1、第五章三角函数5.2.1 三角函数的概念问题1：已知圆周上的动点P的位置由角的终边OP与圆的交点唯一确定，那么能否建立点P 的位置与角的函数关系？P单位圆：半径为1的圆若圆O为单位圆，则r=1,A(1,0),设P(x,y)21,23(,6P时)1,0(,2P时)23,21(,32P时.,唯一确定纵坐标的横坐标与单位圆交点其终边yxPOPR的函数是x的函数是y 新知1：三角函数的定义:),(则的终边与单位圆交于点设任意角yxP;sin,)1(yy记作的正弦叫做;cos,)2(xx记作的余弦叫做);0(tan,)3(xxyxy记作的正切叫做.tan,)(2,0:无意义时即当注xyZkkx以角为自变
2、量xyxyxytan:cos:sin:正切函数余弦函数正弦函数三角函数Rx,Rx,)(2,Zkkx为角的三角函数值为角的弧度yx 思考：三角函数定义的合理性和统一性:),(则的终边与单位圆交于点设任意角yxP;sin,)1(yy记作的正弦叫做;cos,)2(xx记作的余弦叫做);0(tan,)3(xxyxy记作的正切叫做以角为自变量),(yxP,中在为锐角时当OBPRtBxyyy 1sin xx 1cosxytanO1 巩固：求三角函数值,35,:AOB作在直角坐标系中如图解).23,21(BOBAOB与单位圆的交点坐标为的终边易知,2335sin,2135cos.335tan),(yx求交点
3、xyxytancossin,2167sin,2367cos.3367tan)21,23(巩固：求三角函数值A)0,1(A00tan,10cos,00sinB)1,0(B无意义2tan,02cos,12sinC)0,1(C0tan,1cos,0sin)1,0(D无意义23tan,023cos,123sinD 特殊角的三角函数值0 30 45 60 90 180 270 360的弧度sin cos tan 23220000000011111不存在不存在03462123332222123213.tan,cos,sin:xyrxry求证,1|00rxxyy 巩固：求三角函数值例2设任意角的终边上任意一
4、点P(x,y)，P不与原点O重合，点P与原点O的距离为r.).,(:000yxP的终边与单位圆的交点设证明;tan,cos,sin0000 xyxy则,00POMOMP,00同号与同号与xxyy;sin,00ryyryy;cos,00rxxrxx.tan,00 xyxyxy22yxr 求三角函数值的两种方法.tan,cos,sinxyrxryP(x,y)为的终边与单位圆的交点，则r=1.tan,cos,sinxyxy则.135)12(:22 OPr析.125tan,1312cos,135sin 巩固：求三角函数值._cos),4,3(1则的终边过点若角变式aaP.552)4()3(:222aa
5、aaOPr解,5,0ara 时,5,0ara 时.5353cosaa.5353cosaa._sin,32则上的终边在直线若角变式xy53xyy=3xxyy=3xxyy=3xP(1,3)xyy=3xQ(-1,-3)OP(1,3),3,1(P取.10103103sin),3,1(Q取.10103103sin10103xxrxxP1010),3,(2 则取10103103103sinxx 巩固：求三角函数值._,1313sin,),3(3mmP则终边上的一点是角若点变式,13133)3(sin:222mmmm析,3122 m.21m.21,0,0sinmm,131322mm)2sin(2),2cos
6、(2P);2cos(2,)2cos(,22xrxrads时角);2sin(2,)2sin(yry21 探究：三角函数值在各象限的符号+ysin xcos+xytan+0cos0sin:为第三象限角角如的正负的正负ysin的正负的正负xcos的正负的正负xytan0tan0sin0tan0cos的终边所在象限定看终边上点的坐标0tansin为第二或三象限角 巩固：确定三角函数值的符号的终边所在象限定看终边上点的坐标 巩固：根据三角函数值符号定象限._,54cos,53sin3象限角是第则若例._2,54cos,53sin1象限角是第则若变式._,)cos,(tan2象限的终边在第则在第三象限已知
7、点变式P二 一、三 0cos,0tan二 巩固：三角函数值在各象限的符号._,0cossin,4三角形则必为满足若三角形的两内角例),0(,0sin,0cos.为钝角._,0tancossin,三角形是则若中在变式ABCCBAABC0sinA0tancosCB0tan0cosCB0tan0cosCB或钝锐CB锐钝CB),0(A钝角 钝角 终边相同的角的三角函数值Q:如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同 终边与单位圆交点坐标相同 角的同一三角函数值相同 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(Zkkkk其中
8、公式一（弧度制）)(tan)360tan(cos)360cos(sin)360sin(Zkkkk其中公式一（角度制）巩固：公式一的运用（求值）)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(Zkkkk其中)1050tan()4()611(sin)3(3tan)2(;49cos)1(:5求下列三角函数值例;224cos)24cos(49cos)1(:解;0tan)2tan(3tan)2(.216sin)26sin()611sin()3(;3330tan)360330tan()1050tan()4(大化小，负化正.216sin)2611sin()611sin(或;3330tan)3603
