1、2.3 直线的交点坐标与距离公式 选择性必修一第二章 2.3.1 两条直线的交点坐标 知识梳理 知识要点要点一两条直线的交点坐标1求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可知识梳理 2应用：可以利用两条直线的_判断两条直线的位置关系一般地，直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20的位置关系如表所示：方程组A1xB1yC10A2xB2yC20 的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数_个_个_个直线l1和l2的位置关系相交重合平行交点个数1无数多0知识梳理 方法技巧两直线相交的条件：将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两
2、直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2相交的条件是 A1B2A2B10 或A 1A2B1B2(A2，B20)若两直线斜率都存在，设两条直线 l1：yk1xb1，l2：yk2x b2，则 l1 与 l2 相交k1k2.例题解析 例 1过直线 l1：x2y40 与直线 l2：xy10 的交点，且过原点的直线方程为()A2xy0 B2xy0 Cx2y0 Dx2y0 联立x2y40，xy10，解得x2，y1，则直线 l1：x2y40 与直线 l2：xy10 的交点坐标为(2，1)所以过点(2，1)且过原点(0，0)的直线方程
3、为 x2y0.故选 D.D例题解析 例 2若直线 l1：ykxk1 与直线 l2 关于点(3，3)对称，则直线 l2 一定过定点()A(3，1)B(2，1)C(5，5)D(0，1)ykxk1k(x1)1，直线 l1：ykxk1 过定点(1，1)设定点(1，1)关于点(3，3)对称的点的坐标为(x，y)，1x2 3，1y2 3，得x5，y5，即直线 l2 恒过定点(5，5)故选 C.C例题解析 例 3若三条直线 l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0 能构成三角形，则 a 应满足的条件是()Aa1 或 a2 Ba1 Ca1 且 a2 Da1 且 a2 为使三条直线能构成三角形，需三条
4、直线两两相交且不同时交于一点 若 l1l2，则由 aa110，得 a1.若 l2l3，则由 11a10，得 a1.若 l1l3，则由 a1110，得 a1.故当 a1 时，l1，l2 与 l3 三线重合，当 a1 时，l1，l2 平行 若三条直线交于一点，由xay10，xya0，解得xa1，y1，将 l2，l3 的交点(a1，1)的坐标代入 l1 的方程，解得 a1(舍去)或 a2.所以要使这三条直线能构成三角形，应满足 a1 且 a2.D例题解析 例 4.若直线:3l ykx与直线的30 xy 交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A3,24B3,24C3,34D3,24D例题解
5、析 联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得1k ，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.【解析】联立方程组330ykxxy，解得3333,11kxykk，因为两直线的交点位于第二象限，可得 3301k且 3301kk，解得1k ，设直线l的倾斜角为，其中0,)，即 tan1 ，解得324，即直线l的倾斜角的取值范围是3(,)24.故选：D.例题解析 例 5已知线段 AB 两端点的坐标分别为2,3A 和4,2B，若直线:10l xmym 与线段 AB 有交点，则实数 m 的取值范围是（）A3,1,4 B31,4C31,4D3,1,4 C例题解析【答案】C【解析】直线:
6、10l xmym 恒过的定点1,1P，4,13APBPkk .当0m 时，直线l方程为1x ，与线段 AB有交点，符合题意.当0m 时，直线l的斜率为1m，则14,1,3m ，解得 10m 或304m，综上，31,4m .故选：C2.3.2 两点间的距离公式 知识梳理 要点二 两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|_特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|_x2x12y2y12x2y2知识梳理 对两点间距离公式的理解：公 式 与 两 点 的 先 后 顺 序 无 关，也 就 是 说 公 式 也 可 以 写 成|P1P2|x1x22y1y22，利用此
7、公式可以将几何问题代数化当直线 P1P2 平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：法一：直线 P1P2 平行于 x 轴时|P1P2|x2x1|；法二：直线 P1P2 平行于 y轴时|P1P2|y2y1|.例题解析 例 1直线 l1：3axy20 和直线 l2：(2a1)x5ay10 分别过定点 A 和 B，则|AB|等于()A.135 B.175 C.115 D.895 直线 l1：y3ax2 过定点 A(0，2)，直线 l2：a(2x5y)(x1)0 过定点 B(1，25)，所以|AB|（10）225（2）2135.A例题解析 例 2已知 A(3，0)，B(0，3)，从点
8、P(0，2)射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回 P点，则光线所经过的路程为()A210 B6 C33 D.26 由题易知直线 AB 的方程为 xy3，点 P(0，2)关于 x 轴的对称点为 P1(0，2)设光线与 x 轴交点为 Q，点 P(0，2)关于直线 AB 的对称点为 P2(a，b)，如图 b2a（1）1，a22b23，解得a1，b3.故 P2(1，3)，光线所经过的路程为|PQ|QM|MP|P1P2 12（32）226.故选 D.D例题解析 例 3已知定点 0 010AB，若直线 ykx上总存在点 P，满足条件2PAPB，则实数 k 的取值范围为（）A(
