1、第 1 页/共 48 页专题 1.3一元一次方程单元考点题型举一反三讲练【苏科版】【考点 1 一元一次方程的定义】【方法点拨】一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为 1，且未知数的系数不为 0【例 1】（2020 春巴州区校级期中）下列方程中：2x+46，x1=1，3x22x，5x7，3x2y2，x3，其中是一元一次方程的有（）A5 个B4 个C3 个D2 个【分析】利用一元一次方程定义进行解答即可【解答】解：2x+46 是一元一次方程；x1=1是分式方程；3x22x 不是方程，是代数式；5x7 是一元一次不等式；第 2 页/共 48 页3
2、x2y2 是二元一次方程；x3 是一元一次方程；一元一次方程共 2 个，故选：D【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为 1，且未知数的系数不为 0【变式 1-1】（2020 春蓬溪县期末）下列方程：yx7；2x2x6；23m5m；21=1；32=1，6x0，其中是一元一次方程的有（）A2 个B3 个C4 个D5 个【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【解答】解：一元一次方程有23m5m，32=1，6x0，共 3 个，故选：B【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解
3、此题的关键【变式 1-2】（2020 春贵阳月考）已知方程（m2）x|m|1+70 是关于 x 的一元一次方程，则 m 【分析】利用一元一次方程的定义得出关于 m 的方程，求出即可【解答】解：方程（m2）x|m|1+70 是关于 x 的一元一次方程，m20 且|m|11，解得 m2故答案为：2【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义以及绝对值的意义，正确列出关于 m 的方程是解题关键【变式 1-3】（2020 春唐河县期末）方程（a+2）x2+5xm323 是一元一次方程，则 a+m 【分析】根据一元一次方程的定义，分别得到关于 a 和关于 m 的一元一次方程，解之，代入 a+m，计算求值即可
4、【解答】解：根据题意得：a+20，解得：a2，m31，解得：m4，第 3 页/共 48 页a+m2+42，故答案为：2【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键【考点 2等式性质的应用】【方法点拨】等式的性质：等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.【例 2】（2019 秋无为县期末）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗
5、糖果，右盘放 10 克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（）A左盘上加 2 克砝码B右盘上加 2 克砝码C左盘上加 5 克砝码D右盘上加 5 克砝码【分析】根据第一个等式，可得 1 饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得 1 糖果的质量，1 饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案【解答】解：2 饼干3 糖果，1 饼干1.5 糖果，1 饼干+1 糖果10 砝码，把 1 饼干1.5 糖果代入，得1.5 糖果+1 糖果10 砝码，1 糖果4 砝码，1 饼干1.5 糖果1.546 砝码，4 砝码+2 砝码6 砝码，1 糖果+2 砝码1 饼干，故选
6、：A【点评】本题考查了等式的性质解题的关键是掌握等式的性质，先分别求出 1 饼干 1 糖果的质量，再根据等式的性质，可得答案【变式 2-1】（2019 秋新泰市期末）下列判断错误的是（）A如果 ab，那么 acdbcd第 4 页/共 48 页B如果 ab，那么2+1=2+1C如果 x3，那么 x23xD如果 axbx，那么 ab【分析】根据等式的性质一一判断即可【解答】解：A、如果 ab，那么 acdbcd，正确，故选项不符合题意；B、如果 ab，那么2+1=2+1，正确，故选项不符合题意；C、如果 x3，那么 x23x，正确，故选项不符合题意；D、当 x0 时，不一定成立，故选项符合题意；故
7、选：D【点评】本题考查等式的性质，记住：性质 1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质 2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式【变式 2-2】（2020 春射洪市期末）设，分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（）ABCD【分析】根据第一个天平可得 2+，根据第二个天平可得+，可得出答案【解答】解：根据图示可得：2+，+，由可得2，3，则+52+3故选：A【点评】本题考查了等式的性质，根据图示得出、的数量关系是解题的关键【变式 2-3】（2020永年区一模）设“、”分别表示三种不同的物体，如图（1），（
8、2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“”的个数为（）第 5 页/共 48 页A6 个B5 个C4 个D3 个【分析】首先根据图示可知，2+（1），+（2），据此判断出、与的关系，然后判断出结果【解答】解：根据图示可得，2+（1），+（2），由（1），（2）可得，2，3，+2+35，故选：B【点评】此题主要考查了等量代换问题，判断出、与的关系是解答此题的关键【考点 3一元一次方程的解】【方法点拨】一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。【例 3】（2020 春仁寿县期中）已知 x1 是方程(2)2+36=
9、43k 的解，则 k 的值是（）A4B 14C14D4【分析】把 x1 代入方程，即可得出一个关于 k 的一元一次方程，求解即可【解答】解：把 x1 代入方程得：12k+36=43k，去分母得：4k38k，解得：k=14故选：B【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，属于基础知识的考查，比较简单【变式 3-1】（2019 秋仁怀市期末）若 x1 是方程2mx+n10 的解，则 2019+n2m 的值为（）A2018B2019C2020D2019 或 2020【分析】把 x1 代入方程求出 2mn 的值，原式变形后代入计算即可求出值第 6 页/共 48 页【解答】解：把 x1 代入方
10、程得：2m+n10，整理得：2mn1，则原式2019+n2m2019（2mn）2019（1）2019+12020，故选：C【点评】此题考查了一元一次方程的解，利用了整体代入的思想，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值【变式 3-2】已知方程 3x32x 的解为 a+2，求关于 x 的方程 3x2（xa）3a 的解【分析】根据方程 3x32x 的解为 a+2，求出 a 的值，再把 a 的值代入方程 3x2（xa）3a，求解即可【解答】解：方程 3x32x 的解为 a+2，3（a+2）32（a+2），解得，a1，当 a1 时，方程 3x2（xa）3a 可变为 3x2（x1）3，解得 x1，
11、答：关于 x 的方程 3x2（xa）3a 的解为 x1【点评】本题考查一次方程（组）的应用，理解方程解的意义是正确解答的前提，代入是常用的方法【变式 3-3】（2020 春方城县期中）小明解方程265+1=+2 时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的 1 没有乘以 10，由此得到方程的解为 x1，试求 a 的值，并正确地求出原方程的解【分析】将错就错去分母，把 x1 代入计算求出 a 的值，把 a 的值代入方程计算，求出正确的解即可【解答】解：按方程左边的 1 没有乘以 10，去分母得：2（2x6）+15（x+a），把 x1 代入得：2（8）+15+5a，解得：a2，把 a2 代入原方程，得
12、265+1=22，去分母得：2（2x6）+105（x2），第 7 页/共 48 页去括号得：4x12+105x10，移项合并得：x8，解得：x8，答：a 的值是2，原方程的解为 x8【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值【考点 4解一元一次方程】【方法点拨】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 x=a 形式转化【例 4】（2020 春内乡县期中）解方程：（1）3（2x+5）2（4x+3）+1；（2）322+13=1【分析】（1）方程
13、去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解【解答】解：（1）去括号得：6x+158x+6+1，移项得：6x8x6+115，合并得：2x8，解得：x4；（2）去分母得：3（x3）2（2x+1）6，去括号得：3x94x26，移项得：3x4x6+9+2，合并得：x17，解得：x17【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键【变式 4-1】（2020 秋南岗区校级月考）解方程：（1）213+56=2x+1；（2）13x 12（x1）=23（x2）【分析】（1）方程去分母，去括号，移项
14、，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解第 8 页/共 48 页【解答】解：（1）去分母得：2（2x1）（x+5）12x+6，去括号得：4x2x512x+6，移项合并得：9x13，解得：x=139；（2）去括号得：13x 16（x1）=23（x2），去分母得：2x（x1）4（x2），去括号得：2xx+14x8，移项合并得：3x9，解得：x3【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键【变式 4-2】（2019 秋潍坊期末）解方程（1）（x4）(4)12=3(4)+23（2）0.20.40.
15、37+10.2=1【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解；（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解【解答】解：（1）去分母得：6（x4）3（x5）182（x2），去括号得：6x243x+15182x+4，移项合并得：5x31，解得：x6.2；（2）方程整理得：102437+10020=1，去分母得：50 x1037x10020，移项合并得：13x130，解得：x10【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式 4-3】（2019 秋嘉祥县期末）解方程：（1）15（3x1）2=110（3x+2）1
16、2（2x3）；（2）0.30.50.3+1.5=0.5+0.40.6第 9 页/共 48 页【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解；（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解【解答】解：（1）去分母得：2（3x1）20（3x+2）5（2x3），去括号得：6x2203x+210 x+15，移项合并得：13x39，解得：x3；（2）方程整理得：353+1.5=4+56，去分母得：6x10+94x+5，移项合并得：2x6，解得：x3【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键【考点 5同解方程】【方法点拨】如
17、果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值.【例 5】（2020 春太仓市期中）如果关于 x 的方程 4x2m3x+2 和 x2x3 的解相同，那么 m【分析】先求出方程 x2x3 的解，再把方程的解代入方程 4x2m3x+2 中，求出 m【解答】解：方程 x2x3 的解为 x3，方程 4x2m3x+2 和 x2x3 的解相同，方程 4x2m3x+2 的解为 x3，当 x3 时，122m9+2，解得 m=12故答案为：12【点评】本题考查了一元一次方程的解法及方程的同解的含义理解同解方程是解决本题的关键【变式 5-
18、1】（2019 秋路南区期中）已知，关于 x 的方程 2（x1）+3x 与 3（x+m）m1 有相同的解，则以 y 为未知数的方程12y 23y+m6y 的解为（）A5B6C5D6【分析】根据方程 1 可直接求出 x 的值，代入方程 2 可求出 m，把所求 m 和 x 代入方程 3，可得到关于 y的一元一次方程，解答即可第 10 页/共 48 页【解答】解：解方程 2（x1）+3x得：x1将 x1 代入 3（x+m）m1得：3（1+m）m1解得：m1将 m1 代入12y 23y+m6y，得12y 23y+16y解得 y6故选：B【点评】考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于 x 的方程，
19、根据同解的定义建立方程【变式 5-2】（2019 秋东湖区期末）已知关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和3+4158=1 有相同的解，求这个解【分析】根据题意分别用含 a 的式子表示出两个方程的解，再求出 a 的值，进而可得结果【解答】解：因为关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和3+4158=1 有相同的解，所以 3x2（x 3）4x 的解为：x=27，3+4158=1 的解为：x=9211，所以27=9211，解得 a=74，将 a=74代入第二个方程，2（3x+a）（15x）8，11x92a，11x92 74，解得 x=12【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先
20、求出 a 的值第 11 页/共 48 页【变式 5-3】（2019 秋开福区校级期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程例如：方程：2x6 与方程 4x12 的解都为 x3，所以它们为同解方程（1）若方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+53k 是同解方程，求 k 的值；（2）若关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和3+12158=1 是同解方程，求 k 的值；（3）若关于 x 的方程 2x3ab2 和 4x+a+b23 是同解方程，求 14a2+6ab2+8a+6b2 的值【分析】（1）根据方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+53k 是同解方程，即可求出 k 的值；（2）根
21、据方程 3x2（x 3）4x 和3+12158=1 是同解方程，用含 k 的式子表示 x，即可求 k的值；（3）根据方程 2x3ab2 和 4x+a+b23 是同解方程，利用整体思想将得出的 7a+3b23，代入到14a2+6ab2+8a+6b2 即可求值【解答】解：（1）方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+53k 是同解方程，2x311，解得 x7，把 x7 代入方程 4x+53k，解得 k11，所以 k 的值为 11；（2）方程 3x2（x 3）4x 和3+12158=1 是同解方程，3x2（x 3）4x 解得，x=27，3+12158=1 解得，x=121（272k），27=12
22、1（272k），解得 k=278；所以 k 的值为278；（3）方程 2x3ab2 和 4x+a+b23 是同解方程，2x3ab2 即 4x6a2b2，4x6a+2b2，4x+a+b23，6a+2b2+a+b23，即 7a+3b23，第 12 页/共 48 页14a2+6ab2+8a+6b22a（7a+3b2）+7a+3b2+a+3b26a+3+a+3b27a+3b2+33+36所以 14a2+6ab2+8a+6b2 的值为 6【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是理解题意进行准确计算【考点 6解含绝对值的一元一次方程】【例 6】（2020 春南召县月考）若关于 x 的方程 x+22（m
23、x）的解满足方程|x 12|1，则 m 的值是（）A14或134B14C54D 12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解【解答】解：因为方程|x 12|1，所以 x 12=1，解得 x=32或 x=12，因为关于 x 的方程 x+22（mx）的解满足方程|x 12|1，所以解方程 x+22（mx）得，m=3+22，当 x=32时，m=134，当 x=12时，m=14所以 m 的值为：134 或14故选：A【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元
24、一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论【变式 6-1】（2019 秋孝南区期末）根据绝对值定义，若有|x|4，则 x4 或4，若|y|a，则 ya，第 13 页/共 48 页我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|5解：方程|2x+4|5 可化为：2x+45 或 2x+45当 2x+45 时，则有：2x1，所从 x=12当 2x+45 时，则有：2x9；所以 x=92故，方程|2x+4|5 的解为 x=12或 x=92（1）解方程：|3x2|4；（2）已知|a+b+4|16，求|a+b|的值；（3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数，则 ab
25、 的最大值是 （直接写结果，不需要过程）【分析】（1）解方程：|3x2|4；（2）已知|a+b+4|16，求|a+b|的值；（3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数，则 ab 的最大值是【解答】解：（1）解方程：|3x2|43x24 或 3x24解得 x2 或 x=23，故方程|3x2|4 的解为 x2，x=23；（2）已知|a+b+4|16，a+b+416 或 a+b+416解得 a+b12 或 a+b20所以|a+b|12 或 20，答：|a+b|的值为 12 或 20；（3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数，a+b12 或 a+b20，根据有理数乘法法则可知：当 a10，b10
26、 时，ab 取得最大值，最大值为 100答：ab 的最大值是 100第 14 页/共 48 页故答案为 100【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义【变式 6-2】（2020 春襄汾县期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）例：解绝对值方程：|2x|1解：讨论：当 x0 时，原方程可化为 2x1，它的解是 x=12当 x0 时，原方程可化为2x1，它的解是 x=12原方程的解为 x=12和 12问题（1）：依例题的解法，方程|12x|2 的解是 ；问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x2|6；问题（3）：在理解绝对值方程解法
27、的基础上，解方程：|x2|+|x1|5【分析】（1）分为两种情况：当 x0 时，当 x0 时，去掉绝对值符号后求出即可（2）分为两种情况：当 x20 时，当 x20 时，去掉绝对值符号后求出即可（3）分为三种情况：当 x20，即 x2 时，当 x10，即 x1 时，当 1x2 时，去掉绝对值符号后求出即可【解答】解：（1）|12x|2，当 x0 时，原方程可化为12x2，它的解是 x4；当 x0 时，原方程可化为 12x2，它的解是 x4；原方程的解为 x4 和4，故答案为：x4 和4（2）2|x2|6，当 x20 时，原方程可化为 2（x2）6，它的解是 x5；当 x20 时，原方程可化为2
28、（x2）6，它的解是 x1；原方程的解为 x5 和1（3）|x2|+|x1|5，当 x20，即 x2 时，原方程可化为 x2+x15，它的解是 x4；当 x10，即 x1 时，原方程可化为 2x+1x5，它的解是 x1；当 1x2 时，原方程可化为 2x+x15，此时方程无解；第 15 页/共 48 页原方程的解为 x4 和1【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想【变式 6-3】（2020 春重庆期末）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离；即|x|x0|；这个结论可以推广为|x1x2|表示在数轴上数
29、x1，x2 对应点之间的距离绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例 1：解方程|x|4容易得出，在数轴上与原点距离为 4 的点对应的数为4，即该方程的 x4；例 2：解方程|x+1|+|x2|5由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与1 和 2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值在数轴上，1 和 2 的距离为 3，满足方程的 x 对应的点在 2 的右边或在1 的左边若 x 对应的点在 2 的右边，如图 1 可以看出 x3；同理，若 x 对应点在1 的左边，可得 x2所以原方程的解是 x3 或 x2例 3：解不等式|x1|3在数轴上找出|x1|3 的解，即到 1 的距离为 3 的点
30、对应的数为2，4，如图 2，在2 的左边或在 4的右边的 x 值就满足|x1|3，所以|x1|3 的解为 x2 或 x4参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|5 的解为 ；（2）方程|x2017|+|x+1|2020 的解为 ；（3）若|x+4|+|x3|11，求 x 的取值范围【分析】（1）根据例 1 的方法，求出方程的解即可；（2）根据例 2 的方法，求出方程的解即可；（3）根据例 3 的方法，求出 x 的范围即可【解答】解：（1）方程|x+3|5 的解为 x2 或 x8；故答案为：x2 或 x8；（2）方程|x2017|+|x+1|2020 的解为 x2 或 x2018；第 1
31、6 页/共 48 页故答案为：x2 或 x2018；（3）|x+4|+|x3|表示的几何意义是在数轴上分别与4 和 3 的点的距离之和，而4 与 3 之间的距离为 7，当 x 在4 和 3 时之间，不存在 x，使|x+4|+|x3|11 成立，当 x 在 3 的右边时，如图所示，易知当 x5 时，满足|x+4|+|x3|11，当 x 在4 的左边时，如图所示，易知当 x6 时，满足|x+4|+|x3|11，所以 x 的取值范围是 x5 或 x6【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键【考点 7与一元一次方程有关的新定义问题】【例 7】（2019 秋抚州期末）我们规定，若
32、关于 x 的一元一次方程 axb 的解为 xba，则称该方程为“差解方程”例如：2x4 的解为 x2，且 242，则该方程 2x4 是差解方程（1）判断：方程 3x4.5 差解方程（填“是”或“不是”）（2）若关于 x 的一元一次方程 4xm+3 是差解方程，求 m 的值【分析】（1）检验方程的解是否是常数项与未知数的之差，进而进行判断便可；（2）先解含已知字母方程得出方程的解，再根据差解方程的定义列出关于 m 的方程，进行解答便可【解答】解：（1）方程 3x4.5 的解为 x1.54.53，方程 3x4.5 是差解方程，故答案为：是；（2）方程 4xm+3 的解是 x=+34，又方程 4xm
33、+3 是差解方程，+34=m+34，m=73【点评】本题是一个新定义题，主要考查了新定义，一元一次方程的解法与应用，关键是根据新定义，把题目转化为常规题进行解答【变式 7-1】（2020 春长春期末）我们规定，若关于 x 的一元一次方程 axb 的解为 a+b，则称该方程为“合并式方程”，例如：3x=92的解为 32，且 32=3 92，则该方程 3x=92是合并式方程第 17 页/共 48 页（1）判断12x1 是否是合并式方程并说明理由；（2）若关于 x 的一元一次方程 5xm+1 是合并式方程，求 m 的值【分析】（1）求出方程的解，再根据合并式方程的意义得出即可；（2）根据合并式方程得
34、出关于 m 的方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）12x1，x2，12+12，12x1 不是合并式方程；（2）关于 x 的一元一次方程 5xm+1 是合并式方程，5+m+1=+15，解得：m=294 故 m 的值为 294【点评】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解合并式方程的意义是解此题的关键【变式 7-2】（2019 秋新昌县期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程例如：方程 2x+40 中，242，方程的解为 x2，则方程 2x+40 为妙解方程请根据上述定义解答下列问题：（1）方程 2x+30 是妙解方程吗？试说明理由（
35、2）已知关于 x 的一元一次方程 3x+m0 是妙解方程求 m 的值（3）已知关于 x 的一元一次方程 2x+ab0 是妙解方程，并且它的解是 xb求代数式 ab 的值【分析】（1）根据题中的新定义判断即可；（2）利用题中的新定义确定出 m 的值即可；（3）根据题中的新定义确定出 a 与 b 的值，即可求出所求【解答】解：（1）方程 2x+30 中，一次项系数与常数项的差为：231，方程的解为 x1.5，11.5，方程 2x+30 不是妙解方程；第 18 页/共 48 页（2）3x+m0 是妙解方程，它的解是 x3m，3（3m）+m0，解得：m4.5；（3）2x+ab0 是妙解方程，它的解是
36、x2（ab），2（ab）b，解得：a2，代入方程得：2b+2b0，得 b2ab4【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键【变式 7-3】（2020 秋如东县期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”如方程 2x4 和 3x+60 为“兄弟方程”（1）若关于 x 的方程 5x+m0 与方程 2x4x+1 是“兄弟方程”，求 m 的值；（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为 8，其中一个解为 n，求 n 的值；（3）若关于 x 的方程 2x+3m20 和 3x5m+40 是“兄弟方程”，求这两个方程的解【分析】（1）根据新定义运算法则
37、解答；（2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：n（n）8 或nn8，解方程即可；（3）求得方程 2x+3m20 和 3x5m+40 解，然后由“兄弟方程”的定义解答【解答】解：（1）方程 2x4x+1 的解为 x5，将 x5 代入方程 5x+m0 得 m25；（2）另一解为n则 n（n）8 或nn8，n4 或 n4；（3）方程 2x+3m20 的解为=3+22，方程 3x5m+40 的解为=543，第 19 页/共 48 页则3+22+543=0，解得 m2所以，两解分别为2 和 2【点评】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义【考点 8一元一次方程的应用（数字问
38、题）】【例 8】（2020 秋大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小 27，求这个两位数【分析】设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 2x，原两位数为（102x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10 x+2x），根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大 27，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，再将其代入（102x+x）中即可求出结论【解答】解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 2x，原两位数为（102x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10 x+2x），依
39、题意，得：（102x+x）（10 x+2x）27，解得：x3，2x6，102x+x63答：这个两位数为 63【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式 8-1】（2020 秋福田区期末）一个三位数，十位数字是 0，个位数字是百位数字的 2 倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的 2 倍少9，设原三位数的百位数字是 x：（1）原三位数可表示为 ，新三位数可表示为 ；（2）列方程求解原三位数【分析】（1）设原三位数的百位数字是 x，则个位数字是 2x，根据三位数百位上的数字100+十位上的数字
40、10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是 x，百位数字是2x，进而表示出新三位数；（2）根据新的三位数比原三位数的 2 倍少 9 列出方程，求解即可【解答】解：（1）设原三位数的百位数字是 x，则个位数字是 2x，又十位数字是 0，第 20 页/共 48 页原三位数可表示为 100 x+2x102x新的三位数的个位数字是 x，百位数字是 2x，十位数字是 0，新三位数可表示为 1002x+x201x故答案为 102x，201x；（2）由题意，得 201x2102x9，解得 x3则 1023306答：原三位数为 306【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式
41、，掌握三位数的表示方法是解题的关键【变式 8-2】（2019 秋崇川区校级期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：（1）它的千位数字为 2；（2）把千位上的数字 2 向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的 2 倍少 1478，求小明的考场座位号【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决【解答】解：设原来数字为 x，2x1478（x2000）10+2解得，x2315答：小明的考场号是 2315【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程【变
