1、初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题1.2 矩形的性质与判定姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共25题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020春武汉期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开测得AB的长为1.6km，则M，C两点间的距离为（）A0.5kmB0.6kmC0.8kmD1.2km【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解【解
2、析】由题意可知，ABC中，ACB90，M是AB的中点，MC=12AB=121.60.8（km）故选：C2（2020春东湖区校级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD若AE2，PF6，则图中阴影部分的面积为（）A10B12C16D18【分析】由矩形的性质可证明SPEBSPFD，即可求解【解析】作PMAD于M，交BC于N则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，SADCSABC，SAMPSAEP，SPBESPBN，SPFDSPDM，SPFCSPCN，MPAE2SDFPSPBE=12266，S阴6
3、+612，故选：B3（2020春江阴市期中）已知：如图，矩形ABCD中，AB5，BC12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF等于（）A6013B5013C185D125【分析】首先连接OP由矩形ABCD的两边AB5，BC12，可求得OAOD=132，然后由SAODSAOP+SDOP求得答案【解析】连接PO，矩形ABCD的两边AB5，BC12，S矩形ABCDABBC60，OAOC，OBOD，ACBD，AC=AB2+BC2=122+52=13，SAOD=14S矩形ABCD15，OAOD=12AC=132，SAODSAOP+SDOP=
4、12OAPE+12ODPF=12OA（PE+PF）=12132（PE+PF）15，PE+PF=6013，故选：A4（2020春鹿城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AO5，CD6，则AD（）A5B6C7D8【分析】根据矩形的性质得出ADC90，AC2AO10，根据勾股定理求出AD即可【解析】四边形ABCD是矩形，AO5，ADC90，AC2AO10，在RtADC中，由勾股定理得：AD=AC2-CD2=102-62=8，故选：D5（2020春西城区校级期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（2，1）（2，2）和（4，1），则第四个顶点的坐标为（）A（2，2）B（4，2）C（4，4）D
5、（4，3）【分析】先在平面直角坐标系中描出点（2，1）（2，2）和（4，1），然后根据矩形的性质画出矩形得到第四个点的位置，再写出第四个顶点的坐标【解析】如图，A（2，1），B（2，2），C（4，1），BDAC2+46，第四个顶点D的坐标为（62，2），即（4，2）故选：B6（2020春江汉区期中）下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A内角和为360B对角线互相平分C对角线相等D对边平行【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论【解析】矩形的性质：内角和360，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项
6、A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C7（2020春栖霞区期中）下列条件中，不能判定ABCD为矩形的是（）AACBABCACBDDABBC【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论【解析】A、在ABCD，若AC，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在ABCD中，ADBC，A+B180，AB，AB90，ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在ABCD中，ACBD，则ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在ABCD中，ABBC，ABC90，ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A8（2020春香坊区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AE平分BAD交B
7、C于点E，ED5，EC3，则矩形的周长为（）A18B20C22D24【分析】根据勾股定理求出DC4；证明BEAB4，即可求出矩形的周长【解析】四边形ABCD是矩形，C90，ABCD，ADBC，ADBC，ED5，EC3，DC2DE2CE225916，DC4，AB4；ADBC，AEBDAE；AE平分BAD，BAEDAE，BAEAEB，BEAB4，BCBE+EC7，矩形ABCD的周长2（4+7）22故选：C9（2020春无锡期中）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，过对角线交点O作EFAC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，DEC的周长为（）A10B11C12D13【分析】根据矩形的性质得出A
8、DC90，DCAB4，ADBC6，AOOC，根据线段垂直平分线的性质得出AECE6x，在RtDEC中，根据勾股定理得出DE2+DC2EC2，求出DE即可【解析】设DEx，则AE6x，四边形ABCD是矩形，ADC90，DCAB4，ADBC6，AOOC，EFAC，AOOC，AECE6x，在RtDEC中，由勾股定理得：DE2+DC2EC2，即x2+42（6x）2，解得：x=53，即DE=53，CEAE6-53=135，DEC的周长为DE+CE+DC=53+133+410，故选：A10（2020春赣榆区期中）如图，ABC中，ABAC，DE垂直平分AB，BEAC，AFBC，则EFC的度数为（）A35B4
9、0C45D60【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BEAC得出ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出ABC的度数，由ABAC，AFBC，可知BFCF，BFEF，再根据三角形外角的性质即可得出结论【解析】DE垂直平分AB，AEBE，BEAC，ABE是等腰直角三角形，BACABE45，又ABAC，ABC=12（180BAC）=12（18045）67.5，CBEABCABE67.54522.5，ABAC，AFBC，BFCF，BFEF，BEFCBE22.5，EFCBEF+CBE22.5+22.545故选：C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（202
