1、第 1 页/共 17 页初中数学 9 年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题 1.1 菱形的性质与判定姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 100 分，考试时间 45 分钟，试题共 24 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2020 春海安市期中）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A对角线互相平分B对角线相等C邻角相等D邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平
2、行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D2（2020 春锡山区期中）如图，已知点 E、F 分别是四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，G、H 分别是对角线 BD、AC 的中点，要使四边形 EGFH 是菱形，则四边形 ABCD 需满足的条件是（）AABCDBACBDCACBDDADBC【分析】由点 E、F 分别是四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，G、H 分别是对角线 BD、AC 的
3、中点，根据三角形中位线的性质，可得 EGFH AB，EHFG CD，又由当 EGFHGFEH 时，四边形 EGFH 是菱形，即可求得答案【解析】点 E、F 分别是四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，G、H 分别是对角线 BD、AC 的中点，EGFH AB，EHFG CD，第 2 页/共 17 页当 EGFHGFEH 时，四边形 EGFH 是菱形，当 ABCD 时，四边形 EGFH 是菱形故选：A3（2020 春锡山区期中）菱形的对角线不具备的性质是（）A对角线互相平分B对角线一定相等C对角线一定垂直D对角线平分一组对角【分析】由菱形的性质即可得出结论【解析】菱形的性质：四条边都相等，对
4、角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线不一定相等；故选：B4（2020 春大悟县期中）如图，在菱形 ABCD 中，AC2，BD2，DHAB 于点 H，则 BH 的长为（）A1B C D 【分析】利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出即可求出DH 的长，再由勾股定理即可求出 BH 的长【解析】在菱形 ABCD 中，AC2，BD2，AOCO AC ，BODO BD1，AB 2，DH2 ACBD，DH ，BH 1，故选：A5（2020 春锡山区期中）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DHAB 于 H，则 DH（）第
5、 3 页/共 17 页A B C12D24【分析】由四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，可求得此菱形的面积与 AB 的长，继而求得答案【解析】设 AC 与 BD 交于 O，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，ACBD，OA AC4，OB BD3，AB 5，S 菱形 ABCD ACBD24，DHAB，DH24DH 故选：B6（2020 春江阴市校级期中）如图，在菱形 ABCD 中，AB5cm，ADC120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF
6、为等边三角形，则 t 的值为（）A B C D 【分析】连接 BD，证出ADEBDF，得到 AEBF，再利用 AEt，CF2t，则 BFBCCF52t 求出时间 t 的值【解析】连接 BD，四边形 ABCD 是菱形，第 4 页/共 17 页ABAD，ADB ADC60，ABD 是等边三角形，ADBD，又DEF 是等边三角形，EDFDEF60，又ADB60，ADEBDF，在ADE 和BDF 中，ADEBDF（ASA），AEBF，AEt，CF2t，BFBCCF52t，t52tt ，故选：D7（2020 春西城区校级期中）在菱形 ABCD 中，A：B1：2，若周长为 8，则此菱形中较短的那条对角线长
7、为（）A2 B4C1D2【分析】由菱形 ABCD 中，DAB：ABC1：2，可求得DAB 的度数，由周长为 8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解【解析】如图：第 5 页/共 17 页四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ADABBCCD，ACBD，菱形 ABCD 的周长为 8，AB2，ADBC，DAB+ABC180，DAB：ABC1：2，DAB60，ABD 是等边三角形，BDAB2，在 RtOAB 中，OAB DAB30，OB1，OA OB ，AC2OA2，2 2，较短的那条对角线长为 2，故选：D8（2020 春西山区期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线
8、AC 与 BD 相交于点 O，若 AB4，ABC60，则 BD 的长为（）A4 B4C2 D3【分析】由菱形的性质得出 ACBD，BD2OB，OAOC，证ABC 是等边三角形，得 ACAB4，则 OA2，由勾股定理求出 OB，即可得出答案【解析】四边形 ABCD 是菱形，第 6 页/共 17 页ACBD，BD2OB，OAOC，ABC60，ABC 是等边三角形，ACAB4，OA2，OB 2，BD2OB4 故选：A9（2020 春番禺区期末）如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，若 EF2，则菱形 ABCD的周长为（）A16B8C D4【分析】根据三角形的中位线定理求出
