1、初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版） 专题1.3正方形的性质与判定姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020春汉寿县期中）在四边形ABCD中，ABC90，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（）AD90BABCDCADBCDBCCD【分析】根据正方形的判定方法判定即可【解析】ABC90，四边形ABCD是矩形，当BCCD时，四边形A
2、BCD是正方形，故选：D2（2020春建湖县期中）如图，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BEBF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）ABCACBBDDFCACBFDCFBF【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BEEC，BFFC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可【解析】EF垂直平分BC，BEEC，BFCF，BFBE，BEECCFBF，四边形BECF是菱形；当BCAC时，ACB90，则A45时，菱形BECF是正方形A45，ACB90，EBC45，EBF
3、2EBC24590，菱形BECF是正方形故选项A正确，但不符合题意；当BDDF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当ACBF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；当CFBF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意故选：C3（2020春鹿城区校级期中）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（3，1），则C点的坐标是（）A（1，3）B（2，3）C（3，2）D（3，1）【分析】作CDx轴于D，作AEx轴于E，由AAS证明AOEOCD，得出AEOD，OECD，由点A的坐标是（3，1），得出OE3，AE1，则O
4、D1，CD3，得出C（1，3）【解析】如图所示：作CDx轴于D，作AEx轴于E，则AEOODC90，OAE+AOE90，四边形OABC是正方形，OACOBA，AOC90，AOE+COD90，OAECOD，在AOE和OCD中，AEO=ODCOAE=CODOA=CO，AOEOCD（AAS），AEOD，OECD，点A的坐标是（3，1），OE3，AE1，OD1，CD3，C（1，3），故选：A4（2020春淮阴区期中）如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BDBE，则BED的大小为（）A15B22.5C30D45【分析】由四边形ABCD是正方形，推出ABD45，由ABDE+BDE，BDBE，推出
5、BDEE推出E=124522.5【解析】四边形ABCD是正方形，ABD45，ABDE+BDE，BDBEBDEEE=124522.5，故选：B5（2019春青山区期中）下列条件中，能推出ABCD为正方形的是（）AABBCBACBDCAC平分BADDACBD，且BAD90【分析】根据平行四边形的性质和正方形的判定定理判断即可【解析】A、ABBC，ABCD为菱形，故不符合题意；B、ACBD，ABCD为矩形，故不符合题意；C、如图，AC平分BAD，BACDAC，ADBC，DACACB，ACBBAC，ABBC，ABCD为菱形，故不符合题意；D、ACBD，且BAD90，ABCD为正方形，故符合题意，故选：
6、D6（2020春吴江区期中）矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（）A对角线互相平分B对角线相等C对角线互相垂直D对角线互相垂直平分【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质【解析】因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分故选：A7（2020春香坊区校级期中）如图，正方形ABCD中，AB4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FHAE于F，过H作HGBD于G则下列结论：AFFH；HAE45；BD2
7、FG；CEH的周长为8其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明ADFCDF，可得：AFCF，故需证明FCFH，可证：AFFH；由FHAE，AFFH，可得：HAE45；作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD2FG，只需证OAGF即可，根据AOFFGH，可证OAGF，故可证BD2FG；作辅助线，延长AD至点M，使ADDM，过点C作CIHL，则ILHC，可证ALHE，再根据MECMIC，可证：CEIM，故CEH的周长为边AM的长【解析】连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，BD为正方形ABCD的对角线，ADBCDF45ADCD，DFDF
8、，ADFCDF（SAS）FCAF，ECFDAFALH+LAF90，LHC+DAF90ECFDAF，FHCFCH，FHFCFHAFFHAE，FHAF，HAE45连接AC交BD于点O，如图2，可知：BD2OA，AFO+GFHGHF+GFH，AFOGHFAFHF，AOFFGH90，AOFFGH（ASA）OAGFBD2OA，BD2FG连接EM，延长AD至点M，使ADDM，过点C作CIHL，如图3，则：LIHC，HLAE，CIHL，AECI，DIC+EAD90，EAD+AED90，DICAED，EDAM，ADDM，EAEM，AEDMED，DICDEM，CIMCEM，CMMC，ECMCMI45，MECCI
9、M（AAS），可得：CEIM，同理，可得：ALHE，HE+HC+ECAL+LI+IMAM8CEH的周长为8故结论都正确故选：D8（2019春北辰区期中）如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E，H在AD，CD边上，点F，G在对角线AC上若AB6，则EFGH的面积是（）A6B8C9D12【分析】根据正方形的性质和图形，可以得到AFFGGC，然后根据AB6，B90，利用勾股定理可以得到AC的长，从而可以得到FG的长，然后即可得到正方形EFGH的面积【解析】四边形ABCD和EFGH都是正方形，AC平分BAC，EFFGGH，EFA90，FAEFEA45，EFAF，同理可证，GHGC，则FG=13
10、AC，AB6，B90，ABBC，AC=AB2+BC2=62+62=62，FG22，正方形EFGH的面积是：2222=8，故选：B9（2019春玉田县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，5），AB平行于x轴，则点A的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，5）【分析】根据正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，5），AB平行于x轴，可以得到点D的坐标，根据点D的坐标可以得到点A的坐标【解析】正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，5），AB平行于x轴，点D的横坐标为：341，纵坐标为：5点D的坐标为（1，5）点A的横坐标为：1，纵坐标为：541点A的坐标
11、为（1，1）故选：B10（2019春黄冈期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接AP，EF给出下列结论：PD=2DF；四边形PECF的周长为8；APD一定是等腰三角形；APEF其中正确结论的序号为（）ABCD【分析】根据正方形的对角线平分对角的性质，得PDF是等腰直角三角形，在RtDPF中，DP2DF2+PF2EC2+EC22EC2，求得PD=2DF先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；根据P的任意性可以判断APD不一定是等腰三角形；四边形PECF为矩形，通过正方形的
12、轴对称性，证明APEF；【解析】PEBC于点E，PFCD于点F，CDBC，PFBC，DPFDBC，四边形ABCD是正方形DBC45DPFDBC45，PDFDPF45，PFECDF，在RtDPF中，DP2DF2+PF2DF2+DF22DF2，PD=2DF故正确；PEBC，PFCD，BCD90，四边形PECF为矩形，四边形PECF的周长2CE+2PE2CE+2BE2BC8，故正确；点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ADP45，当PAD45或67.5或90时，APD是等腰三角形，除此之外，APD不是等腰三角形，故错误四边形PECF为矩形，PCEF，PFEECP，正方形为轴对称图形，APPC
13、，APEF，故正确；故选：A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020春常熟市期中）已知正方形的对角线长为52，则这个正方形的面积是25【分析】根据正方形的对角线长为52，可知正方形的面积等于对角线乘积的一半，然后代入数据计算即可【解析】正方形的对角线长为52，正方形的面积是：52522=25，故答案为：2512（2020春海淀区校级期末）如图，点O是正方形ABCD的中心，过点O的直线与AD、BC交于点M、点N，DEMN，交AB于点E，若AM1，DM3，则DE的长为25【分析】如图，连接AC，过点A作AFMN，交BC于F，由正方形的性质可得AOCO
14、，ABADBC4，ABCBAD90，ADBC，由“ASA”可证AMOCNO，可得AMCN1，通过证明四边形AMNF是平行四边形，可得AMFN1，由“ASA”可证ADEBAF，可得AEBF2，由勾股定理可求解【解析】如图，连接AC，过点A作AFMN，交BC于F，AM1，DM3，AD4，点O是正方形ABCD的中心，AOCO，ABADBC4，ABCBAD90，ADBC，MAONCO，又AOMCON，AOCO，AMOCNO（ASA），AMCN1，ADBC，AFMN，四边形AMNF是平行四边形，AMFN1，BF2，DEMN，AFMN，DEAF，AED+EAF90，又EAF+AFB90，AEDAFB，又E
15、ADABF90，ADAB，ADEBAF（ASA），AEBF2，DE=AD2+AE2=16+4=25，故答案为2513（2020春鹿城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OEOF，则四边形AFOE的面积为1【分析】证明AOEBOF（ASA），得出AOE的面积BOF的面积，得出四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14221即可【解析】四边形ABD是正方形，OAOB，OAEOBF45，ACBD，AOB90，OEOF，EOF90，AOEBOF，在AOE和BOF中，AOE=BOFOA=OBOAE=OBF，AOEBOF（ASA
16、），AOE的面积BOF的面积，四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14221；故答案为：114（2020春闵行区校级期中）如图：一个大正方形切割为1个小正方形和4个完全相同的直角三角形已知ABC的两条边AB和BC的长分别为1和2，那么大正方形的边长为5【分析】根据勾股定理解答即可【解析】ABC是直角三角形，AB1，BC2，AC=AB2+BC2=12+22=5，即大正方形的边长为：5，故答案为：515（2020春木兰县期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，EAF45，BE3，CF4，则正方形的边长为6【分析】延长CB至点G，使BGDF，并连
17、接AG和EF，由ABGADF（SAS），推出AGAF，GABDAF，由AEGAEF（SAS），推出GEEF，进而利用勾股定理解答即可【解析】延长CB至点G，使BGDF，并连接AG，在ABG和ADF中，AB=ADABC=D=90GB=DF，ABGADF（SAS），AGAF，GABDAFEAF45，BAE+DAFBAE+GABGAE45，EAFGAE在AEG和AEF中，AG=AFEAG=EAFAE=AE，AEGAEF（SAS）GEEF，设正方形的边长为x，DFx4，ECx3，GEEFBG+BEDF+BEx4+3x1，在RtEFC中，EF2EC2+CF2，即（x1）2（x3）2+42，解得：x6，即
18、正方形的边长为6，故答案为：616（2020春南岗区校级期中）已知正方形ABCD，以AD为一边作等边三角形ADP，连接PC，则APC的度数为45或135【分析】要求APC的度数，则要分情况讨论，点P可以在正方形ABCD内，也可以在正方形ABCD外，作图如下，利用正方形和等边三角形的性质及三角形内角和即可求解【解析】如图（1）中，当点P在正方形ABCD外时，在正方形ABCD中，ABBCADCD，BADADC90，ABCD，在等边ADP中，ADDPAP，ADPAPDDAP60，ABAPCDDP；DPDC，DCPDPC=12（180CDP）=12（180150）15，APCAPDDPC601545如
19、图（2），当点P在正方形ABCD内时，同理，BADADC90，ADPAPDDAP60，BAPCDP30；DPDC，CPDPCD=12（18030）75；APCAPD+DPC60+75135故答案为：45或13517（2020春邳州市期中）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC8，AECF1，则四边形BEDF的周长是20【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OEOF，ODOB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BDEF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论【解析】如图，连接BD交AC于点O，四边形ABCD为正方形，BDAC，ODOBOAOC，AECF2，
20、OAAEOCCF，即OEOF，四边形BEDF为平行四边形，且BDEF，四边形BEDF为菱形，DEDFBEBF，ACBD8，OEOF=8-22=3，由勾股定理得：DE=OD2+OE2=42+32=5，四边形BEDF的周长4DE4520，故答案为：2018（2020春江阴市期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME设APa，BPb，且a+b10，ab15则图中阴影部分的面积为45【分析】依据APa，BPb，点M是AB的中点，可得AMBM=a+b2，再根据S阴影S正方形APCD+S正方形BEFPSADMSBEM，即可得到图中阴影部
21、分的面积【解析】APa，BPb，点M是AB的中点，AMBM=a+b2，S阴影S正方形APCD+S正方形BEFPSADMSBEMa2+b2-12aa+b2-12ba+b2a2+b2-14（a+b）2（a+b）22ab-14（a+b）2100302545，故答案为45三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020碑林区校级二模）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DECF，AF，BE相交于点G，求证：BEAF【分析】先由正方形的性质得出判定BAE和ADF全等的条件，再判定BAEADF，然后由全等三角形的性质得出ABEDAF，从而可证得A
