江苏省南京市2013届高三9月学情调研测试（数学）WORD版.doc

1、江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题 数 学 2012.09注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合 Ax|x23x4，xR，则 AZ 中元素的个数为2已知23iiabi(a，bR，i 为虚数单位)，则 ab3为了调查城市 PM2.5

2、的值，按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 6，12，18若用分层抽样的方法抽取 12 个城市，则乙组中应抽取的城市数为4有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为5已知非零向量 a，b 满足|a|ab|1，a 与 b 夹角为 120，则向量 b 的模为6在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 y22x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为 15，则线段 PF 的长为7已知等比数列an的公比 q12，Sn 为其前 n 项和，则S4a48右图是一个算法的流程图，最后输出

3、的 k9在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，A60，c 33，则ABC 的面积为 开始k1S0S20kk2SSkYN输出 k结束(第 8 题)10在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在第一象限，圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线 xy10 相切，则圆 C 的半径为 11已知函数 f(x)exk，x0，(1k)xk，x0是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范围是12已知，为平面，m，n 为直线，下列命题：若 mn，n，则 m；若 m，m，则；若 n，m，m，则 mn；若，m，n，则 mn其中是真命题的有 (填写所有正确

4、命题的序号)13已知直线 xa(0a2)与函数 f(x)sinx 和函数 g(x)cosx 的图象分别交于 M，N 两点，若MN15，则线段 MN 的中点纵坐标为14已知函数 f(x)2x2m 的图象与函数 g(x)ln|x|的图象有四个交点，则实数 m 的取值范围为二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分）已知平面向量 a(1，2sin)，b(5cos，3)（1）若 ab，求 sin2 的值；（2）若 ab，求 tan(4)的值16（本小题满分 14 分）如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1

5、 中，ABAC，D 为 BC 的中点（1）若平面 ABC平面 BCC1B1，求证：ADDC1；（2）求证：A1B/平面 ADC117（本小题满分 14 分）ABCDA1B1C1(第 16 题)经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 Ekv3t，其中 v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数如果水流的速度为 3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进 100 km（1）将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数；（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点

6、分别为 A，B，离心率为12，右准线为 l：x4M 为椭圆上不同于 A，B 的一点，直线 AM 与直线 l 交于点P（1）求椭圆 C 的方程；（2）若AMMP，判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上，并说明理由；（3）连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N，若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标19（本小题满分 16 分）设 t0，已知函数 f(x)x2(xt)的图象与 x 轴交于 A、B 两点（1）求函数 f(x)的单调区间；ABPMNxyO(第 18 题)（2）设函数 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率为 k，当 x0(0，1时，k12恒成立，求 t 的最大值；（3）

7、有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 yf(x)的图象有两个不同的交点 C，D，若四边形 ABCD 为菱形，求 t 的值20（本小题满分 16 分）已知数列an的首项 a1a，Sn 是数列an的前 n 项和，且满足：S2n3n2anS 2n1，an0，n2，nN*（1）若数列an是等差数列，求 a 的值；（2）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列an是递增数列 2013 届高三学情调研卷 数学附加题2012.09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上

8、对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，CP 是圆 O 的切线，P 为切点，直线 CO 交圆 O 于 A，B 两点，ADCP，垂足为 D求证：DAPBAPB选修 42：矩阵与变换设 a0，b0，若矩阵 Aa00b把圆 C：x2y21 变换为椭圆 E：x24y231（1）求 a，b 的值；（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 C：4cos 被直线 l：sin(6)a

9、 截得的弦长为 2 3，求实数 a 的值ABDCPO(第 21A 题)D选修 45：不等式选讲已知 a，b 是正数，求证：a24b2 1ab4来源:Z+xx+k.Com【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图，PA平面 ABCD，AD/BC，ABC90，ABBCPA1，AD3，E 是 PB的中点（1）求证：AE平面 PBC；（2）求二面角 BPCD 的余弦值23在一个盒子中有大小一样的 7 个球，球上分别标有数字 1，1，2，2，2，3，3现从盒子中同时摸出 3 个球，设随机变量 X 为摸出的 3

