1、2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明课时过关能力提升1.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D 解析:设 n 个正数为 x1,x2,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+xn()()=(1+1+1)2=n2,当且仅当 x1=x2=xn时等号成立.答案:C2.若 x+y+z=1,则 F=2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D 解析:(2x2+y2+3z2()()=(x+y+z)2=1,当且仅当 x 时等号成立.2x2+y2+3z2 答案:D3.设 m,n,p(0,+),且 m2+n2-p2=0,则 的最小值为 A.0B.3
2、C.1D 解析:m,n,p(0,+),m2+n2-p2=0,2p2=2(m2+n2)=(12+12)(m2+n2)(m+n)2,当且仅当 m=n 时等号成立.答案:D4.已知实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,则 x2+4y2+z2的最小值为 .解析:(x2+4y2+z2)(12+12+12)(x+2y+z)2=1,x2+4y2+z2 当且仅当 x=2y=z 即 x 时等号成立.答案:5.已知(x-3)2+(y-3)2=6,则 的最大值为 解析:设 k 0),则 kx-y=0,于是(x-3)2+(y-3)2k2+(-1)2k(x-3)-(y-3)2=(3-3k)2.当且仅当 -时等号成立
3、,因此 6(k2+1)(3-3k)2,解得 3-k3+故 kmax=3+即 的最大值为3+答案:3+6.求实数 x,y 的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.解:由柯西不等式,得(12+22+12)(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)21(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)2=1,即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 当且仅当 -即 x 时等号成立.故当 x 时,(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.7.设 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,求证()()()证明()()()()()()()(
4、)()()()()当且仅当 a=b 时等号成立.故原不等式成立.8.如图所示,等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1,在这个三角形内任取一点 P,过点 P 分别引三边的平行线,与各边围成以点 P 为顶点的三个三角形.求这三个三角形面积和的最小值,以及取得最小值时点 P 的位置.解:分别以 OA,OB 所在直线为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则 AB 所在直线的方程为 x+y=1,设点 P 的坐标为(x,y),以点 P 为顶点的三个三角形的面积和为 S,则S 因为 x+y+(1-x-y)=1(定值),所以当且仅当 x=y=1-x-y,即 x=y 时,x2+y2+(1-x-y)2有最小值 所以面积S 有最小值 此时点P 恰为AOB 的重心.9.设 f(x)=l -若 a1,nN*,且 n2,求证:f(2x)2f(x).证明f(2x)=lg -要证明 f(2x)2f(x),只要证明 lg -2lg -即证明 -也即证明 n12x+22x+(n-1)2x+an2x1x+2x+(n-1)x+anx2.(*)0a1,aa2,根据柯西不等式,得n12x+22x+(n-1)2x+an2x 个 +(n-1)x2+(anx)21x+2x+(n-1)x+anx2,即(*)式显然成立,故原不等式成立.
