1、1 数 列 第 1 课时 数列的概念 思路方法技巧 命题方向 数列的概念 例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1;(5)6,6,6,6,6.分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.解析（1）是集合，不是数列；（2）、（3）、（4）、（5）是数列.其中（3）、（4）是无穷数列，（2）、（5）是有穷数列.变式应用 1 下列说法正确的是()A.数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列 B.数列 1,2,3
2、 与数列 1,2,3,是同一数列 C.1,4,2,31，5 不是数列 D.数列2n-3与-1,1,3,5,不一定是同一数列 答案 D 解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列2n-3是确定数列，通项公式为 an=2n-3，但-1,1,3,5，前 4 项符合 an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.命题方向 数列的通项公式 例 2 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2)32，154，356，638，；(3)21,2,2
3、9，8，225，;(4)1122，3232，5342，7452，.分析 通过观察，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式.解析(1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n，故原数列的一个通项公式为 an=2n+1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2n，分母各项分解因式：13,35，57，79,为相邻奇数的乘积，即(2n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为 an=)12)(12(2nnn.(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列 21,24，29，216，225，中，分母为 2，
4、分子为 n2，故 an=22n.(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其通项公式为 2n-1；分子的前 一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 an=12)1(2nnn=1212nnn.说明 在根据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用 2 写出数
5、列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，;（2）1，21，31，41，；（3）0.9，0.99，0.999，0.9999个项有第nn，.解析（1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n,故原数列通项公式为 an=2n-1,nN+;（2）调整为11，21，31，41，它的前几项都是自然数的倒数，an=n1；（3）0.9=10.1，0.99=10.01，0.999=10.001，第 n 项 an=0.9n999个=10.0n000个1=1n101.命题方向 数列通项公式的简单应用 例 3 在数列an中通项公式是 an（
6、-1）n-1)1)(12(2nnn,写出该数列的前 5 项，并判断17081 是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.分析 由通项公式写出数列的前 5 项，令 an=17081,判断是否有正整数解即可.解析 a1=(-1)02112 21，a2=(-1)13322 94，a3=(-1)24532 209.a4=(-1)35742 3516，a5=(-1)46952 5425.该数列前 5 项分别为：21，94，209，-3516,5425.令(-1)n-1)1)(12(2nnn=17081 得 n1 且为奇数 8n2-81n+81=0.n=9.所以17081 是该数列中的第
7、 9 项.说明 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.变式应用 3 以下四个数中，哪个是数列n（n1）中的项（）A.380 B.39 C.32 D.23 分析 数列an的通项公式 f(n)=n(n+1)，对于某个数 m，若 m 是数列an中的项，则n（n+1）=m 必有正整数解.若无正整数解，则 m 肯定不是an中的项.答案 A 解析 依次令 n(n+1)=23 或 32 或 39 检验知无整数解.只有 n（n+1）=380 有整数解 n=19.探索延拓创新 命题方向 数
8、列的递推公式 例 4 在数列an中，a1=2,a2=1,且 an+2=3an+1-an,求 a6+a4-3a5.分析 由 a1=2，a2=1 及递推公式 an+2=3an+1-an,依次找出 a3,a4,a5,a6即可.解析 解法一：a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,a3=3a2-a1=31-2=1,a4=3a3-a2=31-1=2,a5=3a4-a3=32-1=5,a6=3a5-a4=35-2=13,a6+a4-3a5=13+2-35=0.解法二：an+2=3an+1-an,令 n=4,则有 a6=3a5-a4,a6+a4-3a5=0.说明 递推公式是给出数列的一种方法，应用递
9、推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.变式应用 4 已知数列an的首项 a1=1,an=2an-1+1(n2)，那么 a5=.答案 31 解析 由递推关系式 an=2an-1+1 和 a1=1 可得 a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.名师辨误做答 例 5 已知数列an的前 4 项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列an的通项公式的有（）an=21 1+(-1)n+1;an=sin22n，(nN+);an=21 1+(-1)n+1+(n-1)(n-2);an=2cos1n;1(n 为偶数)an=0(n 为奇数)A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 误解 D 辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.正解 B 将 n=1,2,3,4 分别代入验证可知均正确.均可以作为数列的通项公式，而不是数列的通项公式，答案选 B.