42、式 8-3】一个五位数，左边三位数是右边两位数的 5 倍，如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比原五位数的 2 倍多 75，求原来的五位数（用方程解）【分析】可设右边两位数是 x，则左边三位数是 5x，根据等量关系：如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比原五位数的 2 倍多 75，列出方程求解即可【解答】解：设右边两位数是 x，则左边三位数是 5x，依题意有1000 x+5x2（500 x+x）+75，解得 x25，第 21 页/共 48 页5x125，故原来的五位数是 12525【点评】考查了一元一次方程的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把右边二位数移到前面，相当于把两位数扩大了 10
43、00 倍【考点 9一元一次方程的应用（年龄问题）】【例 9】（2019 秋余杭区期末）今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄比儿子年龄的 4 倍还大 1 岁，设今年儿子 x 岁，则可列方程为（）A4x+1+53（x+5）B3x54（x5）+1C3x+54（x+5）+1D4x53（x5）+1【分析】设今年儿子 x 岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解【解答】解：设今年儿子 x 岁，依题意，得：3x54（x5）+1故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式 9-1】（2019 秋咸
44、丰县期末）爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右 4 个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”那么小莉的爷爷的生日是在（）A16 号B18 号C20 号D22 号【分析】要求小莉的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右 4 个日期”的排布方法依此列方程求解【解答】解：设那一天是 x，则左日期x1，右日期x+1，上日期x7，下日期x+7，依题意得 x1+x+1+x7+x+780解得：x20故选：C【点评】此题关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依此列方程【变式 9-2】（2020 春蓬溪县期末）今年小李的年龄
45、是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12 年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一求小李爷爷今年的年龄【分析】设爷爷今年的年龄是 x 岁，则今年小李的年龄是15x 岁，根据 12 年之后小李的年龄变成爷爷的年龄三分之一，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论第 22 页/共 48 页【解答】解：设爷爷今年的年龄是 x 岁，则今年小李的年龄是15x 岁，依题意，得：15x+12=13（x+12），解得：x60答：爷爷今年 60 岁【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式 9-3】（2019 秋延边州期末）古希腊数学家丢番图（公元 34 世
46、纪）的墓碑上记栽着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了”根据以上信息，请你算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄【分析】设丢番图的寿命为 x 岁，则根据题中的描述他的年龄=16x 的童年+生命的112x+17x+5 年+儿子的年龄+4 年，可列出方程，即可求解【解答】解：设丢番图的寿命为 x 岁，由题意得：16x+112x+17x+5+12x+4x，解得
47、：x84，而16 84+112 84+17 84+538，即他 38 岁时有了儿子他儿子活了12x42 岁84480 岁答：丢番图的寿命是 84 岁；丢番图开始当爸爸时的年龄是 38；儿子死时丢番图的年龄是 80 岁【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解【考点 10一元一次方程的应用（折扣问题）】【例 10】（2020 春惠安县期末）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该书的进价为24 元，则标价为（）A30 元B31 元C32 元D33 元第 23 页/共 48 页【分析】
48、设这本新书的标价为 x 元，根据利润售价进价，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设这本新书的标价为 x 元，依题意得：0.8x242410%，解得：x33故选：D【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式 10-1】（2019 秋越秀区期末）某商店以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%，那么商店卖出这两件衣服总的是（）A亏损 10 元B不赢不亏C亏损 16 元D盈利 10元【分析】设盈利的衣服的进价为 x 元，亏损的衣服的进价为 y 元，根据利润售价进价，即可得出关于 x（y）的
49、一元一次方程，解之即可得出 x（y）的值，再将两件衣服的利润相加即可得出结论【解答】解：设盈利的衣服的进价为 x 元，亏损的衣服的进价为 y 元，依题意，得：120 x20%x，120y20%y，解得：x100，y150，120 x+120y10故选：A【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式 10-2】（2020毕节市）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损 25 元，而按原售价的九折出售，将盈利 20 元，则该商品的原售价为（）A230 元B250 元C270 元D300 元【分析】设该商品的原售价为 x 元，
50、根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设该商品的原售价为 x 元，根据题意得：75%x+2590%x20，解得：x300，则该商品的原售价为 300 元故选：D【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键【变式 10-3】（2019 秋沈北新区期末）甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲第 24 页/共 48 页服装按 50%的利润定价，乙服装按 40%的利润率定价在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店老板共获利 157 元甲、乙两件服装的成本各为多少元？【分析】设甲服装的成本是 x 元，则乙服装的成
51、本是（500 x）元，根据“甲、乙两件服装共获利 157元”，列方程解决问题【解答】解：设甲服装的成本是 x 元，则乙服装的成本是（500 x）元，依题意有0.9（1+50%）x+0.9（1+40%）（500 x）500157，解得 x300，500 x200答：甲服装的成本为 300 元，乙服装的成本为 200 元【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解【考点 11一元一次方程的应用（利润问题）】【例 11】（2019 秋雨花区校级期末）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共 1000 只，这两种节能灯的进价、售价如
52、下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为 37000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？【分析】（1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1000 x）只，根据甲乙两种灯的总进价为 37000 元列出一元一次方程，解方程即可；（2）设乙型节能灯需打 a 折，根据利润售价进价列出 a 的一元一次方程，求出 a 的值即可【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1000 x）只，由题意，得
53、 25x+45（1000 x）37000解得：x400购进乙型节能灯 1000 x1000400600（只）答：购进甲型节能灯 400 只，购进乙型节能灯 600 只进货款恰好为 37000 元第 25 页/共 48 页（2）设乙型节能灯需打 a 折，0.160a454520%，解得 a9，答：乙型节能灯需打 9 折【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程【变式 11-1】（2019 秋武汉期末）武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价 500 元，售价800 元；乙种服装商品每件售价 1200 元，可盈利 50%（1）每
54、件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共 40 件，恰好总进价用去 27500 元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满 1000 元减 500 元的优惠”（比如：某顾客购物 1200 元，他只需付款 700 元）到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满 1000 元减 500 元”的活动张先生买了一件标价为 3200 元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了 20 元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？【分析】（1）根据利润率=利润进价 100%可求出每件甲种服装利润率，由乙种服