9、BC，再根据菱形的四条边解答即可【解析】E、F 分别是 AB、AC 的中点，EF 是ABC 的中位线，BC2EF224，四边形 ABCD 是菱形，ABBCCDAD4，菱形 ABCD 的周长4416故选：A10（2020 春滨江区期末）如图，若要使平行四边形 ABCD 成为菱形，需添加的条件是（）AABCDBADBDBCCAOBODAC，BD 互相垂直第 7 页/共 17 页【分析】根据菱形的判定方法得出 D 正确，A、B、C 不正确；即可得出结果【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，AC，BD 互相垂直，平行四边形 ABCD 是菱形，故 D 选项正确；故选：D二填空题（共 8 小题）11（2
10、020 春贵港期末）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，则添加一个适当的条件：ACBD 或 ABBC（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可【解析】ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，当 ACBD 或 ABBC 使其成为菱形故答案为：ACBD 或 ABBC（答案不唯一）12（2020 春曹县期末）如图，菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于 O，DEBC 于 E，连接 OE，BAD40，则OED 的度数为 20【分析】根据菱形的性质得出DAO BAD20，ACBD，DOBO，ADBC，求出 DEAD，根据垂直的定义求出
11、ADE90，DEB90，求出ADO，ODE 的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出 ODOE，求出ODEOED 即可【解析】四边形 ABCD 是菱形，BAD40，DAO BAD20，ACBD，DOBO，ADBC，DOA90，ADO90DAO70，ADBC，DEBC，DEAD，第 8 页/共 17 页ADE90，ODEADEADO20，DEBC，DEB90，DOBO，OE BDOD，OEDODE20，故答案为：2013（2020 春南京期末）如图，在菱形 ABCD 中，点 P 在对角线 BD 上，PEAB，垂足为 E，PE5，则点 P 到 BC 的距离是 5【分析】利用菱形的性质，得 BD
12、 平分ABC，利用角平分线的性质，得结果即可【解析】四边形 ABCD 是菱形，BD 平分ABC，PEAB，PE5，点 P 到 BC 的距离等于 5，故答案为：514（2020陕西）如图，在菱形 ABCD 中，AB6，B60，点 E 在边 AD 上，且 AE2若直线 l 经过点 E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点 F，则线段 EF 的长为 2 【分析】过点 A 和点 E 作 AGBC，EHBC 于点 G 和 H，可得矩形 AGHE，再根据菱形 ABCD 中，AB6，B60，可得 BG3，AG3 EH，由题意可得，FHFCHC211，进而根据勾股定理可得 EF 的长【解析】如图，过点
13、A 和点 E 作 AGBC，EHBC 于点 G 和 H，第 9 页/共 17 页得矩形 AGHE，GHAE2，在菱形 ABCD 中，AB6，B60，BG3，AG3 EH，HCBCBGGH6321，EF 平分菱形面积，FCAE2，FHFCHC211，在 RtEFH 中，根据勾股定理，得EF 2 故答案为：2 15（2020 春锦江区期末）如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 A 作 AECB 交 CB 的延长线于点 E，连接 OE若菱形 ABCD 的面积等于 12，对角线 BD4，则 OE 的长为 3【分析】由菱形的性质得出 BD12，由菱形的面积得出 AC9，再由直角三角形斜边上的
14、中线性质即可得出结果【解析】四边形 ABCD 是菱形，BDAC，BD4，S 菱形 ABCD ACBD12，AC6，AEBC，AEC90，第 10 页/共 17 页OE AC3，故答案是：316（2020 春淮安区期末）已知菱形 ABCD 的对角线 AC10，BD8，则菱形 ABCD 的面积为 40【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半列式计算即可得解【解析】菱形 ABCD 的对角线 AC10，BD8，菱形的面积 S ACBD 10840，故答案为：4017（2020哈尔滨）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在线段 BO 上，连接 AE，若 CD2BE，
15、DAEDEA，EO1，则线段 AE 的长为 2 【分析】设 BEx，则 CD2x，根据菱形的性质得 ABADCD2x，OBOD，ACBD，再证明 DEDA2x，所以 1+x x，解得 x2，然后利用勾股定理计算 OA，再计算 AE 的长【解析】设 BEx，则 CD2x，四边形 ABCD 为菱形，ABADCD2x，OBOD，ACBD，DAEDEA，DEDA2x，BD3x，OBOD x，OE+BEBO，1+x x，解得 x2，即 AB4，OB3，在 RtAOB 中，OA ，在 RtAOE 中，AE 2 第 11 页/共 17 页故答案为 2 18（2020 春北仑区期末）如图，菱形 ABCD 中，
16、O 是两条对角线的交点，过点 O 的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为 10，一条对角线为 12 时，则阴影部分的面积为 48【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答【解析】连接 AC、BD，如图所示：四边形 ABCD 是菱形，AB10，OBOD BD6，OAOC，ACBD，OA 8，AC2OA16，菱形 ABCD 的面积 ACBD 161296，O 是菱形两条对角线的交点，阴影部分的面积 9648；故答案为：48三解答题（共 7 小题）19（2020海陵区一模）已知：如图，BD 是ABC 的角平分线
