二数学试卷答案（时间：120分钟 满分150分） 2021年1月一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 抛物线的焦点到准线的距离是 2 .2. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 .3. 若线性方程组的增广矩阵是，且此方程组无解，则实数= -2 .4. 已知=（2，3），=（-4，7）则向量在方向上的投影为.5. 已知双曲线中心在原点，一个顶
6、点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是.6.设变量、满足约束条件，则的最大值为 4 .7.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）有公共点，则实数的取值范围为. 8. 若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的值是. 9. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是. 10. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（），与轴交于点，与交于点，、分别是曲线与线段上的动点.若且，则.11. 已知点，椭圆()上两点，满足，则当= 5 时，点横坐标的绝对值最大 12. 如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且（为常数），满足条件的点
7、有无数个，则实数的取值范围是 二、选择题（本大题满分20分，每题5分，共20分）13平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （ B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 （ A ）A B3 C D15图中曲线（实线部分）的方程是 （ C ）A. B. C. D. 16已知抛物线E：和直线在第一象限内的交点为设是抛物线E上的动点，且满足，记，则 （ D ）A. 当时，的最小值是 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最小值是三、解答题
8、（本大题满分76分）17. 已知，.（1）求与的夹角；（2）若，且，求及.解：（1）；（2），. 18. 已知双曲线（），直线与交于、两点.（1）若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的渐近线方程.解：（1），；（2）法一：，渐近线方程为，渐近线方程为法二：，则所以渐近线方程为或.19. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，且满足，其中（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的轨迹形状；（2）过点且斜率为1的直线交曲线于两点，若中点横坐标为，求实数的值.解：（1） 当时，C是两条平行直线； 当时，C是圆；当时，C是椭圆； 当时，C是双曲线 .（2）
9、设，则20. 已知点，、是平面直角坐标系上的点，且满足.（1）当坐标为，写出点的轨迹方程； （2）若、都在椭圆上，且三点都在x轴上方，其中：点的横坐标为0，求的面积；（3）若、都在抛物线上，点的横坐标为2，问：x轴上是否存在一点M，使得，若存在，请求出点M，若不存在，请说明理由.解：（1） （2） （3）设，则，得的中垂线：当，所以存在M(4,0) .21. 已知椭圆（）的左、右焦点为、，设点，在中，周长为.（1）求椭圆方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.解：（1）；（2）设 当k不存在时，（舍）、当k不存在时，设所以直线过定点（2，-1）（3）AE： 设点P到直线AE的距离当时，的个数为0；当时，的个数为1；当时，的个数为2；当时，的个数为3；当时，的个数为4.