55、装商品每件售价 1200元和盈利 50%可求出进价；（2）求出甲、乙两种服装各进的件数，则可求出答案；（3）设打了 y 折，由题意可列出方程，则可得出答案【解答】解：（1）甲种服装每件进价 500 元，售价 800 元，每件甲种服装利润率为800500500 100%=60%乙种服装商品每件售价 1200 元，可盈利 50%乙种服装每件进价为12001+50%=800（元），故答案为：60%，800；（2）设甲种服装进了 x 件，则乙种服装进了（40 x）件，由题意得，500 x+800（40 x）27500，解得：x15商场销售完这批服装，共盈利 15（800500）+25（1200800）
56、14500（元）第 26 页/共 48 页答：商场销售完这批服装，共盈利 14500 元（3）设打了 y 折之后再参加活动3200 10 2 500=32003500+20解得：y8.53200 10 500=3200 3 500+20，解得 y8（不合题意，舍去）3200 10=3200 3 500+20，解得 y5.9（不合题意，舍去）答：先打八五折再参加活动【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解【变式 11-2】（2019 秋温岭市期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价 98 元，利润率为 4
57、0%；乙种商品每件进价 80 元，售价 128 元（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共 50 件，恰好总进价为 3800 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）在“元旦“期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于 480 元不优惠超过 480 元，但不超过 680 元其中 480 元不打折，超过 480 元的部分给予 6 折优惠超过 680 元按购物总额给予 7.5 折优惠若小华一次性购买乙种商品实际付款 576 元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？【分析】（1）根据商品利润率
58、=商品出售价商品成本价商品成本价100%，可求每件乙种商品利润率，甲种商品每件进价；（2）首先设出购进甲商品的件数，然后根据“同时购进甲、乙两种商品共 50 件”表示出购进乙商品的件数；然后根据“恰好用去 3800 元”列方程求出未知数的值，即可得解；（3）分类讨论：小华一次性购买乙种商品超过 480 元，但不超过 680 元；超过 680 元，根据优惠条件分第 27 页/共 48 页别计算【解答】解：（1）设甲种商品的进价为 a 元，则98a40%a解得 a70即甲种商品每件进价为 70 元，1288080100%60%，即每件乙种商品利润率为 60%故答案是：70；60%；（2）设该商场购
59、进甲种商品 x 件，根据题意可得：70 x+80（50 x）3800，解得：x20；乙种商品：502030（件）答：该商场购进甲种商品 20 件，乙种商品 30 件（3）设小华在该商场购买乙种商品 b 件，根据题意，得当过 480 元，但不超过 680 元时，480+（128b480）0.6576解得 b5当超过 680 元时，128b0.75576解得 b6答：小华在该商场购买乙种商品 5 或 6 件【点评】考查了一元一次方程的应用，在解析的过程中应该知道商品数为整数，有时有几个答案，应该注意，不要遗漏【变式 11-3】（2019 秋海州区校级期末）某超市第一次用 3600 元购进了甲、乙两
60、种商品，其中甲种商品80 件，乙种商品 120 件已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵 5 元甲种商品售价为 20 元/件，乙种商品售价为 30 元/件（注：获利售价进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？第 28 页/共 48 页（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少 3 元；甲种商品按原售价提价 a%销售，乙种商品按原售价降价 a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多 260 元，那么 a 的值是多少？【分析】
61、（1）设该超市第一次购进甲种商品每件 x 元，乙种商品每件（x+5）元根据总进价 3600 元列出方程即可解决问题（2）求出甲、乙两种商品的利润和即可（3）根据第二次的利润 1600+2601860 元，列出方程即可【解答】解：（1）设该超市第一次购进甲种商品每件 x 元，乙种商品每件（x+5）元由题意得 80 x+120（x+5）3600，解得 x15，x+515+520答：该超市第一次购进甲种商品每件 15 元，乙种商品每件 20 元（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润80（2015）+120（3020）1600 元答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部
62、销售完后一共可获得 1600 元的利润（3）由题意 8020（1+a%）15+12030（1a%）（203）1600+260，解得 a5答：a 的值是 5【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间 的关系，属于中考常考题型【考点 12一元一次方程的应用（工程问题）】【例 12】（2019 秋福田区校级期末）一项工程，甲单独做 5 天完成，乙单独做 8 天完成若甲先做 1 天，然后甲、乙合作完成此项工作的34若设甲一共做了 x 天，则所列方程为（）A5+18=34B5+18=34C5+18=34D5 18=34【分析】设甲一共做了 x 天，则乙一共做了
63、（x1）天，然后再根据甲的工作效率甲的工作时间+乙的工作效率乙的工作时间=34，根据等量关系列出方程即可第 29 页/共 48 页【解答】解：设甲一共做了 x 天，由题意得：5+18=34，故选：B【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系【变式 12-1】（2019 秋白云区期末）一件工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 8 天完成，现先由甲、乙合作 2 天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（）天才能完成该工程A634B713C6D7【分析】首先设甲还需 x 天完成全部工程，根据题意可得等量关系：甲乙合作 2 天的工作
64、量+甲 x 天的工作量总工作量 1，根据等量关系列出方程，再解即可【解答】解：设甲还需要 x 天才能完成该工程，（112+18）2+112x1解得：x7，故选：D【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程【变式 12-2】（2020 春金山区期中）某街道 1000 米的路面下雨时经常严重积水需改建排水系统市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：方案一：甲、乙两队合作施工，那么 12 天可以完成；方案二：如果甲队先做 10 天，剩下的工程由乙队单独施工，还需 15 天才能完成（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天
65、？（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？【分析】（1）设甲队每天施工 x 米，则乙队每天施工10001015米，根据甲、乙两队合作 12 天共施工1000 米，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，再利用工作时间工作总量工作效率即可求出结论；（2）根据工作总量工作效率工作时间，即可求出结论【解答】解：（1）设甲队每天施工 x 米，则乙队每天施工10001015米，第 30 页/共 48 页依题意，得：12x+12 10001015=1000，解得：x50，10001015=1003，10005020（天），1000 1003=30（天）答：甲队单独完成此项工程需要
66、20 天，则乙队单独完成此项工程需要 30 天（2）5012600（米），100312400（米）答：方案一中，甲队实际施工了 600 米，乙队实际施工了 400 米【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出两队实际各施工的米数【变式 12-3】（2020 秋南岗区校级月考）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷 160 个房间，乙工程队每天能粉刷 240 个房间且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用 20 天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每
67、天费用 1600元，付乙工程队每天费用 2600 元（1）求这个小区共有多少间房间？（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高 25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的 2 倍还多 4 天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）问方式完成：请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案【分析】（1）设乙工程队要刷 x 天，根据题意房间数量列出方程，再解即可；（2）设甲工程队的工作时间
68、为 y 天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，根据两队共粉刷 9600 间房间列出方程，再解即可；（3）分别计算出三种方案的花费和时间，然后进行比较即可【解答】解：（1）设乙工程队要刷 x 天，由题意得：240 x160（x+20），第 31 页/共 48 页解得：x40，240409600（间），答：这个小区共有 9600 间房间；（2）设甲工程队的工作时间为 y 天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，由题意得：160y+240y+240（1+25%）（2y+4y）9600，解得：y12，2y+4212+428（天），答：乙工程队共粉刷 28 天；（3）方案一：由甲工程队单独完成，时间：