10、0春西城区校级期中）如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DFAE于点F，且满足DFAB下面结论：DEFDEC；SABESADF；AFAB；BEAF其中正确的结论是【分析】证明RtDEFRtDEC得出正确；在证明ABEDFA得出SABESADF；正确；得出BEAF，正确，不正确；即可得出结论【解析】四边形ABCD是矩形，CABE90，ADBC，ABCD，DFAB，DFCD，DFAE，DFADFE90，在RtDEF和RtDEC中，DE=DEDF=DC，RtDEFRtDEC（HL），正确；ADBC，AEBDAF，在ABE和DFA中，ABE=DFAAEB=DAFAB=DF，ABEDFA（AA
11、S），SABESADF；正确；BEAF，正确，不正确；故答案为：12（2020春栖霞区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DEAC于点E，若AOD110，则CDE35【分析】由矩形的性质得出OCOD，得出ODCOCD55，由直角三角形的性质求出ODE20，即可得出答案【解析】四边形ABCD是矩形，ADC90，ACBD，OAOC，OBOD，OCOD，ODCOCD，AOD110，DOE70，ODCOCD=12（18070）55，DEAC，ODE90DOE20，CDEODCODE552035；故答案为：3513（2020春宜兴市期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC1
12、2，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为3【分析】根据矩形的性质可得ACBD12，BODO6，再根据三角形中位线定理可得PQ=12DO3【解析】四边形ABCD是矩形，ACBD12，BODO=12BD，OD=12BD6，点P、Q是AO，AD的中点，PQ是AOD的中位线，PQ=12DO3故答案为：314（2020春江汉区期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF5，则线段AC的长为45【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5，得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再
13、由勾股定理求出AC即可【解析】连接AE，如图：EF是AC的垂直平分线，OAOC，AECE，四边形ABCD是矩形，B90，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，AOF=COEOA=OCOAF=OCE，AOFCOE（ASA），AFCE5，AECE5，BCBE+CE3+58，AB=AE2-BE2=52-32=4，AC=AB2+BC2=42+82=45；故答案为：4515（2020春南岗区校级期中）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是3【分析】过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F，则AFCF，延
14、长CA交x轴于点H，证明AFCOEB，即可求得答案【解析】如图，过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F，则AFCF，延长CA交x轴于点H，四边形AOBC是矩形，OBAC，ACOB，CAFCHOBOE，AFCOEB90，AFCOEB（AAS），CFBE413，故答案为：316（2020春鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2BP2+DP2该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明应用新知：如图3，在ABC中，CA4，CB6，D是ABC内一点，且CD2，ADB90，则AB的
15、最小值为43-2【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由矩形的性质得出ABDE，由题意得CD2+CE2CA2+CB2，求出CE43，当C、D、E三点共线时，DE最小，得出AB的最小值DE的最小值CECD43-2【解析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：则ABDE，由题意得：CD2+CE2CA2+CB2，即22+CE242+62，解得：CE43，当C、D、E三点共线时，DE最小，AB的最小值DE的最小值CECD43-2；故答案为：43-217（2020春明水县校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC若AC5，则四边形C
16、ODE的周长是10【分析】根据矩形的性质求出OCOD，根据平行四边形的判定得出四边形CODE是平行四边形，根据菱形的判定得出四边形CODE是菱形，再根据菱形的性质得出即可【解析】如图，四边形ABCD是矩形，AC5，AOOC2.5，ACBD，DOBO，OCOD，CEBD，DEAC，四边形CODE是平行四边形，四边形CODE是菱形，DECEOCOD2.5，四边形CODE的周长是2.5+2.5+2.5+2.510，故答案为：1018（2020春赣榆区期中）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，D是AB上一动点，过点D作DEAC于点E，DFBC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是601
17、3【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EFCD，再根据垂线段最短可得CDAB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可【解析】如图，连接CDACB90，AC5，BC12，AB=AC2+BC2=52+122=13，DEAC，DFBC，C90，四边形CFDE是矩形，EFCD，由垂线段最短可得CDAB时，线段EF的值最小，此时，SABC=12BCAC=12ABCD，即12125=1213CD，解得：CD=6013，EF=6013故答案为：6013三、解答题（本大题共7小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1
18、9（2020春罗湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AB的中点，且OCOD（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）若AD3，COD60，求矩形ABCD的面积【分析】（1）证AODBOC（SSS），得出AB90，即可得出结论；（2）证出AODBOC60，则ADO30，由含30角的直角三角形的性质得出OA=33AD=3，则AB2OA23，由矩形面积公式即可得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，A+B180，点O是AB的中点，OAOB，在AOD和BOC中，OA=OBAD=BCOD=OC，AODBOC（SSS），AB90，平行四边形ABCD是矩形
