普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国甲卷pdf无答案.docx

1、一、选择 1.已知复数z =-1 + 3 i,全国甲卷 ( 理科)则 z =zz - 1A. - 1 + 3 iB. - 1 - 3 iC. - 1 +3 iD. - 1 -3 i33332.某社区通过公益讲座普及社区居民的垃圾分类知识. 为了讲座效果，随机抽取 10 为社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：100%95%正 90%85%确 80%率 75%70%65%60%012 345678910居民编号讲座前讲座后A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85

2、%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.已知全集 U = -2,1,0,1,2,3,A = -1,2,B = x|x2 - 4x + 3 = 0, 则 U A B =A.1,3B.0,3C.-2,1D.-2,04. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为A.8 B.12 C.16 D.20y-O2 x2y-2Ox25. 函数 y = 3x - 3-x cosx 在区间 - ,的图像大致为y-22Ox-AB 222yO x2CD.6. 当 x = 1 时, 函数 f

3、x= alnx + b取得最大值为-2, 则 f2 =x2A. - 1B. - 1C.1D.127. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, 已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为30, 则A.AB = 2ADB.AB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30C.AC = CB1D.B1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 458. 沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”. 如图，AB 是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB.“会CD2OA圆术”给出 AB 的弧长的近似值 s

4、 的计算公式：s = AB + . 当 OA = 2,AOB = 60 时，s=ACBA.11-33B.11-43D2 2 22C.9 -33D.9 -439. 已知两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2, 两个圆锥的侧面积分别为S1,S2, 体积分别为 V1,V2. 若 S1 = 2, 则 V1 =A. 5S2B.2 2x2y2V2C. 104D.51010.已知椭圆 C : + = 1a b 0,A 为左顶点，P,Q 为 C 上关于 y 轴对称的两点，若直a2b2线 AP,AQ 的斜率之积为 1 , 则椭圆的离心率为232A.342B.2C.1D.111. 已知 f x范围是=

5、 sinx + 0在0,上恰有三个极值点, 两个零点，则实数 的取值3A.5 ,13 )B.5 ,19 )C.(13 ,8 D.(13 ,19 3636636612. 已知 a = 31 ,b = cos1 ,c = 4sin1 , 则 a,b,c 的大小关系为3244A.c b aB.b a cC.a b cD.a c b二、填空13. 已知向量) ) 所成角的余弦值为 1 , 且)则 )a,b2x23a = 1, b2= 3,22a + b b =.14. 已知双曲线 y- = 1m 0m2的渐近线于圆 x + y- 4y + 3 = 0 相切，则 m = .15. 从正方体的 8 个顶点

6、中任取 4 个，则这 4 个点在同一平面的概率为 .AB16. ABC 中，D 为边 BC 上一点, 若ADB = 120,AD = 2,CD = 2BD, 当 AC 最小时，BD= .三、解答题17. 已知数列an的前 n 项和为 Sn, 若 2Sn + n = 2an + 1.n（1） 证明数列 an 是等差数列；（2） 若 a4,a7,a9 成等比数列，求 Sn 的最小值.18. 已知四棱锥 P - ABCD 中,PD 平面 ABCD,CD/AB,AD = CD = CB = 1,AB = 2,PD= 3 .PDC（1） 证明：BD PA;（2） 求直线 PD 与平面 PAB 所成角的正

7、弦值.AB19. 甲、乙两所学校举行比赛，一共三个项目，每个项目胜者得 10 分，负者得 0 分，没有平局。三场比赛结束后，总得分高者获得冠军，已知甲学校在三场比赛中获胜的概率分别为 0.5,0.4,0.8, 各场比赛胜负相互独立。（1） 求甲学校获得冠军的概率；（2） 以比赛结束时乙学校得分作为随机变量 X, 求 X 的分布列和期望.20. 已知抛物线 C : y2 = 2px(p 0) 的焦点为 F, 点 Dp,0 . 过焦点 F 做直线 l 与抛物线 C 交于 M ,N 两点，当 MD x 轴时，MF（1） 求抛物线 C 的方程；= 3.（2） 若直线 MD,ND 与抛物线的另一个交点分

8、别为 A,B, 且直线 MN 、AB 的倾斜角分别为, 当 - 最大时，求直线 AB 的方程.= - lnx + x - a,a R.xx21. 已知函数 f xe（1） 若 f x 0, 求实数 a 的取值范围;（2） 若函数 f x 有两个不同的零点 x1,x2, 求证: x1x2 1.x = 2 +t ,22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x =-2 +s ,6y = tt 为参数, 曲线 C2 的参数方程为 6y =- ss 为参数 .（1） 写出 C1 的普通方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 2cos -sin = 0, 求 C3 与 C1 交点的直角坐标，及 C3 与 C2 交点的直角坐标.23. 已知 a,b,c 均为正数，且 a2 + b2 + 4c2 = 3, 证明：（1）a + b + 2c 3;a+c（2）若 b = 2c, 则 11 3.