1、2003年温州市高三第二次适应性测试数 学 试 卷(理科) 一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项是，只有一项是符合题目要求的 1函数ycos(2x+)的图象的一条对称轴是（ ）(A) x (B) x (C) x (D) x 2对任意集合A和B，定义AB是指所有属于A但不属于B的元素的集合，已知集合A y| yx1，集合B y| y，则AB（ ） (A) (B) 0 (C) A (D) B 3已知f(z)，则f（ ） (A) (B) (C) (D) 4在极坐标系中，直线cosa截曲线2acos所得弦长是 （ ） (A) (B) a (C) 2a (D) 4a
2、5记“空间四点中，若任意三点不共线，则此四点不共面”为命题P，它的逆命题为Q，则（ ） (A) P，Q都正确 (B) P不正确，Q正确 (C) P，Q都不正确 (D) P正确，Q不正确 62003年高校招生扩大自主权后，某中学4名符合条件的优秀生被推荐给3所名牌大学，每校至少1名，则不同的推荐方法种数是（ ） (A) 36 (B) 72 (C) 18 (D) 24 7圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，从A绕侧面到另一端C的最短距离是（ ） (A) (B) 4 (C) 2 (D) 2 8生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约只有10%20%的能量能够流动到下一个营养级(称
3、为能量传递率)，在H1H2H3H4H5H6这条生物链中，若使H6获得10kj的能量，则需H1最多提供的能量是（ ） (A) 104kj (B) 105kj (C) 106kj (D) 107kj 9已知等差数列中，amam1010，am50am6060，m为常数，且mN，则am125am135（ ） (A) 25 (B) 110 (C) 135 (D) 160 10如图是我国进入WTO后，某汽车生产企业的产销情况，其中：l1表示产品各月月产量的变化规律，l2表示产品各月的销售情况下列叙述： 产品产量、销售量均以直线上升，且每月的库存积压量均相等； 产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； 产
4、品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； 产品的产、销情况均以一定的月增长率递增 你认为较合理的是（ ） (A) (B) (C) (D) 11设f(x)是定义R上的任意一个增函数，F (x)f(x)f(x)，那么F1(x)必为（ ） (A) 增函数且奇函数 (B) 增函数且偶函数 (C) 减函数且奇函数 (D) 减函数且偶函数 12已知c是椭圆(ab0)的半焦距，则的取值范围是（ ） (A) (1，) (B) (，) (C) (1，) (D) (1，二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13直角三角板在平面上的射影可以是_(写出所有你认为可能情况的序号) 一点 线段
5、直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 14圆心在抛物线y22x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_ 15若的展开式的第二项不大于第三项，则x的取值范围是_ 16函数f(x)满足f(nx) f(x)n，写出一个满足上述条件的函数_三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(本小题满分12分)已知，试用k表示sincos的值 18(本小题满分12分)在矩形ABCD中，AB，AD1，将矩形沿对角线AC折成二项角DACB 若点D到平面ABC的距离为 (i)求二面角DACB的大小； (ii)求BD与平面ADC所成角的大小 当三棱锥ABCD的体积取得最
6、大值时，全面积是否也取得最大值？试说明理由 19(本小题满分12分)已知函数f(x)a(a，b为实常数) 若a2，b1，求f(x)的值域 若f(x)的值域为0，)，求常数a，b应满足的条件 20(本小题满分12分)已知O为坐标原点，ABO的边AB在直线l：x3上移动， 设ABO的外心为P(xp，yp)，A(3，t1)，B(3，t2)，求证：t1t296xp 若AOB，求AOB的外心P的轨迹方程21(本小题满分12分)某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时
7、，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，请你解决以下问题： 若要求8分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放几个窗口？ 若医院做出承诺，开始挂号后每人等待的时间不超过25分钟，问：若N60，当只开放一个窗口时，能否实现做出的承诺？22(本小题满分14分)已知函数f(x)满足axf(x)f(x)b(ab0)，f(1)1且f(x2)f(2x)对定义域内任意x都成立 求f(x)的表达式 设无穷数列an满足an1f(an)(i) 若a13，问从第几项起，数列开始递增(ii)若1a1(m是一给定的大于1的自然数)，求最小自然数N，使得当nN时
8、，总有0an1成立2003年温州市高三第二次适应性测试数学试卷(理科)参考答案及评分标准 2003.4 一、选择题：(每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CBDCBAACCDAD二、填空题：(每小题4分，共16分)13 14(x)2( y1)21(写一个即可)153x3且x0 16 f(x)等三、解答题 17(本题满分12分) 解： 3分2sincos所以k2sincos 5分(sincos)212sincos1k，9分又，于是sincos0，因此 sincos 12分18解：(i)在矩形中，点D到对角线AC的距离为，所以面ADC面ABC，即二面角DACB的大小是903
9、分(ii)在平面ABC内，过B作BEAC，垂足为E，连DE，由(i)知BE面ADC，所以DE是DB在平面ADC上的射影，秘以BDE为BD与平面ADC所成的角， 5分在平面ADC内过D作DFAC于F ，则可求得DFBE，AFCE，EF1，DE，tanBDE 7分 BD与平面ADC所成的角是arctan8分 当面ADCABC时三棱锥的体积取最大值三棱锥的全面积是四个直角三角形的面积的和，其中ABC，ADC的面积是已知常数，另两个三角形的ABD和BCD是全等的，所以只要看ABD的面积是否有最大值，如何糨有最大，则须ABAD，由三垂线定理的逆定理得，ABAC，与已知矛盾，所以此时全面积没有取最大值12
10、分19、解： x22x1(x1)222，0 f(x)的值域为2，+)4分当a0时，则须x2b的最小值0，b0 7分当a0时，只须a0，且x2axb的最小值a2，即4b5a2 11分 a0，b0或a0，4b5a2 12分20解：OA的中点坐标为，线段OA的中垂线的方程为，即xt1y0 2分线段AB的中垂线方程为y 4分联立，消去y得t1t296xp 6分 设ABO的外心为P(x，y)，已知AOB，由正弦定理可知|AB|2|OP|sin， 8分而|OP|，又由得AB|t1t2|10分整理得 11分所以外心的轨迹方程为(x2) 12分21解： 设要同时开放x个窗口才能满足要求，则 3分由、得代入得6
11、0M8M82.5Mx，解得x3.4，故至少同时开放4 个窗口才能满足要求 6分 N60，是K2.5，M1，设第n个人的等待时间为tn，当n60时，第n个人的等待时间为他前面的n1个人挂号完用去的时间；当n60时，第n个人的等待时间为他前面的n1个人挂号用去的时间减去他在开始挂号后到来挂号用去的时间 ，即 9分当n60时，则当n60时，tn取最大值为23.6分钟当n60时，则当n61时，tn取最大值为23分钟 11分故等待时间最长为23.6分钟，说明能够实现承诺12分22 解：由axf(x)f(x)b，得(ax1)f(x)b若ax10，则b0，与ab0矛盾，故ax10，f(x) 1分由f(1)1，即1，整理得ab1 2分又在f(x2)f(2x)中，令x2，得f(4)f(0)，即b 3分由可得 a，b，f(x)5分 (i) a13，由a21，a3，a4若0an1，则0an11，所以当n2时，0an1， 7分而an1anan，当0an1时，an1an所以从第二项起，数列成为递增的9分(ii)当时，由a2，得，同理，由a3，得，当nm时， 11分即am2，0，01 13分而由(i)中的证明可知，若0an1，则0an11， Nm2 14分http: