1、章末综合测评(二)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法不正确的是()A某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C公式EXnp可以用来计算离散型随机变量的均值D从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式EXnp并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算故选C.【答案】C2若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为
2、X，则下列概率中等于的是()AP(X0)BP(X2)CP(X1)DP(X2)【解析】由已知易知P(X1).【答案】C3若X的分布列为X01Pa则EX()A. B.C. D.【解析】由a1，得a，所以EX01.【答案】A4甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A0.16B0.24C0.96D0.04【解析】三人都不达标的概率是(10.8)(10.6)(10.5)0.04，故三人中至少有一人达标的概率为10.040.96.【答案】C5设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图1所示，下列结论中正确的是()图1A
3、P(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)【解析】由图象知，12，12，P(Y2)，P(Y1)，故P(Y2)P(Y1)，故A错；因为12，所以P(X2)P(X1)，故B错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故C错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)是正确的，故选D.【答案】D6某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()A. B.C. D.【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为PC2.【答案】A7某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)，则下列
4、命题中不正确的是()A该市在这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】利用正态密度函数的表达式知80，10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x80对称，知P(110)P(50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.【答案】B8校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为，那么成活棵数X的方差是() 【导学号：62690050】A. B.C. D.【解析】由题意知成活棵数XB，所以成活棵数X的方差为4.故选C.【答案】
5、C9对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A. B.C. D.【解析】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)，P(AB).故P(B|A).【答案】D10设随机变量等可能地取1,2,3,4，10，又设随机变量21，则P(6)()A0.3B0.5C0.1D0.2【解析】因为P(k)，k1,2，10，又由216，得，即1,2,3，所以P(EX乙，乙的产品质量比甲的产品质量好一些【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13袋中有4只红球，3只黑
6、球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X6)_.【解析】P(X6)P(X4)P(X6).【答案】14一只蚂蚁位于数轴x0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x1处的概率为_. 【导学号：62690051】【解析】由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x1处的概率为C21.【答案】15一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区
7、域的事件记为B，则P(A|B)_.【解析】如图，n()9，n(A)3，n(B)4，所以n(AB)1，P(A|B).【答案】16一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概率是；从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是_【解析】恰有一个白球的概率P，故正确；每次任取一球，取到红球次数XB，其方差为6，故正确；设A第一次取到红球，B第二次取到红球则P(A)，P(AB
8、)，P(B|A)，故错；每次取到红球的概率P，所以至少有一次取到红球的概率为13，故正确【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球P(B).P()1P(B).(1)P(A|B).(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A
9、|B)P(B)P(A|)P().18(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：(单位：分)甲：132,108,112,121,113,121,118,127,118,129；乙：133,107,120,113,122,114,125,118,129,127.(1)以百位和十位为茎，个位为叶，作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；(2)若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；(3)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校
10、(人数很多)任选3人，记X表示抽到“优秀”学生的人数，求X的数学期望【解】(1)甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如图所示，乙班的平均水平较高.(2)由题中数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率P.(3)因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为0.2，据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因XB(3,0.2)，所以E(X)30.20.6.19(本小题满分12分)已知随机变量XN(，2)，且其正态曲线在(，80)上是增函数，在(80，)上为减函数，且P(72X88)0
11、.683.(1)求参数，的值；(2)求P(64X72)【解】(1)由于正态曲线在(，80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，即参数80.又P(72x88)0.683.结合P(X)0.683，可知8.(2)P(2X2)P(64X96)0.954.又P(X64)P(X96)，P(X64)(10.954)0.0460.023.P(X64)0.977.又P(X72)1P(72X88)(10.683)0.158 5，P(64X72)P(X64)P(X72)0.977(10.158 5)0.135 5.20(本小题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据
12、统计，随机变量的分布列如下：0123P0.10.32aa(1)求a的值和的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率【解】(1)由概率分布的性质知，0.10.32aa1，a0.2，则的分布列为0123P0.10.30.40.2E00.110.320.430.21.7(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次”，另一个月被投诉0次，事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”，则由事件的独立性可得P(A1)CP(2)P(0)20.40.10.08，P(A2)(P(1)20.320.09，P(A)
13、P(A1)P(A2)0.080.090.17.故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17.21(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)【解】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200
14、)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PEX200300400350.22(本小题满分12分)某次数学测验共有10道选择题，每道题均有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望【解】(1)记“选对一道能排除2个选项的题目”为事件A，“选对一道能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)，P(B).该考生选择题得50分的概率为P(A)P(A)P(B)P(B)22.(2)设X为该考生所得分数，则X的可能取值为30,35,40,45,50.P(X30)22.P(X35)C222C，P(X40)22C2C22，P(X45)C222C，P(X50)22.所以该考生所得分数X的分布列为X3035404550P则EX3035404550.