10、 个球上的数字和（1）求概率 P(X7)；来源:学科网（2）求 X 的概率分布列，并求其数学期望 E(X)PABCDE(第 22 题)2013 届高三学情调研卷 数学参考答案及评分标准2012.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填

11、空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分14 26 34 4135167275 811 9 3610 21112，1)1213 71014(，12ln2)二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分）解：（1）因为 ab，所以 132sin5cos0，3 分即 5sin230，所以 sin2356 分（2）因为 ab，所以 15cos2sin308 分所以 tan5610 分所以 tan(4)tantan41tantan4 11114 分16（本小题满分 14 分）证明：（1）因为 ABAC，D 为 BC 的

12、中点，所以 ADBC因为平面 ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AD平面 ABC，所以 AD平面 BCC1B15 分因为 DC1平面 BCC1B1，所以 ADDC17 分（2）(证法一)连结 A1C，交 AC1 于点 O，连结 OD，则 O 为 A1C 的中点因为 D 为 BC 的中点，所以 OD/A1B11 分因为 OD平面 ADC1，A1B/平面 ADC1，所以 A1B/平面 ADC114 分(证法二)取 B1C1 的中点 D1，连结 A1D1，D1D，D1B则 D1C1BD所以四边形 BDC1D1 是平行四边形所以 D1B/C1D因为 C1D平面 ADC1，D

13、1B/平面 ADC1，所以 D1B/平面 ADC1同理可证 A1D1/平面 ADC1因为 A1D1平面 A1BD1，D1B平面 A1BD1，A1D1D1BD1，所以平面 A1BD1/平面 ADC111 分因为 A1B平面 A1BD1，所以 A1B/平面 ADC114 分17（本小题满分 14 分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进 100km 所用的时间为 t 100v32 分所以 Ekv3tkv3 100v3100kv3v3(v(3，)6 分（2）E100k 3v2(v3)v3(v3)2100k2v2(v4.5)(v3)210 分令 E0，解得 v4.5 或 v0(舍去)因为 k0，v3，所以当 v

14、(3，4.5)时，E0，当 v(4.5，)时，E0故 E100kv3v3 在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，)上单调递增13 分所以，当 v4.5 时，E 取得最小值即 v4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小14 分18（本小题满分 16 分）解：（1）由ca12，a2c 4解得a2，c1所以 b23所以椭圆方程为x24y2314 分ABCDA1B1C1（第 16 题图）OABCDA1B1C1（第 16 题图）D1（2）因为AMMP，所以 xM1，代入椭圆得 yM32，即 M(1，32)，所以直线 AM 为：y12(x2)，得 P(4，3)，所以BM(1，32)，BP(2，3)8 分因

15、为BMBP520，所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上10 分（3）因为 MN 垂直于 x 轴，由椭圆对称性可设 M(x1，y1)，N(x1，y1)直线 AM 的方程为：y y1x12(x2)，所以 yp 6y1x12，直线 BN 的方程为：y y1x12(x2)，所以 yp2y1x12，12 分所以 6y1x122y1x12因为 y10，所以6x122x12解得 x11所以点 M 的坐标为(1，32)16 分19（本小题满分 16 分）解：（1）f(x)3x22txx(3x2t)0，因为 t0，所以当 x2t3或 x0 时，f(x)0，所以(，0)和(2t3，)为函数 f(x)的单调增区间

16、；当 0 x2t3时，f(x)0，所以(0，2t3)为函数 f(x)的单调减区间 4 分（2）因为 k3x022tx012恒成立，所以 2t3x0 12x0恒成立，6 分因为 x0（0，1，所以 3x0 12x023x0 12x0 6，即 3x0 12x0 6，当且仅当 x0 66 时取等号所以 2t 6，即 t 的最大值为 62 8分（3）由（1）可得，函数 f(x)在 x0 处取得极大值 0，在 x2t3处取得极小值4t327因为平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 yf(x)的图象有两个不同的交点，所以直线 l 的方程为 y4t32710分令 f(x)4t327，所以 x2(xt)4t3