17、，点 E、F 分别在 AB、BC 上，且 EDBC，EFAC（1）求证：BEDE；（2）当 ABAC 时，试说明四边形 EFCD 为菱形第 12 页/共 17 页【分析】（1）根据平行线的性质得到CBDEDB，则可证明EBDEDB，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；（2）先判断四边形 EFCD 为平行四边形，再证明EBCEFB 得到 BEFE，而 BEDE，从而得到DEFE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形 EFCD 为菱形【解答】（1）证明：BD 是ABC 的角平分线，EBDCBD，DEBC，CBDEDB，EBDEDB，BEDE；（2）解：EDBC，EFAC，四边形 EFCD 为平行四
18、边形，ABAC，ABCC，EFAC，EFBC，EBCEFB，BEFE，而 BEDE，DEFE，而四边形 EFCD 为平行四边形，四边形 EFCD 为菱形20（2020 春万州区期末）已知，如图，在 ABCD 中，分别在边 BC、AD 上取两点，使得 CEDF，连接 EF，AE、BF 相交于点 O，若 AEBF（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；（2）若菱形 ABEF 的周长为 16，BEF120，求 AE 的长第 13 页/共 17 页【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ADBC，ADBC，证出 AFBE，则四边形 ABEF 是平行四边形，由 AEBF，即可得出四边形 ABEF 是菱形；（
19、2）由菱形的性质得出 ABBE4，ABEF，证出ABE 是等边三角形，得出 AEAB4【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，CEDF，AFBE，四边形 ABEF 是平行四边形，又AEBF，四边形 ABEF 是菱形；（2）解：菱形 ABEF 的周长为 16，ABBE4，ABEF，ABE180BEF18012060，ABE 是等边三角形，AEAB421（2020恩施州）如图，AEBF，BD 平分ABC 交 AE 于点 D，点 C 在 BF 上且 BCAB，连接 CD求证：四边形 ABCD 是菱形【分析】由 AEBF，BD 平分ABC 得到ABDADB，得到 ABA
20、D，再由 BCAB，得到对边 ADBC，进而得到四边形 ABCD 为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形 ABCD 为菱形【解答】证明：AEBF，ADBDBC，第 14 页/共 17 页BD 平分ABC，DBCABD，ADBABD，ABAD，又ABBC，ADBC，AEBF，即 ADBC，四边形 ABCD 为平行四边形，又ABAD，四边形 ABCD 为菱形22（2020鼓楼区二模）如图，ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 是 BC 上一点，BDEF（1）求证：四边形 BDEF 是平行四边形；（2）直接写出当ABC 满足什么条件时，四边形 BDEF 是菱形【分析】（1）由三
21、角形中位线定理可得 DEBC，得出BADE，则ADEDEF，则可得出结论；（2）根据菱形的判定可得出答案【解答】（1）证明：点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，BADE，又BDEF，ADEDEF，BDEF，第 15 页/共 17 页DEBC，BDEF，四边形 BDEF 是平行四边形；（2）答案不唯一；如 ABBCABBC，DE BC，BD AB，BDBF，四边形 BDEF 是平行四边形，四边形 BDEF 是菱形23（2020福建）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，且 BEDF求证：BAEDAF【分析】根据菱形的性质可得BD，
22、ABAD，再证明ABEADF，即可得BAEDAF【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，BD，ABAD，在ABE 和ADF 中，ABEADF（SAS），BAEDAF24（2020 春中山市期末）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC 平分BAD，DPACCPBD（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若 AC4，BD6，求 OP 的长第 16 页/共 17 页【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形 ABCD 是菱形；（2）根据已知条件证明平行四边形 DOCP 是矩形，再根据 AC4，BD6，即可求 OP 的长【解析】（1）证明：四边形 ABCD 是
23、平行四边形，ADBC，DACBCA，AC 平分BAD，BACDAC，BCABAC，ABBC，平行四边形 ABCD 是菱形；（2）四边形 ABCD 是菱形，ACBD，DOC90，DPAC，CPBD，四边形 DOCP 是平行四边形，DOC90，平行四边形 DOCP 是矩形，OPCD，AC4，BD6，OC2，OD3，CD ，OPCD 答：OP 的长为 25（2020 春姜堰区期中）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DEAC，且 DE：AC1：2，连接 CE、OE，连接 AE 交 OD 于点 F（1）求证：OECD；（2）若菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，求 AE 的长第 17 页/共 17 页【分析】（1）先求出四边形 OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出COD90，证明 OCED 是矩形，可得 OECD 即可；（2）根据菱形的性质得出 ACAB，再根据勾股定理得出 AE 的长度即可【解答】（1）证明：在菱形 ABCD 中，OC ACDE：AC1：2，DEOC，DEAC，四边形 OCED 是平行四边形ACBD，平行四边形 OCED 是矩形OECD（2）解：在菱形 ABCD 中，ABC60，ACAB2在矩形 OCED 中，CEOD 在 RtACE 中，AE