1、1.2 类比推理1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)基础初探教材整理 1 类比推理阅读教材 P5“1.2 类比推理”至 P6 前 16 行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是_(填序号).各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都
2、是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故都对.【答案】教材整理 2 合情推理阅读教材 P6 的最后 4 个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.合情推理的结果不一定正确.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须
3、有前提有结论.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型类比推理在数列中的应用 在公比为 4 的等比数列bn中，若 Tn 是数列bn的前 n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应地在公差为 3 的等差数列an中，若 Sn 是an的前 n 项和.(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔 10 项和的有关性质.【自主解答】(1)数列 S2
4、0S10，S30S20，S40S30 也是等差数列，且公差为 300.该结论是正确的.证明如下：等差数列an的公差 d3，(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)10d10d10d10个100d300，同理可得：(S40S30)(S30S20)300，所以数列 S20S10，S30S20，S40S30 是等差数列，且公差为 300.(2)对于任意 kN，都有数列 S2kSk，S3kS2k，S4kS3k 是等差数列，且公差为 k2d.1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比
5、特点.2.类比推理的思维过程 观察、比较联想、类推猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.再练一题1.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12 成等差数列.类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，T16T12成等比数列.【导学号：94210005】【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列.【答案】T8T4 T12T8类比推
6、理在几何中的应用 如图 1-1-10 所示，在平面上，设 ha，hb，hc 分别是ABC 三条边上的高，P 为ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为 pa，pb，pc，可以得到结论pahapbhbpchc1.图 1-1-10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】paha12BCpa12BChaSPBCSABC，同理，pbhbSPACSABC，pchcSPABSABC.SPBCSPACSPABSABC，pahapbhbpchcSPBCSPACSPABSABC1
7、.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 ha，hb，hc，hd 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为 pa，pb，pc，pd，可以得到结论pahapbhbpchcpdhd1.证明如下：paha13SBCDpa13SBCDhaVPBCDVABCD，同理，pbhbVPACDVABCD，pchcVPABDVABCD，pdhdVPABCVABCD.VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD，pahapbhbpchcpdhd VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如
8、下：平面图形点线边长面积线线角三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.再练一题2.在上例中，若ABC 的边长分别为 a，b，c，其对角分别为 A，B，C，那么由 abcos Cccos B 可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依次表示平面 PAB，平面 PBC，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小.猜想 SS1cos S2cos S3cos.探究共研型类比推理在其他问题中的应
9、用探究 1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.探究 2 已知以下过程可以求 123n 的和.因为(n1)2n22n1，n2(n1)22(n1)1，2212211，有(n1)212(12n)n，所以 123nn22nn2n（n1）2.类比以上过程试求 122232n2 的和.【提示】因为(n1)3n33n23n1，n3(n1)33(n1)23(n1)1，2313312311，有(n1)313(1222n2)3(123n)n，所以
10、 1222n2 13n33n23n3n25n2 2n33n2n6n（n1）（2n1）6.已知椭圆具有性质：若 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率 kPM，kPN 都存在时，那么 kPM与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2y2b21(a0，b0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】双曲线与椭圆类比 椭圆中的结论 双曲线中的相应结论 理论证明 【自主解答】类似性质：若 M，N 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率 kP
11、M，kPN都存在时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.证明如下：设点 M，P 的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则 N(m，n).因为点 M(m，n)是双曲线上的点，所以 n2b2a2m2b2.同理 y2b2a2x2b2，则 kPMkPNynxm ynxmy2n2x2m2b2a2x2m2x2m2b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.再练一题3.如图 1-1-11 所示，椭圆中心在坐标原点，
12、F 为左焦点，当FBAB时，其离心率为 512，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于_.图 1-1-11【解析】如图所示，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 F(c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以FB(c，b)，AB(a，b).又因为FBAB，所以FBABb2ac0，所以 c2a2ac0，所以 e2e10，所以 e1 52或 e1 52(舍去).【答案】1 52构建体系1.下面使用类比推理恰当的是()A.“若 a3b3，则 ab”类比推出“若 a0b0，则 ab”B.“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C
13、.“(ab)cacbc”类比推出“abc acbc(c0)”D.“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”【解析】由实数运算的知识易得 C 项正确.【答案】C2.已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S底高2，可知扇形面积公式为()【导学号：94210006】A.r22B.l22C.lr2D.无法确定【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式 Slr2.【答案】C3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_.【解析】由平面和空间的知
14、识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积之比为 18.【答案】184.在计算“1223n(n1)”时，有如下方法：先改写第 k 项：k(k1)13k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得1213(123012)，2313(234123)，n(n1)13n(n1)(n2)(n1)n(n1)，相加得 1223n(n1)13n(1)(n2).类比上述方法，请你计算“1324n(n2)”，其结果写成关于 n的一次因式的积的形式为_.【解析】1316(129017)，2416(2311129)，3516(341323
15、11)，n(n2)16n(n1)(2n7)(n1)n(2n5)，各式相加，得 132435n(n2)16n(n1)(2n7).【答案】16n(n1)(2n7)5.如图 1-1-12(1)，在三角形 ABC 中，ABAC，若 ADBC，则 AB2BDBC.若类比该命题，如图 1-1-12(2)，三棱锥 A-BCD 中，AD平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明.(1)(2)图 1-1-12【解】命题是：三棱锥 A-BCD 中，AD平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD所在平面内的射影为 M，则有 S2ABCSBCMSBCD，是一个真命题.证明如下：如图，连接 DM，并延长交 BC 于 E，连接 AE，则有 DEBC.因为 AD平面 ABC，所以 ADAE.又 AMDE，所以 AE2EMED.于是 S2ABC12BCAE2 12BCEM 12BCED SBCMSBCD.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)