69、40+2060（天），60160096000（元）；方案二：由乙工程队单独完成需要 40 天，费用：402600104000（元）；方案三：按（2）问方式完成，时间：28 天，费用：12（1600+2600）+（2812）260092000（元），284060，且 9200096000104000，方案三最合适，答：选择方案三既省时又省钱的粉刷方案【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程【考点 13一元一次方程的应用（行程问题）】【例 13】（2019 春西湖区校级月考）甲、乙两人骑自行车分别从相距 36km 的两地匀速同向而行，
70、如果甲比乙先出发半小时，那么他们在乙出发后经 3 小时甲追上乙；如果乙比甲先出发 1 小时，那么他们在甲出发后经 5 小时甲才能追上乙请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？【分析】设甲骑自行车每小时行 x 千米，则乙骑自行车每小时行（76x12）千米，根据路程速度时间，即可得出关于 x 的一元一次方程组，解之即可得出结论第 32 页/共 48 页【解答】解：设甲骑自行车每小时行 x 千米，乙骑自行车每小时行（76x12）千米，依题意得：5x（5+1）（76x12）36，解得：x18，76x1221129答：甲骑自行车每小时行 18 千米，乙骑自行车每小时行 9 千米【点评】本题考查了一元
71、一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键【变式 13-1】（2019 秋朝阳区校级月考）A、B 两地相距 1000 千米，甲列车从 A 地开往 B 地；2 小时后，乙列车从 B 地开往 A 地，经过 4 小时与甲列车相遇已知甲列车比乙列车每小时多行 50 千米甲列车每小时行多少千米？【分析】本题可列方程解答，设甲车每小时行 x 千米，则乙车每小时行（x50）千米根据总行程是 1000千米列出方程 4（x50+x）+2x1000解此方程即可【解答】解：设甲列车每小时行 x 千米，可得：4（x50+x）+2x10004x200+4x+2x1000，10 x1200，x12
72、0答：甲车每小时行 120 千米【点评】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答【变式 13-2】（2019 秋兴化市月考）A、B 两地相距 480km，C 地在 A、B 两地之间一辆轿车以 100km/h的速度从 A 地出发匀速行驶，前往 B 地同时，一辆货车以 80km/h 的速度从 B 地岀发，匀速行驶，前往 A 地（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；（2）当两车相距 120km 时，求轿车行驶的时间；（3）若轿车到达 B 地后，立刻以 120km/h 的速度原路返回，再次经过 C 地，两次经过 C 地的时间间隔为 2.2h，求 C 地距离 A 地路程【分析】
73、（1）可设两车相遇时，轿车行驶的时间为 t 小时，当两车相遇时，两车行驶路程之和为 480km，列一元一次方程即可；（2）可设两车相距 120km 时，轿车行驶的时间 x 小时，分类讨论：相遇前和相遇后两车相距 120km，列第 33 页/共 48 页一元一次方程即可；（3）可设 C 地距离 B 地路程为 ykm，根据两次经过 C 地的时间间隔为 2.2h 列一元一次方程即可，再用总路程减去 CB 即可【解答】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为 t 小时，由题意可得100t+80t480解得 t=83答：两车相遇时，轿车行驶的时间为83小时（2）设两车相距 120km 时，轿车行驶的时间
74、 x 小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况相遇前两车相距 120km 时，有 100t+80t480120解得 t2相遇后两车相距 120km 时，有 100t+80t480+120解得 t=103答：当轿车行驶 2 小时或103 小时，两车相距 120km（3）设 C 地距离 B 地路程为 ykm，由题意可得100+120=2.2解得 y120，即 C 地距离 B 地路程为 120km而 A、B 两地相距 480km，所以 AC480120360（km）答：A、C 两地的路程为 360km【点评】本题考查了一元一次方程的应用中的行程问题，根据等量关系正确列出一元一次方程是解决问题的关键【
75、变式 13-3】（2019 春西湖区校级月考）甲、乙两汽车从 A 市出发，丙汽车从 B 市出发，甲车每小时行驶 40 千米，乙车每小时行驶 45 千米，丙车每小时行驶 50 千米如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后 10 分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距 15 千米？【分析】设 t 小时后乙、丙两汽车相遇，则甲、丙所行驶的路程乙、丙所行驶的路程通过方程求得 A、第 34 页/共 48 页B 两市的距离，然后分两种情况解答：相遇前、后相距 15 千米【解答】解：设 t 小时后乙、丙两汽车相遇，则（50+45）t（40+50）（t+16），解得 t3故（50+45）t953285（千米）即
76、：A、B 两市的距离是 285 千米设 x 小时甲、丙两车相距 15 千米当甲、丙两车相遇前相距 15 千米，由题意，得（40+50）x28515解得 x3当甲、丙两车相遇后相距 15 千米，由题意，得（40+50）x285+15解得 x=103 综上所述，3 或103 小时后，甲丙两车相距 15 千米【点评】本题考查了一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解【考点 14一元一次方程的应用（面积问题）】【例 14】（2019 秋天津期末）如图，宽为 50cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）cm
77、2A400B500C300D750【分析】根据已知图形表示出长与宽，再利用小长方形的长+小长方形宽的 4 倍小长方形长的 2 倍，进而得出等式求出边长，即可得出其面积【解答】解：设小长方形的长为 xcm，则宽为（50 x）cm，根据题意可得：2xx+4（50 x），解得：x40，第 35 页/共 48 页故 50 x10（cm）则一个小长方形的面积为：1040400（cm2）故选：A【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合大长方形得出等量关系是解题关键【变式 14-1】（2019 秋东阳市期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图 1）按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面
78、为长方形（一边长为 4）的盒子底部（如图 2、图 3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示已知阴影部分均为长方形，且图 2 与图 3 阴影部分周长之比为 5：6，则盒子底部长方形的面积为 【分析】设小长方形卡片的长为 2m，则宽为 m，观察图 2 可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可求出 m 的值，设盒子底部长方形的另一边长为 x，根据长方形的周长公式结合图 2 与图 3 阴影部分周长之比为 5：6，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面积【解答】解：设小长方形卡片的长为 2m，则宽为 m，依题意，得：2m+2m4，解得
79、：m1，2m2再设盒子底部长方形的另一边长为 x，依题意，得：2（4+x2）：22（2+x2）5：6，整理，得：10 x12+6x，解得：x3，盒子底部长方形的面积4312故答案为：12【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式 14-2】（2019 秋鄂城区期末）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中 GHGK2cm，DC10cm，则长方形 ABCD 的面积为 cm2第 36 页/共 48 页【分析】设 BFxcm，知 CMBF+GHx+2（cm），AE3x+2，AF3x+2，DEDM3x，由 DC+MCDC
80、10 可得关于 x 的方程，解之求得 x 的值，从而表示出 AD 的长度，根据长方形的面积公式计算可得答案【解答】解：设 BFxcm，则 CMBF+GHx+2（cm），AE3x+2，AF3x+2，故 DEDMx+223x；DC+MCDC，DC10，3x+x+210，解得 x2则 ADAE+DE3x+2+3x6x+214（cm），长方形 ABCD 的面积为 1410140（cm2），故答案为：140【点评】此题考查了一元一次方程的应用，主要是能够用不同的方法表示同一个长方形的宽，注意各个正方形的边长之间的数量关系【变式 14-3】（2019 秋沙坪坝区校级期末）重庆市第八中学校为给学生营造良好舒
81、适的休息环境，决定改造校园内的一小花园，如图是该花园的平面示意图，它是由 6 个正方形拼成的长方形用以种植六种不同的植物，已知中间最小的正方形 A 的边长是 2 米，正方形 C、D 边长相等请根据图形特点求出该花园的总面积【分析】设图中最大正方形 B 的边长是 x 米，根据图形中个正方形边与边的关系结合最小的正方形的边第 37 页/共 48 页长是 2 米，即可找出正方形 F、E 和 C 的边长；根据正方形的性质即可得出 MQPN，由此即可得出关于 x 的一元一次方程，通过解方程求得正方形 B 的边长，进而求得矩形 PQMN 的边长，然后由矩形面积公式解答【解答】解：设图中最大正方形 B 的边
82、长是 x 米，最小的正方形的边长是 2 米，正方形 F 的边长为（x2）米，正方形 E 的边长为（x4）米，正方形 C 的边长为+22 米MQPN，x2+x4x+22 米，解得：x14则 QM12+1022（米），PQ12+1426（米）故该花园的总面积2226572（平方米）答：该花园的总面积是 572 平方米【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据图形中个正方形边与边之间的关系列出代数式，根据长方形的性质列出关于 x 的一元一次方程【考点 15一元一次方程的应用（方案问题）】【例 15】（2019 秋岐山县期末）2016 年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景