17、27，解得 x2t3或 xt3所以 C（2t3，4t327），D（t3，4t327）12 分因为 A（0，0），B（t，0）易知四边形 ABCD 为平行四边形AD(t3)2(4t327)2，且 ADABt，所以(t3)2(4t327)2t，解得：t34 82 16分20（本小题满分 16 分）解：（1）在 S2n3n2anS 2n1中分别令 n2，n3，及 a1a 得(aa2)212a2a2，(aa2a3)227a3(aa2)2，因为 an0，所以 a2122a，a332a2分因为数列an是等差数列，所以 a1a32a2，即 2(122a)a32a，解得 a34分经检验 a3 时，an3n，S

18、n3n(n1)2，Sn13n(n1)2满足 S2n3n2anS 2n1（2）由 S2n3n2anS 2n1，得 S2nS 2n13n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为 an0，所以 SnSn13n2，(n2)，6分所以 Sn1Sn3(n1)2，得 an1an6n3，(n2)8分所以 an2an16n9，得 an2an6，(n2)即数列 a2，a4，a6，及数列 a3，a5，a7，都是公差为 6 的等差数列，10分因为 a2122a，a332a所以 ana，n1，3n2a6，n为奇数且n3，3n2a6，n为偶数，12分要使数列an是递增数列，须

19、有a1a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，anan1，且当 n 为偶数时，anan1，即 a122a，3n2a63(n1)2a6(n 为大于或等于 3 的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n 为偶数)，解得94a154 所以 M(94，154)，当 aM 时，数列an是递增数列16 分2013 届高三学情调研卷来源:学&科&网 Z&X&X&K 数学附加题参考答案及评分标准2012.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视

20、影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：因为 CP 与圆 O 相切，所以DPAPBA2 分因为 AB 为圆 O 直径，所以APB90，所以BAP90PBA6 分因为 ADCP，所以DAP90DPA，所以DAPBAP10 分B选修 42：矩阵与变换解（1）：设点

21、 P（x，y）为圆 C：x2y21 上任意一点，经过矩阵 A 变换后对应点为 P（x，y）则a00b xy axby xy，所以xax，yby2 分因为点 P（x，y）在椭圆 E：x24y231 上，所以a2x24 b2y23 1，这个方程即为圆 C 方程6 分所以a24，b23，因为 a0，b0，所以 a2，b 38 分ABDCPO(第 21A 题)（2）由（1）得 A2003，所以 A112003310 分C选修 44：坐标系与参数方程解：因为圆 C 的直角坐标方程为(x2)2y24，直线 l 的直角坐标方程为 x 3y2a04 分所以圆心 C 到直线 l 的距离 d|22a|2|1a|6

22、 分因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 3，所以 r2d23即 4(1a)23解得 a0，或 a210 分D选修 45：不等式选讲已知 a，b 是正数，求证：a24b2 1ab4证明：因为 a，b 是正数，所以 a24b24ab2 分所以 a24b2 1ab4ab 1ab24ab 1ab4即 a24b2 1ab410 分22（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(12，0，12)，AE(12，0，12)，BC(0，1，0)，BP(1，0，1)因为AEBC 0，AEBP 0，所以AE B

23、C，AE BP 所以 AEBC，AEBP因为 BC，BP平面 PBC，且 BCBPB，所以 AE平面 PBC4 分（2）设平面 PCD 的法向量为 n(x，y，z)，则 nCD 0，nPD 0因为CD(1，2，0)，PD(0，3，1)，所以x2y0，3yz0令 x2，则 y1，z3所以 n(2，1，3)是平面 PCD 的一个法向量8 分因为 AE平面 PBC，所以AE 是平面 PBC 的法向量所以 cos错误!错误!由此可知，AE 与 n 的夹角的余弦值为5 714 根据图形可知，二面角 BPCD 的余弦值为5 714 10 分PABCDExyz23解（1）P(X7)C23C12+C22C12C37 835，P(X8)C22C13C37 335所以 P（X7）1135.4 分（2）P(X6)C12C13C12+C33C371335，P(X5)C22C12+C23C12C37 835，P(X4)C22C13C37 335所以随机变量 X 的概率分布列为467来源:学。科。网错误 错误1335来源:学科网 ZXXK错误错误 8 分所以 E(X)4 3355 835613357 8358 335610 分