1、3.4函数的应用()课时过关能力提升1某公司为了适应市场需求,对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案D2当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()A.y=100xB.y=log100xC.y=x100D.y=100x解析由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.答案D3化学上通常用pH来表示溶液酸碱性的强弱:pH=-lgc(H+),其中c(H+)表示溶液中H+的浓度.若一杯胡萝卜汁的pH比
2、一杯葡萄汁的pH小2,则胡萝卜汁中c(H+)是葡萄汁中c(H+)的倍数为()A.2B.10C.100D.200解析设胡萝卜汁中的c(H+)和葡萄汁中的c(H+)分别为a和b,依题意有lg b-lg a=-2,因此lgba=-2,即a=100b.答案C4今有一组数据如下表所示:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是()A.s=2t-3+1B.s=32log2tC.s=12t2-12D.s=2t-2解析画出散点图如图所示.由散点图可知,此函数是增函数,但增长速度较慢,
3、则排除选项A;函数的图象不是直线,排除选项D;函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B.答案C5春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了()A.10天B.15天C.19天D.2天解析荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y=2x,当x=20时,长满水面,故生长19天时,布满水面一半.答案C6某种动物繁殖数量y(单位:只)与繁殖时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则第七年它们发展到()A.300只B.400只C.500只D.60
4、0只解析由题意,知当x=1时,y=100,即100=alog22,即a=100,故y=100log2(x+1).于是当x=7时,y=100log28=300(只).答案A7某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100解析由所给数据,再根据不同函数的不同增长特点可知最好的模型为指数型函数,故选C.答案C8有浓度为a%的酒精一满瓶共m升,每次倒出n升,再用水加满,一共倒了
5、10次,则加了10次水后瓶中的酒精浓度是.解析第一次加满水时,瓶中酒精的浓度为1-nma%,第二次加满水时,瓶中酒精的浓度为1-nm1-nma%=1-nm2a%,依次可得第n次加满水时,瓶中酒精的浓度为1-nmna%.答案1-nm10a%9某化工企业生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过0.1%,若最初含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,则至少应该过滤次才能达到市场要求.(取lg 20.301 0,lg 30.477 1,lg 50.699 0)解析设该过滤n次,则2%1-13n0.1%,即nlg5-2lg2-lg37.4,即n7.4,因此至少应经过8次过滤才能达到市场要求.答案81
6、0有时可用函数f(x)=0.1+15lnaa-x,x6,x-4.4x-4,x6描述学习次数对某学科知识的掌握程度,其中x(xN+)表示对某学科知识的学习次数,f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(1)证明:当x7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.(1)证明当x7时,f(x+1)-f(x)=(x+1)-4.4(x+1)-4-x-4.4x-4=0.4(x-3)(x-4).当x7时,函数y=(
7、x-3)(x-4)是单调递增的,且(x-3)(x-4)0.故f(x+1)-f(x)是单调递减的.因此,当x7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.(2)解由题意,知0.1+15lnaa-6=0.85,整理得aa-6=e0.05,解得a=e0.05e0.05-16123,123(121,127.故该学科是乙学科.11据预测,我国在“十三五”期间某产品的市场价格与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t0,12,x(单位:元)为市场价格,b,k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象求k,b的值;(2)若市场需求
8、量为Q,它近似满足Q(x)=211-12x,当P=Q时,市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.解(1)由题图可知当t=18时,图象过点(5,1),(7,2),故21-k8(5-b)2=1,21-k8(7-b)2=2,解得k=6,b=5.(2)当P=Q时,得2(1-6t)(x-5)2=211-12x,解得t=161-22-x2(x-5)2=161-17-(x-5)2(x-5)2=-11217(x-5)2-1x-5-2.令m=1x-5,因为x9,所以m0,14,在t=-112(17m2-m-2)中,对称轴为直线m=134,1340,14,且函数图象开口向下,故当m=14时,t取得最小值19192,此时x=9.