83、区游玩甲、乙两单位共 102 人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够 100 人经了解，该风景区的门票价格如下表：数量（张）15051100101 张及以上单价（元/张）60 元50 元40 元如果两单位分别单独购买门票，一共应付 5500 元（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？第 38 页/共 48 页（3）如果甲单位有 12 名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？【分析】（1）运用分别购票的费用和联合购票的费用就可以得出结论；（2）设
84、甲单位有退休职工 x 人，则乙单位有退休职工（102x）人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付 5500 元”建立方程求出其解即可；（3）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买 101 张门票分别求出三种方案的付费，比较即可【解答】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需 401024080（元），则比各自购买门票共可以节省：550040801420（元）；（2）设甲单位有退休职工 x 人，则乙单位有退休职工（102x）人依题意得：50 x+60（102x）5500，解得：x62则乙单位人数为：102x40答：甲单位有 62 人，乙单位有 40 人
85、；（3）方案一：各自购买门票需 5060+40605400（元）；方案二：联合购买门票需（50+40）504500（元）；方案三：联合购买 101 张门票需 101404040（元）；综上所述：因为 540045004040故应该甲乙两单位联合起来选择按 40 元一次购买 101 张门票最省钱【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用，解答时建立方程求出各单位人数是关键【变式 15-1】（2019 秋当涂县期末）当涂大青山有较为丰富的毛竹资源某企业已收购毛竹 110 吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利 100 元；
86、如果对毛竹进行粗加工，每天可加工 8 吨，每吨可获利 1000 元；如果进行精加工，每天可加工 1.5 吨，每吨可获利 5000 元，由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30 天）内将这批毛竹全部销售为此研究了两种方案：（1）方案一：将收购毛竹全部粗加工后销售，则可获利 元；方案二：30 天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元第 39 页/共 48 页（2）是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在 30 天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由【分析】（1）方案一：由已知将毛竹全部粗加工后销售
87、，即获利为：1000110 元方案二：30 天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：1.5305000+（1101.530）100（元）（2）由已知分析存在第三种方案，可设粗加工 x 天，则精加工（30 x）天，则得方程 8x+1.5（30 x）110，解方程求出粗加工、精加工的天数，从求出销售后所获利润【解答】解：（1）方案一：由已知得：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：1000110110000（元）故可获利 110000 元；方案二：30 天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：1.5305000+（1101.530）1002
88、31500（元）故可获利 231500 元（2）由已知分析存在第三种方案设粗加工 x 天，则精加工（30 x）天，依题意得：8x+1.5（30 x）110，解得：x10，30 x20，所以销售后所获利润为：1000108+5000201.5230000（元）故销售后所获利润为 230000 元故答案为：110000；290000【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是依题意求方案一、方案二的利润，由将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在 30 天内完成可设粗加工 x 天，则精加工（30 x）天列方程求解【变式 15-2】（2019 春海阳市期中）某市组织学术研讨会，需租用客车
89、接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有 45 座和 60 座两种型号的客车可供租用（1）已知 60 座的客车每辆每天的租金比 45 座的贵 100 元，会务组第一天在这家公司租了 2 辆 60 座和5 辆 45 座的客车，一天的租金为 1600 元，求 45 座和 60 座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案第 40 页/共 48 页方案 1：若只租用 45 座的客车，会有一辆客车空出 30 个座位；方案 2：若只租用 60 座客车，正好坐满且比只租用 45 座的客车少用两辆请计算方案 1、2 的费用；从经济角度考虑，还有方
90、案 3 吗？如果你是会务组负责人，应如何确定最终租车方案，并说明理由【分析】（1）设 45 座的客车每辆每天的租金为 x 元，则 60 座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2 辆 60 座的一天的租金+5 辆 45 座的一天的客车的租金一天的租金为 1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；（2）设参会人员为 y 人，由题意列出方程，得出 y240，即可求出方案 1、2 的费用；方案 3：共 240 人，租用 45 座的客车 4 辆，60 座的客车 1 辆，求出费用1100 元，即可得出结论【解答】解：（1）设 45 座的客车每辆每天的租金为 x 元，则 60 座
91、的客车每辆每天的租金为（x+100）元，则：2（x+100）+5x1600，解得：x200，x+100300，答：设 45 座的客车每辆每天的租金为 200 元，则 60 座的客车每辆每天的租金为 300 元；（2）设参会人员为 y 人，由题意得：+3045=60+2，解得：y240，方案 1 的费用：（240+30）452001200（元），方案 2 的费用：240603001200（元），有方案 3：租用 45 座的客车 4 辆，60 座的客车 1 辆，理由如下：共 240 人，租用 45 座的客车 4 辆，60 座的客车 1 辆，费用：4200+3001100（元）1200 元，最终租车
92、方案为：租用 45 座的客车 4 辆，60 座的客车 1 辆【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键【变式 15-3】（2020 秋南浔区校级月考）现有 A、B 两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，A 地可运出粮食 80 吨，B 地可运出粮食 60 吨，其中甲地需要粮食 90 吨，乙地需要粮食 50 吨，每吨粮食运费如下：从 A 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨 500 元和 400 元，从 B 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨 200 元和 300 元设 A 地运送到甲中心粮食为 x 吨第 41 页/共 48 页（1）请根据题
93、意填写下表（填写表中所有空格）：运往甲地运往乙地AB（2）若某次运送总运费共花去 50000 元，请指出当时的调运方案；（3）按照题（2）的调运方案，从 A 基地往甲中心运送粮食，在运输途中的 E 地接到 F 地商家的一个电话，该商家需要 25 吨已知 A 基地与 E 地之间的运费为每吨 520 元，甲中心与 F 地之间的运费为每吨480 元现 A 基地有两种方案运送到甲中心和 F 地商家：方案一：从 E 地直接运送到 F 地商家，运到后把剩下的粮食运到甲中心；方案二：先把粮食运到甲中心，再运 25 吨到 F 地商家若方案一比方案二的总运费多 21000 元，则从 E 地到 F 地商家的运费是
94、每吨多少元？【分析】（1）根据设 A 地运送到甲中心粮食为 x 吨，进而得出运往乙地以及 B 地运往甲、乙两个粮食配送中心的粮食，即可得出答案；（2）根据运送总运费共花去 50000 元得出等式求出即可；（3）设从 E 地到 F 地商家的运费是每吨 y 元，根据方案一比方案二的总运费多 21000 元列出方程，解方程即可【解答】解：（1）如图表：运往甲地运往乙地Ax80 xB90 xx30（2）由题意得：500 x+400（80 x）+200（90 x）+300（x30）50000，解得 x45答：从 A 基地运往甲、乙两中心的粮食分别为 45 吨，35 吨；从 B 基地运往甲、乙两中心的粮食
95、分别为45 吨，15 吨；（3）设从 E 地到 F 地商家的运费是每吨 y 元，根据题意得52045+45y+480（4525）（50045+48025）21000，解得 y500第 42 页/共 48 页答：从 E 地到 F 地商家的运费是每吨 500 元【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解【考点 16一元一次方程的应用（动点问题）】【例 16】（2019 秋市中区期末）如图，在数轴上点 A 表示的有理数为4，点 B 表示的有理数为 6，点 P从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上沿由 A 到 B
96、 方向运动，当点 P 到达点 B 后立即返回，仍然以每秒 2 个单位长度的速度运动至点 A 停止运动设运动时间为 t（单位：秒）（1）求 t2 时点 P 表示的有理数；（2）求点 P 与点 B 重合时 t 的值；（3）点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，求点 P 与点 A 的距离（用含 t 的代数式表示）；点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，点 P 表示的有理数是多少（用含 t 的代数式表示）；（4）当点 P 表示的有理数与原点距离是 2 个单位时，直接写出所有满足条件的 t 的值【分析】（1）根据点 P 表示的有理数4+运动时间+运动速度，即可得出结论；（2）由点 P 与点 B
