1、5.1 任意角和弧度制5.1.1任意角 情境导入 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，上的点以为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点的位置变化呢？我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别就是角的始边和终边.当角确定时，终边的位置就确定了.这时，射线与 的交点也就确定了.由此想到，可以借助角的大小变化刻画点的位置变化.新知探索 由初中知识可知，射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0360范围内的角.如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的
2、大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围.现实生活中随处可见超出0360范围的角.例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0360范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，下图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.这样，绕点旋转所成的角与绕点旋转所成的角就会有不同的方向.因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.新知探索 概念生成 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做
3、任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么=0.该图中的角是一个正角，它等于750.该图中，正角=210，负角=150，=660.正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的的角总是负角.概念生成 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称=.正角(逆时针)负角(顺时针)零角(没有做任何旋转)概念生成 设、是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+.类似于实数的相反数是，我们引入任意角的相反角的概念.如
4、图，我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.于是，像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样，我们有 =+().这样，角的减法可以转化为角的加法.概念生成 辨析1：判断正误.(1)大于90的角都是钝角.（）(2)零角的终边与始边重合.（）(3)从13:00到13:10,分针转过的角度为60.（）(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大.（）答案：，.辨析2：将射线绕端点按逆时针方向旋转120所得的角为().A.120 B.-120 C.240 D.-240 答案：A.概念生成 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与
5、原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.例如，下图中的30角、-120角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.概念生成 象限角的集合表示：象限角 角的集合表示 第一象限角|+，第二象限角|+，第三象限角|+，第四象限角|+，新知探索 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.思考1：反之，对于直角坐标系内任意一条射线 ，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？新知探索 不难发现，在图中，如果-32角的终边是，那么328，-392，角的终边都
6、是，并且与-32角终边相同的这些角都可以表示成-32的角与个()周角的和，如：328=32+360(这里=1)，392=32 360(这里=1).设=|=+,，则328，392角都是的元素，32角也是的元素(此时=0).因此，所有与32角终边相同的角，连同32角在内，都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与32角的终边相同.概念生成 一般地，我们有:所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 设=|=+,，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
7、概念生成 轴线角的集合：角终边的位置 角的集合表示 在轴的非负半轴上|=，在轴的非正半轴上|=+，在轴的非负半轴上|=+，在轴的非正半轴上|=+，在轴上|=，在轴上|=+，在坐标轴上|=，概念生成 辨析3：判断正误.(1)第二象限角大于第一象限角.（）(2)第二象限角是钝角.（）(3)相等的角终边一定相同.（）(4)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍.（）答案：，.辨析2：与45终边相同的角为().A.-45 B.225 C.395 D.-315 答案：D.例析 例1.在0 360范围内，找出与-95012角终边相同的角，并断定它是第几象限角.解：95012=12948 3 360，
8、所以在0 360范围内，与95012角终边相同的角是12948，它是第二象限角.例析 例2.写出终边在轴上的角的集合.解：在0 360范围内,终边在轴上的角有两个，即90，270.因此，所有与90角终边相同的角构成集合1=|=90+360，而所有与270角终边相同的角构成集合2=|=270+360，于是，终边在轴上的角的集合 =1 2=|=90+2 180，|=90+180+2 180，=|=90+2 180，|=90+(2+1)180，=|=90+180，例析 例3.写出终边在=上的角的集合.中满足不等式360 720的元素有哪些？解：如图，在直角坐标系中画出直线=，可以发现它与轴的夹角是4
9、5，在0 360范围内,终边在直线=上的角有两个，45，225.因此，终边在直线=上的角的集合=|=45+360，|=225+360，=|=45+180，.中适合不等式360 720的元素有：45 2 180=315，45 1 180=135，45+0 180=45，45+1 180=225，45+2 180=405，45+3 180=585.练习 例1.(多选)下列说法正确的是().A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.小于180的角是钝角、直角或锐角 D.在90 180范围内的角不一定是钝角 题型一：任意角的概念及应用 答案：AD.锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一
10、象限，是第一象限角，故A正确；-350角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90 180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，所以D正确.练习 变1.给出下列说法：终边在轴非负半轴上的角是直角；始边相同而终边不同的角一定不相等；三角形的内角必是第一、二象限角；第四象限角一定是负角；|=180，=0，180，360.其中正确说法的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A.-270是终边在轴非负半轴上的角但不是直角，故错误；相等的角始边相同则终边必相同，所以始边相同而终边不同的角一定不相等，故正确；三角形的内角
11、可以是直角，它既不是第一象限角也不是第二象限角，故错误；0，180，360|=180，故错误.练习 例2.在与10030角终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)-360 720内的角.题型二：终边相同的角的表示及应用 解：与10030角终边相同的角的一般形式为=10030+360().(1)由10030+k 360 0，得k 360 10030，所以k 100336.又因为k Z，故所求的最大负角为=50.(2)由-360 10030+360 720，得-10390 360 9310.又 ，解得k=28，27，26.对应的=50，310，670.练习 变2.(1)与-46
12、3终边相同的角可以表示为().A.360+463()B.360+103()C.360+257()D.360 257()答案：C.因为-463=257 2 360，所以与-463终边相同的角可以表示为 360+257().变2.(2)把写成+360(,0 360)的形式，并指出它是第几象限角.答案：作除法运算，注意余数必须非负，得：-1910 360=6 250，所以=250 6 360，它是第三象限的角.练习 例3.已知如图所示的图形.(1)分别写出终边落在，位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解：(1)终边落在位置上的角的集合为|=90+45+360，=|=1
13、35+360，；终边落在位置上的角的集合为|=30+360，.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30+360 135+360，.题型三：区间角的表示 练习 变3.将例3该为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解：在0 360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150 225，则所有满足条件的角为|360+150 360+225，.课堂小结&作业 课堂小结：(1)任意角的概念；(2)象限角与终边相同的角；(3)象限角及轴线角的集合表示.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P171的练习15题