1、上海市曹杨二中 2019-2020 学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题 1.已知复数12zi，则 z _.【答案】3 【解析】【分析】利用复数模的求法：2212z 即可求解.【详解】由复数12zi，则22123z ，故答案为：3 【点睛】本题考查了复数模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2.如果复数2(1)mimi 是实数，则实数 m _【答案】1 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将2(1)mimi 化简为abi的形式，结合实数的定义即可求解.【详解】由题意可得，223(1)(1)mimimmmi，因为复数2(1)mimi 是实数，所以310m ，解得1m .故
2、答案为：-1【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的概念与分类，属于基础题.3.若 a、bR，且ai ibi，则ab _.【答案】0 【解析】【分析】利用复数的乘法法则和复数相等可得出关于a、b 的方程组，解出a、b 的值，进而可求得 ab的值.【详解】1biai iai ，所以11ab ，因此，0ab.故答案为：0.【点睛】本题考查利用复数的乘法法则和复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.4.直线 110lxy：与直线 250lxy：之间的距离是_【答案】2 2 【解析】【分析】根据两条平行线间的距离公式，可直接求出结果.【详解】直线 110lxy：与直线 250lxy：之间的距离|1
3、 5|2 22 故答案为2 2 【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记公式即可，属于常考题型.5.若复数 z 同时满足2izz，izz，则 z _【答案】1i 【解析】分析】消去 z 后，根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案.【详解】因为2izz，izz，所以2zizi，所以21izi2(1)(1)(1)iiii2212ii .故答案为：1i 【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算法则，属于基础题.6.若抛物线24yx上一点 M 到焦点的距离等于 2，则 M 到坐标原点O 的距离等于_.【答案】5 【解析】【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线
4、的距离求得 x 的值，代入抛物线方程求得 y 值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离【详解】解：抛物线方程为24yx，焦点为(1,0)F，准线为:1l x 抛物线24yx上一点 P 到焦点的距离等于 2，根据抛物线定义可知 P 到准线的距离等于 2，即12x ，解之得1x，代入抛物线方程求得2y ，点 P 坐标为：(1,2)，故其到原点的距离为22125 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，属于基础题 7.若方程220 xyxym 表示一个圆，则实数m 的取值范围是_.【答案】1,2【解析】【分析】根据题意，由圆的
5、一般方程的形式分析可得1 140m ，解可得 m 的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，方程220 xyxym 表示一个圆，则有1 140m ，解的12m，即 m 的取值范围为1,2；故答案为：1,2【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题 8.过点3,2P且与直线210 xy 垂直的直线方程是_.【答案】270 xy【解析】【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将3,2P代入方程，即可求解.详解】所求直线与直线210 xy 垂直，设该直线方程为20 xyc，3,2P代入上式方程得7c ，所以所求的直线方程为270 xy.故答案为：270 xy.【点
6、睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题.9.已知点 M(3，0)，椭圆22+14xy 与直线 yk(x 3)交于点 A，B，则ABM 的周长为_.【答案】8【解析】【分析】直线 y=kx+3)（过定点 N（-3,0），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求ABM的周长.【详解】直线 y=kx+3)（过定点 N（-3,0），由题设知 M、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4 ABM 的周长为 AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故答案为：8【点睛】本题考查椭圆的
7、定义，直线过定点问题和利用椭圆的定义是解题的关键 10.设 1,2A，3,1B，若直线2ykx与线段 AB 有公共点，则实数k 的取值范围是_.【答案】,14,【解析】【分析】画出图象求出定点与 A、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围【详解】解：直线2ykx恒过定点0,2，由题意平面内两点 1,2A，3,1B，直线2ykx与线段 AB 恒有公共点，如图 求出定点与 A、B 两点连线的斜率，122410k 212130k ，所以直线2ykx与线段 AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是,14,，故答案为：,14,【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力
8、 11.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若1F AAB，120F B F B，则C 的渐近线方程为_.【答案】3yx 【解析】【分析】结 合 题 意 画 出 图 形，结 合 已 知 条 件 可 得1F BOA，又 A 为1F B 的 中 点，可 得123FOABOAF OB ，得到结果.【详解】如图，1F AAB，120F B F B，121F BF BF BOA，又 A 为1F B 的中点，1FOABOA，而直线OA，OB 为两条渐近线，12FOAF OB，123FOABOAF OB ，2tan
9、 F OB3ba，C 的渐近线方程为3yx 故答案为：3yx 【点睛】本题考查双曲线几何性质，数形结合的思想方法，计算能力，属于中档题 12.曲线C 是平面内与两个定点11,0F 和2 1,0F的距离的积等于常数21aa 的点的轨.给出下列四个结论：曲线C 过坐标原点；曲线C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线C 上，则122PFPFa；若点 P 在曲线C 上，则12FPF的面积212Sa.其中，所有正确的序号是_.【答案】【解析】【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F 和2(1,0)F的距离的积等于常数2(1)a a，利用直接法，设动点坐标为(,)x y，及可得到动点的轨迹方
10、程，然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于，由题意设动点坐标为(,)x y，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224(1)(1)xyxya，将原点代入验证，此方程不过原点，所以错；对于，把方程中的 x 被 x代换，y 被y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故正确；对于，222414yxxa ，22242141yxxaa ，P到原点的距离不小于21a，当 P 在 y 轴时取等号，此时12PFPFa，122PFPFa故错误；对于，由题意知点 P 在曲线C 上，则12F PF 的面积12122F PFSyy，由知222414yxxa 或222414yxxa （舍去），令244xat，则
11、2424tax，24442211(2)4444taaaytt ，1222212F PFSya，故正确 故答案为：【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域 二、选择题 13.已知直角坐标系 xOy 平面上的直线1xyab经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（）A.0,0ab B.0a，0b C.0a，0b D.0a，0b 【答案】A【解析】【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案.【详解】令0 x，则 yb；令0y，则 xa 所以(0,),(,0)ba在直线1xyab上 因为直线1xyab经过第一、第二和第四象限 所
12、以0,0ab 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.14.复数,zabi a bR，mzz b，nz z，2pz，则（）A.m、n、p 三数都不能比较大小 B.m、n、p 三数的大小关系不能确定 C.mnp D.mnp【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】zabi，()2mabiabi bab，22()()nabi abiab，22pab 22 2abab，当且仅当ab时，取等号 mnp 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.15.设复数0,0zabi ab是实系数方程20
13、xpxq的根，又3z 为实数，则点,p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】D【解析】【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论.【详解】3220,0,(2)()zabi abzababi abi，其虚部为22222()2(3)ab ba bb ab，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b abbba，复数0,0zabi ab是实系数方程20 xpxq的根，0,0zabi ab也是实系数方程20 x
14、pxq的根，所以222240,2,40pqzzap zzabaq ，所以2,0pq p，此时30q ，即点,p q 的轨迹在抛物线2yx=上.故选：D.【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.16.已知a、b、e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量a 与 e 的夹角为 3，向量b 满足2430be b，则 ab的最小值是（）A.3 1 B.3 1 C.2 D.23【答案】A【解析】【分析】先确定向量a、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设,1,0,ax yebm
15、nrrr，则由,3a e r r得221cos,332axeexxyya rrr r，由2430be b rr r得2222430,21,mnmmn 因此，abrr的最小值为圆心2,0 到直线3yx 的距离 2 3=32减去半径 1，为 3 1.选 A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.三、解答题 17.设,分别是方程220 xxaaR的两个虚数根.（1）求 a 的取值范围及 的值；（2）若4，求 a 的值.【答案