9、1,)B(,1)C11，D11，D例题解析【答案】D【解析】点 P 在直线 ykx上，可设 P xkx，由2PAPB，得222PAPB，由两点间的距离公式可得：2222222(1)2xk xxk x，整理可得221420kxx，由216 810k，解得 11k ，故选：D例题解析 例 4在直线 2x3y50 上求点 P，使点 P 到 A(2，3)的距离为13，则点 P 的坐标是()A(5，5)B(1，1)C(5，5)或(1,1)D(5，5)或(1，1)设点 P(x，y)，则 y2x53.由|PA|13，得(x2)22x533 213，即(x2)29，解得 x1 或 x5.当 x1 时，y1；当
10、 x5 时，y5，所以 P 的坐标为(1，1)或(5，5)C例题解析 例 5在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M(0，1)和 N(2，5)(1)若 M，N 是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点 M 的两条边所在直线的方程 因为 M(0，1)，N(2，5)，所以 kMN5（1）203，直线 MN 的方程为 y13x.设这个正方形过顶点 M 的另一条直线为 l，所以直线 l 的斜率 k1kMN13，直线 l 的方程为 y113x，整理得 x3y30.故所求两条直线的方程分别为 3xy10，x3y30.例题解析(2)若 M，N 是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线
11、所在直线的方程及正方形的另外两个顶点的坐标 由(1)得直线 MN 的方程为 3xy10，所以另外一条对角线所在直线的斜率为13.设 MN 的中点为 O，则 O(1，2)，易知另外一条对角线过点 O，所以 y213(x1)，整理得 x3y70.设正方形的另外两个顶点坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)因为 M在直线 x3y70 上，且|OM|2|OM|2，所以 x13y170，(01)2(12)2(x11)2(y12)2，由联立，得x12，y13或x14，y11.故正方形的另外两个顶点的坐标分别为(2，3)，(4，1)2.3.3 点到直线的距离公式 知识梳理 知识要点要点一点到直线的距
12、离1概念：过一点向直线作垂线，则该点与_之间的距离，就是该点到直线的距离2公式：点 P(x0，y0)到直线：l：AxByC0 的距离，d|Ax0By0C|A2B2.垂足例题解析 例 1已知点(a，1)到直线 xy10 的距离为 1，则 a 的值为()A1 B.1 C.2 D.2 由题意，得|a11|12（1）21，即|a|2，解得 a2.D例题解析 例 2 已知 m，n 满足1mn，则点(1,1)到直线20mxyn 的距离的最大值为（）A0B1C2D 2 2C例题解析 根据题意可以判断出直线过定点(2,2)，则根据一次函数图像性质可知，当且仅当定点恰为垂足时，距离取得最大值 2.【解析】将1n
13、m 代入直线方程，得(2)20 xmy ，所以直线20mxyn 必过定点(2,2)，故点(1,1)到直线20mxyn 的距离的最大值为22(2 1)(2 1)2.故选:C例题解析 例 3经过两直线 x3y100 和 3xy0 的交点，且与原点 O(0，0)的距离为 1 的直线的条数为()A0 B1 C2 D3 设所求直线的方程为 x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100，原点 O 到所求直线的距离 d|10|（13）2（3）21，解得3，所求直线的方程为 x1 或 4x3y50，共两条C例题解析 例 4已知定点2,0P 和直线:1 31225lxyR，则点 P到直线l的距离的最大值为
14、（）A 2 3B 10C 14D 2 15B例题解析【答案】B【解析】将1 31225xy变形得23250 xyxy，所以l 是经过两直线50 xy和3250 xy 的交点的直线系.设两直线的交点为Q，由20,3250,xyxy得交点1,1Q，所以直线l 恒过定点1,1Q，于是点 P 到直线l 的距离222 10 110dPQ，即点 P 到直线l 的距离的最大值为 10.故选：B.2.3.4 两条平行直线间的距离 知识梳理 要点二 两平行直线间的距离1概念：夹在两条平行直线间的_的长度就是两条平行直线间的距离2公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d|C1C2|
15、A2B2.公垂线段知识梳理 求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且 x，y 的系数对应相等当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决当两直线都与 x 轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则 d|x2x1|；当两直线都与 y 轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则 d|y2y1|.例题解析 例 1.两直线 3xy20 与 6xmy0 互相平行，则它们之间的距离为()A.104 B.105 C.3 104 D.7 1020 直线 3xy20 与 6xmy0 互相平行，63m1 02，解得 m2，故两
16、平行直线为 3xy20 与 3xy0，故它们之间的距离为|20|91105.故选 B.B例题解析 例 2.已知ABC 的三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(3，3)若ABC 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间距离的最小值是()A.3 55 B.2 C.3 22 D.5 分别过 A，B，C 三个点，作斜率为 1 的三条直线，得 l1：y2x1，即 xy10；l2：y1x2，即 xy10；l3：y3x3，即 xy0.显然，ABC 夹在两条斜率为 1 的平行直线 l1 和 l2 之间，此时，两条平行直线间距离最小为|1（1）|112.故选 B.B例题解析 例 3当 m 变化时，两条平行直线 3x4ym10 和 3x4ym20 间的距离的最小值为_ 两平行直线间的距离 d|m2m1|5m122345320，当且仅当 m12时取等号课堂小结 1两条直线的交点坐标;2两点之间的距离公式；3点到直线的距离公式；4.两条平行直线之间的距离。感谢您的观看
