1、3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法课时过关能力提升1.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于()A.-3iB.3iC.3iD.4i答案:B2.下列命题:(1)z-z是纯虚数;(2)z1+z2Rz2=z1;(3)(3+i)-(1+i)=23+i1+i.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:(1)设z=x+yi(x,yR),则z-z=2yi,可见只有当y0时,z-z为纯虚数,而当y=0时,z-z为实数,所以(1)错误.(2)当z2=z1时,z1+z2=z1+z1,所以z1+z2R,反之,若z1+z2R,则z1,z2两复数的虚部互为相反数,但它们的实部不一定相同,因此z2不
2、一定等于z1,所以(2)错误.(3)虽然(3+i)-(1+i)=20,但由于3+i,1+i均为虚数,而两复数若不全是实数,则不能比较大小,所以(3)错误.故(1)(2)(3)都不正确.答案:A3.设f(z)=z,且z1=1+5i,z2=-3+2i,则f(z1-z2)的值是()A.-2+3iB.-2-3iC.4-3iD.4+3i解析:z1-z2=(1+5i)-(-3+2i)=(1+3)+(5-2)i=4+3i,z1-z2=4-3i.f(z1-z2)=f(4-3i)=4-3i=4+3i.答案:D4.复数z=x+yi(x,yR)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.
3、42D.82解析:|x+yi-4i|=|x+yi+2|,x2+(y-4)2=(x+2)2+y2.x=-2y+3.2x+4y=2-2y+3+4y=814y+4y42.答案:C5.若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2,z3,且|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则点P为ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析:由|z-z0|的几何意义可知,点P到三角形三顶点的距离相等,故点P为ABC的外接圆的圆心.答案:B6.若z1=2-i,z2=-12+2i,z1,z2在复平面内所对应的点分别为Z1,Z2,则这两点之间的距离为.解析:z1-z2=52-3i,|z1-z2|=254+9=6
4、12.答案:6127.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,若z1-z2=0,则m=.解析:z1-z2=(m2-3m+m2i)-4+(5m+6)i=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i.z1-z2=0,m2-3m-4=0,m2-5m-6=0.m=-1.答案:-18.若复数z满足|z-3|5,则|z-(1+4i)|的最大值和最小值分别是.解析:由|z-3|5知,z对应的点Z在以A(3,0)为圆心,5为半径的圆上或圆内,|z-(1+4i)|表示动点Z到定点B(1,4)的距离,连接A,B两点,则|AB|=25.所以|z-(1+4i)|max=35,|z-(1+4i
5、)|min=5.答案:35,59.已知关于x的方程x2-(tan +i)x-(2+i)=0(R).(1)若方程有实数根,求锐角的值;(2)求证:对于任意k+2(kZ),方程无纯虚数根.分析(1)先设出方程的实数根为,将其代入方程,再根据复数相等的充要条件,列出方程组求解.(2)根据反证法先假设有纯虚数根i(R,0),将其代入方程,再根据复数相等的充要条件,列方程组求解,得出矛盾,从而原结论得证.(1)解:设方程的实数根为,则2-(tan +i)-(2+i)=0,整理,得2-tan -2-(+1)i=0.因为tan R,所以2-tan-2=0,+1=0, 解得=-1,tan=1.又因为02,所以
6、=4.(2)证明假设方程有纯虚数根i(R,0),则(i)2-(tan +i)i-(2+i)=0,整理,得-2+-2-(tan +1)i=0.所以-2+-2=0,-tan-1=0.由,得=-cot .将其代入,得cot2+cot +2=0,这个关于cot 的方程中=1-80,故此方程无实数根.所以cot 为虚数,这与cot R矛盾.所以假设不成立,故原题成立.故对于任意k+2(kZ),方程无纯虚数根.10.已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的中垂线的方程.解:(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=34.(2)线段AB的中垂线上任一点Z到A,B两点间的距离相等.设点Z对应的复数为z.由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.设z=x+yi(x,yR),代入上式,知|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的中垂线方程为3x+5y-10=0.