1、专题17不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019不等式选讲2019年新课标1理科23解答题2018综合测试题2018年新课标1理科23解答题2017综合测试题2017年新课标1理科23解答题2016综合测试题2016年新课标1理科24解答题2014综合测试题2014年新课标1理科24解答题2013综合测试题2013年新课标1理科24解答题2012综合测试题2012年新课标1理科24解答题2011综合测试题2011年新课标1理科24解答题2010综合测试题2010年新课标1理科24历年高考真题汇编1【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）a
2、2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc1要证（1）a2+b2+c2；因为abc1就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+aba2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0（ab）2+（ac）2+（bc）20；a，b，c为正数，且满足abc1（ab）20；（ac）20；（bc）20恒成立；当且仅当：abc1时取等号即（ab）2+（ac）2+（bc）20得证故a2+b2+c2得证（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324成立；即：已
3、知a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）；当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取等号；即：abc1时取等号；a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）2；（b+c）2；（c+a）2；当且仅当ab，bc；ca时取等号；即：abc1时取等号；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）3824abc24；当且仅当abc1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324得证故得证2【2018年新课标1理科23】已知f（x）|x+1|ax1|（
4、1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x+1|x1|，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集为（，+），（2）当x（0，1）时不等式f（x）x成立，|x+1|ax1|x0，即x+1|ax1|x0，即|ax1|1，1ax11，0ax2，x（0，1），a0，0x，a2，0a2，故a的取值范围为（0，23【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a
5、的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）|x+1|+|x1|，当x（1，+）时，令x2+x+42x，解得x，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2当x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（1）f（1）2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故a的取值范围是1，14【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）|x+
6、1|2x3|（）在图中画出yf（x）的图象；（）求不等式|f（x）|1的解集【解答】解：（）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（）由|f（x）|1，可得当x1时，|x4|1，解得x5或x3，即有x1；当1x时，|3x2|1，解得x1或x，即有1x或1x；当x时，|4x|1，解得x5或x3，即有x5或x3综上可得，x或1x3或x5则|f（x）|1的解集为（，）（1，3）（5，+）5【2014年新课标1理科24】若a0，b0，且（）求a3+b3的最小值；（）是否存在a，b，使得2a+3b6？并说明理由【解答】解：（）a0，b0，且，2，ab2，当且仅当ab时取等号a3+b3
7、 224，当且仅当ab时取等号，a3+b3的最小值为4（）2a+3b22，当且仅当2a3b时，取等号而由（1）可知，2246，故不存在a，b，使得2a+3b6成立6【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）|2x1|+|2x+a|，g（x）x+3（）当a2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当x，时，f（x）g（x），求a的取值范围【解答】解：（）当a2时，求不等式f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设y|2x1|+|2x2|x3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）（）设a1，且当x，时，f（x）1+a，不等
8、式化为1+ax+3，故xa2对x，都成立故a2，解得a，故a的取值范围为（1，7【2012年新课标1理科24】已知函数f（x）|x+a|+|x2|当a3时，求不等式f（x）3的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求a的取值范围【解答】解：（1）当a3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，可得x1；，可得x；，可得x4取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为213，2x的最小值为0，故a的取值范围为3
9、，08【2011年新课标1理科24】设函数f（x）|xa|+3x，其中a0（）当a1时，求不等式f（x）3x+2的解集（）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值【解答】解：（）当a1时，f（x）3x+2可化为|x1|2由此可得x3或x1故不等式f（x）3x+2的解集为x|x3或x1（）由f（x）0得|xa|+3x0此不等式化为不等式组或 即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得1，故a29【2010年新课标1理科24】设函数f（x）|2x4|+1（）画出函数yf（x）的图象：（）若不等式f（x）ax的解集非空，求a的取值范围【解答】解：（）由于f（x），函数yf（x）的图象如图
