1、2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1函数f（x）sin（2x）的最小正周期为 2若复数z满足（1+i）zi（i为虚数单位），则Imz 3设A（2，3），B（1，5），且，则点D的坐标是 4已知数列an的前n项和Snn2+n，则该数列的通项公式an 5已知，则在向上的数量投影为 6已知，则 7关于x的方程x2+mx+20（mR）的一个根是x1+ni（n0），则 8i是虚数单位，则 9如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BOAD2，则 10定义：复数b+ai是za+bi（a，bR）的转置复数，记为zb+ai若，则的
2、最大值为 11定义两个平面向量的一种新运算：sin，其中，表示，的夹角对于平面上的任意，向量，R，下列运算性质一定成立的是 若，则与共线；12ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sinBcosAsinC，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为 二、选择题13设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a+为纯虚数”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件14已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）ABCD15设复数z满足条件argz（，），则对应复平面上的点位于第（）象限A一B二C三D四16如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形AB
3、CD，则当AD的长度增加时，以下结论：越来越小；保持不变它们成立的情况是（）A都正确B都错误C正确，错误D错误，正确三、解答题17设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bnlog2an（n1），求数列bn的前n项和Tn18已知向量，不共线，t为实数（）若，t，（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（）若|1，且与的夹角为120，实数x1，求|x|的取值范围19已知复数z1sin2xti，i为虚数单位，t，a，xR，且z1z2（1）若t0且，求x的值；（2）设tf（x），已知，求20已知x
4、R，（1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值范围；（2）求证：与不平行；（3）设ABC的三边a、b、c满足b2ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，求实数t的范围21对于一组复数z1，z2，z3，zn（nN，n3），令Snz1+z2+z3+zn，如果存在zp（p1，2，3，n），使得|zp|Snzp|，那么称zp是该复数组的“M复数”（1）设znn+（nx）i（n1，2，3），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围；（2）已知z1i，z21+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3，
5、若不存在，说明理由；（3）若，复数组z1，z2，z3，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由参考答案一、填空题（共12小题）.1函数f（x）sin（2x）的最小正周期为解：函数f（x）sin（2x）的最小正周期为，故答案为：2若复数z满足（1+i）zi（i为虚数单位），则Imz解：（1+i）zi（i为虚数单位），（1i）（1+i）zi（1i），化为：2z1+i，即z+i，则Imz，故答案为：3设A（2，3），B（1，5），且，则点D的坐标是（7，9）解：，（2，3）+3（1，5）（2，3）（7，9）故答案为（7，9）4已知数列an的前n项和Snn2+n，则该数列的通项公式an2n解：由
6、Snn2+n，得a1S12，当n2时，anSnSn1（n2+n）（n1）2+（n1）2n当n1时上式成立，an2n故答案为：2n5已知，则在向上的数量投影为 4解：，（）2|80，8，向量在向量方向上的数量投影|cos，4故答案为：46已知，则解：由得34得33，即3，3（），得34，故答案为：7关于x的方程x2+mx+20（mR）的一个根是x1+ni（n0），则2解：x2+mx+20（mR）的一个根是1+ni（nR+），（1+ni）2+m（1+ni）+20，整理可得，（3n2+m）+（m+2）ni0，n0，根据复数相等的条件可得，m+20，3+mn20，m2，n1，则m+n1，2故答案为：2
7、8i是虚数单位，则i解：i，（i）41，（i）2021（i）4505（i）i，i，故答案为：i9如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BOAD2，则6解：以D为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设BDa，OBD，则D（0，0），B（a，0），O（a+2cos，2sin），A（2a+4cos，4sin），（a4cos，4sin），（2a，0），OD1，（a+2cos）2+4sin21，整理得：a24acos3，2a28acos6故答案为：610定义：复数b+ai是za+bi（a，bR）的转置复数，记为zb+ai若，则的最大值为 解：设za+bi（a，
8、bR），则zb+ai，z+z（a+b）+（a+b）i，（a+b）+（ab）i，a2+b22，|（z+z）（）|（z+z）|（）|当且仅当ab时等号成立故答案为：11定义两个平面向量的一种新运算：sin，其中，表示，的夹角对于平面上的任意，向量，R，下列运算性质一定成立的是 若，则与共线；解：由若得sin，0，得，0或，与共线，对；例如：，与（或）不共线，+，中等式左边为0，右边不为0，错；当0时，中等式左边为负，右边为正，错；中等式左边|2|2sin2，+|2|2cos2，|2|2（sin2，+cos2，）|2|2右边对故答案选：12ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足s