19、；（2）解：由（1）得：AODBOC，AODBOC，COD60，AODBOC60，A90，ADO30，OA=33AD=3，AB2OA23，矩形ABCD的面积ABAD2336320（2020春吴江区期中）如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，点E、F分别在AB、CD上，且BEDF3（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长【分析】（1）根据矩形的性质得到CDAB8，ADBC4，CDAB，DB90，求得CFAE5，根据勾股定理得到AFCE5，于是得到结论；（2）过F作FHAB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AHDF3，FHAD4，根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）
20、证明：在矩形ABCD中，AB8，BC4，CDAB8，ADBC4，CDAB，DB90，BEDF3，CFAE835，AFCE=32+42=5，AFCFCEAE5，四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FHAB于H，如图所示：则四边形AHFD是矩形，AHDF3，FHAD4，EH532，EF=EH2+FH2=22+42=2521（2020春建湖县期中）已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且AECBED90求证：四边形ABCD是矩形【分析】连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在RtAEC中EO=12AC，在RtEBD中，EO=12BD，得到ACBD
21、，即可得出结论【解答】证明：连接EO，如图所示：O是AC、BD的中点，AOCO，BODO，四边形ABCD是平行四边形，在RtEBD中，O为BD中点，EO=12BD，在RtAEC中，O为AC的中点，EO=12AC，ACBD，又四边形ABCD是平行四边形，平行四边形ABCD是矩形22（2020春汉寿县期中）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上（1）求证：BGDE；（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形【分析】（1）根据矩形的性质得到EHFG，EHFG，得到GFHEHF，求得BFGDHE，根据菱形的性质得到ADBC，
22、得到GBFEDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到ADBC，ADBC，求得AEBG，AEBG，得到四边形ABGE是平行四边形即可【解答】证明：（1）四边形EFGH是矩形，EHFG，EHFG，GFHEHF，BFG180GFH，DHE180EHF，BFGDHE，四边形ABCD是菱形，ADBC，GBFEDH，在BGF和DEH中，BFG=DHEGBF=EDHFG=HE，BGFDEH（AAS），BGDE；（2）连接EG，如图所示：四边形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，E为AD中点，AEED，BGDE，AEBG，AEBG，四边形ABGE是平行四边形，23（2020春
23、香坊区校级期中）已知，在ABC中，ABAC，点D、点O分别为BC、AC的中点，AEBC（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；（2）如图2，若点F是CE上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形ABDF面积相等的三角形和四边形【分析】（1）首先得到四边形ADCE是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可；（2）根据四边形ADCE是矩形，得到ADCE，于是得到SADCSADFSAED，即可得到结论【解答】（1）证明：点D、点O别是BC、AC的中点，ODAB，BDCD，DEAB，又AEBD，四边形ABDE是平行四边形，AEBD，AECD，AEBC，四边形AD
24、CE是平行四边形，ABAC，D为BC的中点，ADBC，四边形ADCE是矩形；（2）解：四边形ADCE是矩形，ADCE，SADCSADFSAED，四边形ABDF面积SABCS四边形ABDES矩形ADCE24（2020春武汉期中）如图，在菱形ABCD中，AB6，DAB60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形；当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形【分析】（1）由菱形的性质可得DNEAME，再由点E是AD边的中点，可得AEDE，从而可证明NDEMA
25、E（AAS），则NEME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，DNEAME，NDEMAE，点E是AD边的中点，AEDE，在NDE和MAE中，NDEMAE（AAS），NEME，四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形理由如下：四边形ABCD为菱形，ABAD6，点E是AD边的中点，AE=12AD3，AMAE3，DAB60，AEM是等边三角
26、形，EMAE，NEEM=12MN，MNAD，四边形AMDN是平行四边形，四边形AMDN是矩形故答案为：3；当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形理由如下：ABAD6，AM6，ADAM，DAB60，AMD是等边三角形，MEAD，四边形AMDN是平行四边形，四边形AMDN是菱形故答案为：625（2020春庆云县期中）矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AOB60度，AC10（1）求矩形较短边的长（2）矩形较长边的长；（3）矩形的面积如果把本题改为：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AOB60度，AB4，你能求出这个矩形的面积吗？试写出解答过程【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到AO
27、B是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长（2）在直角ABC中，根据勾股定理来求BC的长度；（3）由矩形的面积公式进行解答；如果把本题改为：根据矩形性质得出AC2AO，BD2BO，ACBD，推出AOOB，得出等边三角形AOB，求出ABO，即可得出答案【解析】（1）四边形ABCD是矩形，OAOB又AOB60AOB是等边三角形ABOA=12AC5，即矩形较短边的长为5；（2）在直角ABC中，ABC90，AB5，AC10，则BC=AC2-AB2=102-52=53，即矩形较长边的长是53；（3）矩形的面积ABBC553=253；如果把本题改为：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AOB60度，AB4，能求出这个矩形的面积解答过程为：四边形ABCD是矩形，AC2AO，BD2BO，ACBD，AOOB，AOB60，AOB是等边三角形，ABO60，ADABtan6043，这个矩形的面积为443=163 第 21 页 / 共 21 页