9、1050tan()1050tan(或第三章 三角函数5.2.2 同角三角函数的基本关系 探究：同角三角函数的基本关系:tan,cos,sin,的关系其三角函数值对于同一个角),(yxP的终边与单位圆的交点设,cos,sinxy122 yx1cossin22.,该式也成立的终边与坐标轴重合时当xytancossintan 新知：同角三角函数的基本关系1cossin22cossintan.2516)53(1sin1cos1cossin:22222得由解,1sin0sin为第三或第四象限角且,54cos,则为第三象限角若,54cos,则为第四象限角若.43cossintan.43cossintan)
10、sin1)(sin1(sin1cos22cossin21)cos(sin2.tan4cos5的值求 2244cossincossin 巩固：同角三角函数的基本关系(知一求二).0tan,0sin,:为第三象限角解.53)54(1cos1sin1cossin2222得由.43cossintan.,0tan:为第二或第四象限角解.cos3sin,3cossintan.41cos1cossin222得联立;23sin,21cos:为第二象限角.23sin,21cos:为第四象限角 巩固：同角三角函数的基本关系(知一求二).312121tan1tan,cos,0cos:原式得分子分母同除以解 分子分母
11、是关于sin,cos的齐次式.sin3cos5cos2sin42222的值求)cos(2同除以22tan21tan175.sin2cos1,2tan122的值求若变式2222sin2cossincos:原式解8141.sin3cos5,2tan222的值求若变式2222sincossin3cos5:原式解22tan1tan35分子为1517暗含：分母为141125 新知：同角三角函数的基本关系1cossin22cossintan)sin1)(sin1(sin1cos22cossin21)cos(sin22244cossincossin)cos)(sincos(sin知一求二运用)1(:22si
12、n1cos,cos1sin化简证明)3()2(检验 巩固：同角三角函数的基本关系(知tan求sin,cos齐次式)._sin2cos1)2(22的值是._sin3cos5)3(22的值是 分子为1暗含：分母为1,2tan若例_cossincossin)1(的值是22cossin1法1:同除以cos或cos2._cossin)4(的值是 暗含：分母为122cossincossin原式1tantan252._cossin,2cossincos2sin的值为则已知变式先求tan暗含：分母为1法2:分别求sin,cos代入 巩固：同角三角函数的基本关系(综合运用)40cos40sin240cos40s
13、in22原式40cos40sin21化简并计算练习240cos40sin40cos40sin40cos40sin40sin40cos40cos400sin21化简变式40sin400sin构造完全平方公式 巩固：同角三角函数的基本关系(综合运用).cossin0),2,(,0cossin且,51cossin21cossin:2解,52cossin,521tantancossincossincossin222,02tan5tan22.212tan或解得._tan),0(,55cossin则且若例.21tan,1cossin)2,(变2tan检验：利用已知条件 巩固：同角三角函数的基本关系(综合运
14、用).tancossin),0(,51cossin的值和求且若变式xxxxxx,251cossin21cossin:2xxxx解.2512cossinxx,2549cossin21cossin2xxxx.57cossinxx.0cos,0cossin,0sin),0(xxxxx又.57cossin,0cossinxxxx.34tan,53cos,54sin57cossin51cossinxxxxxxx解得联立检验 巩固：同角三角函数的基本关系(化简/证明)sin1)(sin1()sin1(cosxxxx左边.0sin1,1sin,0cos:xxx证明xxx2sin1)sin1(cosxxx2c
15、os)sin1(cos右边xxcossin1.原式成立.cossin1)sin1)(sin1(:22xxxx证明,0cos,0sin1xx.cossin1sin1cosxxxx 巩固：同角三角函数的基本关系(化简/证明);sincossincos)1(:原式解22sin211)sin1(2)2(原式1sin21sin2122222cos)cossin1()3(原式1sincos222222cos)cos(sinsin:左边证明22cossin右边1 巩固：同角三角函数的基本关系(化简/证明)sin1)(sin1()sin1(sin1sin1:2解22cos)sin1(cossin1.0cos),1,0(sin,为第二象限角)sin1)(sin1()sin1(sin1sin1222cos)sin1(cossin1cossin1cossin1原式tan2cossin2|2aa