16、】（1）1a ，2 a；（2）5.【解析】【分析】（1）由条件可得440a，得出a 的取值范围，根据求根公式可求得方程虚数根,，代入，可得到答案.（2）由（1）可得2121aia，代入条件，即可得出答案.【详解】（1）由方程220 xxaaR有两个虚数根 所以440a，解得1a 由,是方程220 xxaaR的两个虚数根.可得,，不妨设244112aiai ,244112aiai 所以22221+1+211aaa（2）由（1）可得2121aia 根据4，即214a，解得5a 【点睛】本题考查实系数一元二次方程有虚数根的条件以及求根公式的应用，属于中档题.18.已知 ABC的三个顶点,A m n、
17、2,1B、2,3C.（1）求 BC 边所在直线方程；（2）BC 边上中线 AD 的方程为2360 xy，且7ABCS，求点 A 的坐标.【答案】（1）240 xy；（2）点 A 坐标为3,4、3,0【解析】【分析】（1）利用两点式求得 BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得 A 到直线 BC 的距离，根据面积7ABCS以及点 A 在直线 2360 xy上列方程组，解方程组求得 A 点的坐标.【详解】（1）由 2,1B、2,3C 得 BC 边所在直线方程为123 122yx，即24 0 xy.（2）22422 5BC，A 到 BC 边所在直线240 xy的距离为245mnd，由于
18、 A 在直线2360 xy上，故1722360ABCSBC dmn，即2472360mnmn，解得3,4A或3 0A ,.【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.19.已知直线:l yxm，mR.（1）若以点2,0M为圆心的圆与直线l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；（2）若直线l 与抛物线2:4C xy有且仅有一个公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）2228xy；（2）1m .【解析】【分析】（1）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确
19、定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（2）联立直线与抛物线方程、消元，由0 计算可得；【详解】解：（1）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为222(2)xyr由题意，所求圆与直线:l yxm相切于点(0,)Pm，则有 224202mrmr，解得22 2mr，所以圆的方程为22(2)8xy（2）因为直线:l yxm与抛物线2:4C xy有且仅有一个公共点，联立方程得24yxmxy消元得2440 xxm，所以24440m 解得1m 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基础题 20.已知椭圆222:1xCym （常数1m ），点 P
20、 是C 上的动点，M 是右顶点，定点 A 的坐标为(2,0)若 M 与 A 重合，求C 的焦点坐标；若3m，求 PA 的最大值与最小值；若 PA 的最小值为 MA，求m 的取值范围【答案】（1）(3,0),(3,0)（2）min2|2PAmax|5PA（3）112m 【解析】解：2m，椭圆方程为2214xy，4 13c 左、右焦点坐标为(3,0),(3,0)3m，椭圆方程为2219xy，设(,)P x y，则 222222891|(2)(2)1()(33)9942xPAxyxxx 94x 时min2|2PA；3x 时max|5PA 设动点(,)P x y，则 222222222222124|(
21、2)(2)1()5()11xmmmPAxyxxmxmmmmm 当 xm时，PA 取最小值，且2210mm，2221mmm且1m 解得112m 21.已知直线 1:lyx及直线 2:lyx .平面上动点,M x y，且 xy，记 M 到直线 1l、2l的距离分别为1d、2d，满足：21202adda.（1）求动点 M 的轨迹 的方程；（2）若直线l 的方向向量为1,2，过2,0a的直线l 与曲线 交于 A、B 两点，问以 AB为直径的圆是否恰过原点O？若是，求a 的值；若不是，判断原点在圆内还是圆外，并说明理由？（3）若过原点O 作斜率为k 的直线n 交曲线 于 M、N 两点，设 0,1P，求
22、PMN 的面积 S 关于k 的函数解析式，并求 S 的取值范围.【答案】(1)2220 xyaa(2)以 AB 为直径的圆不过原点 O，点 O 在圆外(3)211Sak,S 的取值范围是 Sa【解析】【分析】（1）由条件有222122222xyxyxyad d，得出答案.（2）设 1122,A x yB x y，根据条件可设直线l方程为：22yxa，与曲线 的方程联立，得到128 23axx，2123x xa，由1 21 2OA OBx xy y的符号可得出答案.（3）由题意直线n 的方程为 ykx，与曲线 的方程联立，可得 M（或 N）的点的横坐标，根据条件可得k 的范围，211221NSO
23、Pxak，然后求出范围.【详解】（1）由,M x y 到直线 1l、2l 的距离分别为1d、2d，且2122add 则222122222xyxyxyad d，又 xy 所以22222222xyxya，即222xya 则动点 M 的轨迹 的方程；2220 xyaa（2）由直线l 的方向向量为1,2，则直线l 的斜率为2k.又直线l 过2,0a，则直线l 的方程为：22yxa 设 1122,A x yB x y，由22222yxaxya得2238 290 xaxa 则128 23axx，2123x xa 所以21212121242242 22yyxaxax xa xxa 2228 24432233aaaaa 2221212453033aaOA OBx xy ya 所以以 AB 为直径的圆不过原点O，由0OA OB，所以点O 在圆外.（3）直线n 的方程为 ykx 由222ykxxya得2222xk xa，由直线n 交曲线 于 M、N 两点，则210k，则201k 则2221axk 211221NSOPxak 由201k，得2011k，所以211aak 所以 PMN 的面积 S 关于k 的函数解析式为211Sak，PMN 的面积 S 的取值范围是 Sa.【点睛】本题考查求轨迹的方程，利用数量积研究点与圆的位置关系，求三角形的面积，属于中档题.