1、4简单计数问题课后作业提升16.个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法有()A.40种B.50种C.60种D.70种解析:先分组再排列,一组2人一组4人有C62=15种不同的分法;两组各3人共有C63A22=10种不同的分法,所以共有(15+10)2=50种不同的乘车方法.答案:B2.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则mn等于()A.110B.15C.310D.25解析:n=C53=10,由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2,3,4”和“2,4,5”,故m=2.故mn=2
2、10=15.答案:B3.有6个座位连成一排,现有3人就座,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种解析:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排3个人,然后插空,从而共A33A42=72种不同的坐法.答案:C4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种解析:先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),甲任
3、选一种为C61,然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有C61A52=120种不同的安排方法.答案:C5.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有种.解析:有两种满足题意的放法:(1)1号盒子里放2个球,2号盒子里放2个球,有C42C22种放法;(2)1号盒子里放1个球,2号盒子里放3个球,有C41C33种放法.综上可得,不同的放球方法共有C42C22+C41C33=10种.答案:106.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多
4、选一门,学校规定,每位同学选修4门,共有种不同的选修方案.(用数字作答)解析:不选A,B,C的选法有C64=15种,选A,B,C中一门课的选法有C63C31=60种,所以共有15+60=75种选修方案.答案:757. 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有多少种?解:分两种情况:(1)当有1名老队员时,应从3名新队员中选出2名,其排法种数:C21C32A33=36种;(2)当有2名老队员时,应从3名新队员中选出1名,其排法种数:C31C21A22=12种.由分类加法计数
5、原理,得所求排法有36+12=48种.8.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.(1)有多少个四位偶数?(2)若按从小到大排列,3 204是第几个数?解:(1)方法一:先排个位数字,分两类:0在个位时有A43种;2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有A21A31A32种,故共有A43+A21A31A32=60个四位偶数.方法二:间接法.若无限制条件,总排列数为A54,其中不符合条件的有两类:0在千位,有A43种;1或3在个位,有A21A31A32种,则四位偶数有A54-A43-A21A31A32=60个.(2)方法一:(分类法)由高位到低位逐级分为:千位是1或2时,有A21A43个;千位是3时,百位可排0,1或2.(i)当百位排0,1时,有A21A32个,(ii)当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数共有A21A43+A21A32+1=61个,3 204是第62个数.方法二:(间接法)A41A43-(A43+A32+A21A21)=62个.