97、重合，即可得出关于 t 的一元一次方程，解之即可得出 t 值；（3）由点 P 的运动时间及运动速度，可用含 t 的代数式表示出点 P 与点 A 的距离；由点 P 的出发点、运动时间及运动速度，可用含 t 的代数式表示出点 P 表示的有理数；（4）分 0t5 及 5t10 两种情况，找出点 P 表示的数，结合 OP2，即可得出关于 t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）4+220答：求 t2 时点 P 表示的有理数为 0（2）依题意，得：4+2t6，解得：t5答：当 t5 时，点 P 与点 B 重合（3）点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上沿由
98、 A 到 B 方向运动，且当 t5 时点 P到达点 B，点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，PA2t（0t5）；点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上沿由 A 到 B 方向运动，且当 t5 时点 P 到达点 B，第 43 页/共 48 页点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，点 P 表示的有理数是4+2t（0t5）（4）当 0t5 时，点 P 表示的有理数是4+2t，OP|4+2t|，|4+2t|2，即4+2t2 或4+2t2，解得：t1 或 t3；当 5t10 时，点 P 表示的有理数是 62（t5）162t，OP|162t|，|162t|2，即 162t2 或
99、 162t2，解得：t7 或 t9答：当点 P 表示的有理数与原点距离是 2 个单位时，满足条件的 t 的值为 1 或 3 或 7 或 9【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是：（1）根据点 P 的运动方向、速度及运动时间，找出 t2 时点 P 表示的有理数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）利用路程速度时间，找出 PA 的长；根据点 P 的运动方向、速度及运动时间，用含 t 的代数式表示出点 P 表示的有理数；（4）分 0t5 和 5t10 两种情况，找出关于 t 的方程【变式 16-1】（2020 春道里区期末）已知：如图，点 A、点 B 为数轴
100、上两点，点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，a 与 b 满足|a+4|+（b8）20动点 P 从点 A 出发，以 2 个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时动点 Q 从点 B 出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动（1）直接写出 a、b 的值，a ，b ；（2）设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，P、Q 两点相距 20 个单位长度；（3）若在运动过程中，动点 Q 始终保持原速度原方向，动点 P 到达原点时，立即以原来的速度向相反的方向运动设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，原点 O 分线段 PQ 为 1：3 两部分【分析】（1）根据非负数的性
101、质，可求出 a，b 的值，（2）根据 P、Q 两点相距 20 个单位长度列方程即可求解；（3）分三种情况进行讨论即可求解第 44 页/共 48 页【解答】解：（1）依题意有：a+40，b80，解得：a4；b8；（2）AB8（4）12，依题意有 2tt12+20，解得 t32；（3）3（42t）8+t，解得：t=47；3（2t4）8+t，解得：t4；2t43（8+t），解得：t28（舍去）故当 t 为47秒或 4 秒时，原点 O 分线段 PQ 为 1：3 两部分故答案为：4，8【点评】考查数轴、两点之间的距离以及一元一次方程的应用，把各个距离用含有 t 的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任
102、务【变式 16-2】（2019 秋抚州期末）阅读理解：【探究与发现】如图 1，在数轴上点 E 表示的数是 8，点 F 表示的数是 4，求线段 EF 的中点 M 所示的数对于求中点表示数的问题，只要用点 E 所表示的数8，加上点 F 所表示的数 4，得到的结果再除以 2，就可以得到中点M 所表示的数：即 M 点表示的数为：8+42=2【理解与应用】把一条数轴在数 m 处对折，使表示20 和 2020 两数的点恰好互相重合，则 m【拓展与延伸】如图 2，已知数轴上有 A、B、C 三点，点 A 表示的数是6，点 B 表示的数是 8AC18（1）若点 A 以每秒 3 个单位的速度向右运动，点 C 同时
103、以每秒 1 个单位的速度向左运动设运动时间为 t秒点 A 运动 t 秒后，它在数轴上表示的数表示为（用含 t 的代数式表示）当点 B 为线段 AC 的中点时，求 t 的值第 45 页/共 48 页（2）若（1）中点 A、点 C 的运动速度、运动方向不变，点 P 从原点以每秒 2 个单位的速度向右运动，假设 A、C、P 三点同时运动，求多长时间点 P 到点 A、C 的距离相等？【分析】根据数轴上两点之间中点所表示数的计算方法进行计算即可；（1）点 A 向右移动，求出移动的距离，进而得到移动后点 A 所表示的数，分两种情况进行解答，即点 A 在点 B 的左侧和右侧，画出相应的图形，根据数轴上两点之
104、间距离的计算方法列方程求解即可；（2）根据追及、相遇问题可求出追及或相遇的时间，根据时间，判断各个点在数轴上位置顺序，再根据数轴上两点之间距离的计算方法列方程求解即可；【解答】解：m=20+20202=1000；故答案为：1000；（1）点 A 向右移动的距离为 3t，因此点 A 从数轴上表示6 的点向右移动 3t 的单位后，所表示的数为 3t6，故答案为：3t6，当点 B 为线段 AC 的中点时，）当移动后点 C 在点 B 的右侧时，此时 t4，如图 1，由 BABC 得，8（3t6）（12t）8，解得，t54（舍去）当移动后点 C 在点 B 的左侧时，此时 t4，如图 2，由 BABC 得
105、，（3t6）88（12t），解得，t5，答：当点 B 为线段 AC 的中点时，t 的值为 5 秒（2）根据运动的方向、距离、速度可求出，点 P、C 相遇时间为 12（2+1）4 秒，点 A、C 相遇时间为 18（3+1）=92秒，第 46 页/共 48 页点 A 追上点 P 的时间为 6（32）6 秒，当点 P 到点 A、C 的距离相等时，如图 23 所示，此时 t4，由 PAPC 得，2t（3t6）（12t）2t，解得，t3；当 A、C 相遇时符合题意，此时，t=92，当点 A 在点 P 的右侧，点 C 在点 P 的左侧时，此时 t6，点 A 追上点 P 时用时 6 秒，之后 PA 距离每秒
106、增加 1 个单位长度，而 PC 每秒增加 4 个单位长度，不存在点 P 到点 A、C 的距离相等的情况，因此：当点 P 到点 A、C 的距离相等时，t3 或 t=92【点评】考查数轴表示数的意义和方法、一元一次方程的应用，理解和掌握数轴上两点之间距离的计算方法，是解决问题的关键，用含有时间的代数式表示该点在数轴上所表示的数，是解决问题的为前提【变式 16-3】（2020 春南岗区校级月考）如图，在数轴上有两点 A、B，所对应的数分别是 a、b，且满足a+5 是最大的负整数，b3 是绝对值最小的有理数点 C 在点 A 右侧，到点 A 的距离是 2 个单位长度（1）数轴上，点 B 表示的数是 ，点
107、 C 表示的数是 （2）点 P、Q 为数轴上两个动点，点 P 从 A 点出发速度为每秒 1 个单位长度，点 Q 从 B 点出发速度为每秒 2 个单位长度若 P、Q 两点同时出发，相向而行，运动时间为 t 秒求当 t 为何值时，点 P 与点 Q之间的距离是 3 个单位长度？（3）在（2）的条件下，在点 P、Q 运动的过程中，是否存在 t 值，使点 Q 到点 A、点 B、点 C 的距离第 47 页/共 48 页之和为 15？若存在，求出 t 值，并直接写出此时点 P 在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据最大的负整数是1 可求 a，根据绝对值最小的有理数是 0 可求 b，根据点
108、 C 在点 A右侧，到点 A 的距离是 2 个单位长度可求点 C 表示的数；（2）当 PQ3 时，分两种情况进行讨论：点 P 与点 Q 相遇之前，Q 在 P 的右边；点 P 与点 Q 相遇之后，P 在 Q 的右边根据 PQ3 列出方程即可求解；（3）当 QA+QB+QC15 时，分两种情况进行讨论：Q 在 AB 之间；Q 在 A 点左边【解答】解：（1）a+5 是最大的负整数，b3 是绝对值最小的有理数，a+51，b30，a6，b3，点 A、B 所对应的数分别是6，3点 C 在点 A 右侧，到点 A 的距离是 2 个单位长度，点 C 表示的数是6+24故答案为：3，4；（2）点 P 从 A 点
109、出发速度为每秒 1 个单位长度，点 Q 从 B 点出发速度为每秒 2 个单位长度，t 秒时，APt，BQ2t，点 P 表示的数是6+t，点 Q 表示的数是 32t当 PQ3 时，分两种情况：点 P 与点 Q 相遇之前，Q 在 P 的右边，PQ3，32t（6+t）3，解得 t2；点 P 与点 Q 相遇之后，P 在 Q 的右边，PQ3，6+t（32t）3，解得 t4故当 t 为 2 或 4 时，点 P 与点 Q 之间的距离是 3 个单位长度；（3）当 QA+QB+QC15 时，分两种情况：如果 Q 在 AB 之间，那么 QA+QBAB9，QC1596，点 C 表示的数是4，点 A、B 所对应的数分
110、别是6，3，Q 在数轴上所表示的数是4+62 或4610第 48 页/共 48 页106，此时 Q 不在 AB 之间，Q 在数轴上所表示的数是 2，BQ3212t，则 t=12，点 P 在数轴上所表示的数是6+12=512；如果 Q 在 A 点左边，设此时 Q 表示的数为 x，QA+QB+QC15，6x+3x+（4）x15，解得 x=223，32t=223，则 t=316，点 P 在数轴上所表示的数是6+316=56故在（2）的条件下，在点 P、Q 运动的过程中，存在 t 值，使点 Q 到点 A、点 B、点 C 的距离之和为 15，此时 t 值为12或316，点 P 在数轴上所表示的数为512或 56【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合与分类讨论思想是解题的关键