22、GB90，由垂直的定义可得结论【解析】四边形形ABCD是正方形，ABADDC，BADD90，又DECF，AEDF，在BAE和ADF中，BA=ADBAE=DAE=DF，BAEADF（SAS）ABEDAF，DAF+BAG90，ABE+BAG90，AGB90，BEAF20（2020雁塔区校级模拟）如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，DEAF，连接CE，DF交于点O，点G为CD中点，连接OG，求证：OG=12CD【分析】由“SAS”可证ADFDCE，由余角的性质可得DOC90，由直角三角形的性质可得OG=12CD【解答】证明：四边形ABCD是正方形，ADABCD，BADADC90，又
23、DEAF，ADFDCE（SAS），ADFDCE，ADF+CDF90，DCE+CDF90，DOC90，点G为CD中点，OG=12CD21（2020春新乡期末）如图，在四边形ABCD中，ABBC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N（1）求证：ADBCDB；（2）若ADC90时，四边形MPND是正方形，并说明理由【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明ABDCBD，由全等三角形的性质即可得到：ADBCDB；（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形【解答】证
24、明：（1）对角线BD平分ABC，ABDCBD，在ABD和CBD中，AB=BCABD=CBDBD=BD，ABDCBD（SAS），ADBCDB；（2）当ADC90时，四边形MPND是正方形，理由如下：PMAD，PNCD，PMDPND90，ADC90，四边形MPND是矩形，ADBCDB，ADB45，PMD90，MPDPDM45，PMMD，矩形MPND是正方形，故答案为：9022（2020春皇姑区期末）如图，在BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CACB，则ADCF为矩形（填矩形、菱形、正方形中的一个）【
25、分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可求出答案（2）根据矩形的判定方法即可求出答案【解析】（1）在平行四边形BCFD中，DEBC，E是DF的中点，DE=12BC，DE是ABC的中位线，E是AC的中点，四边形ADCF是平行四边形（2）CACB，DE是ABC的中位线，ADAE，E是AC的中点，AECE，AD=12AC，ADC90，ACD30，ADCF是矩形故答案为：矩形23（2020呼和浩特）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DEAG于点E，BFDE，且交AG于点F（1）求证：AFBFEF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不
26、可能，请说明理由【分析】（1）证明ABFDAE，从而得到AFDE，AEBF，可得结果；（2）若要四边形 是平行四边形，则DEBF，则BAF45，再证明BAF45即可【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，BAF+DAE90，DEAG，DAE+ADE90，ADEBAF，又BFDE，BFA90AED，ABFDAE（AAS），AFDE，AEBF，AFBFAFAEEF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DEBF，则当DEBF时，四边形BFDE为平行四边形，DEAF，BFAF，即此时BAF45，而点G不与B和C重合，BAF45，矛盾，四边形BFDE不能是平行四边形24
27、（2020春彭州市期末）如图，AD是ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE，DF（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；（2）若BAC60，AE6，求四边形AEDF的面积；（3）ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由【分析】（1）由BADCAD，AOAO，AOEAOF90证AEOAFO，推出EOFO，得出平行四边形AEDF，根据EFAD得出菱形AEDF；（2）根据菱形的性质和菱形的面积公式即可得到结论；（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得BAC90时，四边形AEDF是正方形【解析】（1）四边形AEDF是菱形，AD平分BAC，12，又EFAD，AOEAOF90在AEO和AFO中1=2AO=AOAOE=AOF，AEOAFO（ASA），EOFO，EF垂直平分AD，EF、AD相互平分，四边形AEDF是平行四边形又EFAD，平行四边形AEDF为菱形；（2）四边形AEDF为菱形，AEAF，BAC60，AEF是等边三角形，130，AO33，EFAE6，AD63，四边形AEDF的面积=12ADEF=12636183；（3）在ABC中，当BAC90时，四边形AEDF是正方形；BAC90，四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形） 第 23 页 / 共 23 页