10、所示（）由函数yf（x）与函数yax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a2或a时，函数yf（x）与函数yax的图象有交点故不等式f（x）ax的解集非空时，a的取值范围为（，2），+）考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成
11、立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题1已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）空集.【解析】解：（1）不等式，即.可得，或或，解得或，所以不等式的解集为.（2）当时，所以，由得，即，则，该不等式无解，所以实数的取值范围是空集（或者）.2已知（1）求不等式的解集；（2）设、为正实数，且，求证：【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）时，由，即，时，由，即，时，由，可知无解，综上，不等式的解集为；（2），且为正实数，又为正实数，可以解得3选修45：不等式选讲已知函数.（1）当，求不等式的解集；（2）对于任意实数，不
12、等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，为：当时，不等式为：，解得：，无解当时，不等式为：，解得：，此时当时，不等式为：，解得：，此时综上所述，不等式的解集为（2）对于任意实数，不等式恒成立等价于因为，当且仅当时等号成立所以因为时，函数单调递增区间为，单调递减区间为当时，又，解得：实数的取值范围4选修4-5不等式选讲 已知关于的不等式的解集为，其中.（1）求的值；（2）若正数，满足，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）由题意知：即或化简得：或 不等式组的解集为，解得：（2）由（1）可知，由基本不等式有：，三式相加可得：，即：5选修4-5：不等式选讲已
13、知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，当时，不等式等价于，解得，；当时，不等式等价于，解得，；当时，不等式等价于，解得，.综上所述，原不等式的解集为.（2）由，得，而，（当且仅当时等号成立）由题可知，即，解得实数的取值范围是.6已知函数.（）当时，求不等式的解集；（）若时，不等式成立，求的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】（I）当时，原不等式即，即.当时，解得，；当时，无解；当时，解得，；综上，原不等式的解集为（II）由得（*）当时，（*）等价于 即，所以恒成立，所以 当时，（*）等价于 即，所以恒成立，所以 综上，
14、的取值范围是7已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，不等式化为：当时，不等式化为，解得：当时，不等式化为，解得：当时，不等式化为，解得：综上，原不等式的解集为（2）由，得，又则不等式化为：得对都成立 ，解得：又，故的取值范围是8已知函数（）求不等式的解集；（）若函数的定义域为，求实数的取值范围【答案】（I）（II）【解析】解：（I）由已知不等式，得，当时，不等式为，解得，所以；当时，不等式为，解得，所以；当时，不等式为，解得，此时无解综上：不等式的解集为（II）若的定义域为，则恒成立，当且仅当时取等号，即所以实数的取值范围是
15、9已知函数（）解关于的不等式；（）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）.【解析】解：（I）当时，不等式为：，解得，故当时，不等式为：，解得，故1x3，当时，不等式为：，解得，故综上，不等式的解集为（II）由恒成立可得恒成立又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，解得即的最值范围是10已知函数.（）解不等式；（）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】（）由题意， ，所以等价于或或.解得：或，所以不等式的解集为；（）由(1)可知,当时, 取得最小值, 所以，即，由柯西不等式得，整理得，当且仅当时, 即时等号成立.所以的最小值为.11
16、已知函数.（）求时，的解集；（）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.【答案】（）；（）见解析.【解析】（）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集.（）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时， 当且，即时， 综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时， ；当时， ；12选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设集合满足：当且仅当时，若，求证：.【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】（1） 当 时， ，得 ，故； 当 时， ，得 ，故；当 时， ，得 ，故；综上，不等式的解集为 （2）由绝对值不等式的性质可知等价于，当且仅当，即 时等号成立，故 所
17、以，所以，即.13选修45：不等式选讲 已知函数（1）若，求不等式的解集.（2）对任意的，有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1），所以解之得不等式的解集为.(2)当时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，所以，所以，当时，不等式恒成立，当时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，由题得，所以m没有解.综上，.14已知（1）证明；（2）若，记的最小值为，解关于的不等式【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）当且仅当,等号成立（2），当且仅当a=b=c等号成立由不等式即 由得：不等式的解集为15选修45：不等式选讲已知函数，。（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围。【答案】(1) .(2) .【解析】（1）当时，.当时，原不等式可化为，化简得，解得，；当时，原不等式可化为，化简得，解得，；当时，原不等式可化为，化简得，解得，；综上所述，不等式的解集是；（2）由题意知，对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为.