9、inBcosAsinC，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为 解：由ABC中，三边a，b，c满足成等差数列得2ba+c，由正弦定理得2sinBsinA+sinC，由sinBcosAsinC得sin（A+C）cosAsinC得C，由2sinBsinA+sinC得2cosAsinA+1，代入sin2A+cos2A1可得sinA，cosA，由，得bccosA16，得bc20，可令a3，b4，c5，以A为原点、CA、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图：则A（4，0），B（0，3），C（0，0），设P（s，t），根据得（s4，t）（s，3t）3s+4t12，由得（s，t）（2x，
10、0）+（0，3y），126x+4y2，得xy，xy的最大值为 故答案为：二、选择题13设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a+为纯虚数”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解：复数a+abi为纯虚数，a0且b0，即a0且b0，“ab0”是“复数a+为纯虚数”必要不充分条件故选：C14已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）ABCD解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选：C15设复数z满足条件argz（，），则对应复平面上的点位于第（）象限A一B二C三D四解：复数z满足条件argz（，），设zr（cos+isin），则（cos（2）+i
11、sin2）（cos2+isin2），argz（，），即（，），可得2（，2）则对应复平面上的点位于第四象限故选：D16如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：越来越小；保持不变它们成立的情况是（）A都正确B都错误C正确，错误D错误，正确解：建立如图所示平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），O（1，1），设C（m，0），D（n，2），（m1，n1），则CD所在直线方程为，即2x+（mn）y2m0，由题意，整理得m+nmn0（m，n1），2n，当AD的长度增加时，n增大，则越来越小，故正确；（m+n4，0），|mn4|，当AD的长度增加时，n增大
12、，|mn4|是变化的，故错误故选：C三、解答题17设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bnlog2an（n1），求数列bn的前n项和Tn【解答】解；（1）设等比数列an的公比为q（q1），由a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，得6a2a1+3+a3+4，即a1+a36a27，又S37，得a1+a2+a37，所以6a27+a27，解得a22所以a1+a35，则+2q5，即2q25q+20，解得q2或q（舍去），所以a11，因此an12n12n1（2）由（1）可知an2n1，所以bnlog
13、2ann1，所以Tnb1+b2+bn0+1+2+n118已知向量，不共线，t为实数（）若，t，（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（）若|1，且与的夹角为120，实数x1，求|x|的取值范围解：（）A，B，C三点共线，则存在实数，使得，即，则（）由，则，因为，当时，的最小值为当时，的最大值为所以的取值范围是19已知复数z1sin2xti，i为虚数单位，t，a，xR，且z1z2（1）若t0且，求x的值；（2）设tf（x），已知，求解：（1）t0，z1z2sin2xa+（acos2x）i，sin2xa，acos2x0，sin2xcos2x0，tan2x，02x，2x，或2x，解得x，或x（2
14、）z1z2sin2x+tia+（acos2x）i，sin2xa，tacos2x，tsin2xcos2xf（x），f（）sin2cos2，sin2cos2，sin（2），sin2（2）+cos2（2）122120已知xR，（1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值范围；（2）求证：与不平行；（3）设ABC的三边a、b、c满足b2ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，求实数t的范围【解答】（1）解：2sinxcosx+（sinx+cosx）（sinxcosx）sin2xcos2x2sin（2x）当sin（2x）1时f（x）取得最大值，此时2x2k+得xk+，函数f（x）取最
15、大值时x的取值范围是x|xk+，kZ（2）证明：2（2sinx，2（sinxcosx），假设2，则2cosx2（sinxcosx）2sinx（sinx+cosx）0，得2sinxcosx2cos2xsin2xsinxcosx0，sin2xsin2xcos2x1+cos2x0，（1）（sin2xcos2x）1+，得sin（2x）7+4，显然无解与不平行；（3）解：ABC的三边a、b、c满足b2ac，由余弦定理得b2a2+c22accosB，aca2+c2accosB2ac2accosB，cosB，B（0，x（0，令g（x）+，则g（x）+2sin（2x）+由x（0，得2x（，令2xm（，函数g（
16、x）即为h（m）2sinm+，m（，若关于x的方程有且仅有一个实根，则函数h（m）2sinm+，m（，与yt有且仅有一个交点，函数h（m）2sinm+，在（，上单调递增，值域为（，实数t的范围是（，21对于一组复数z1，z2，z3，zn（nN，n3），令Snz1+z2+z3+zn，如果存在zp（p1，2，3，n），使得|zp|Snzp|，那么称zp是该复数组的“M复数”（1）设znn+（nx）i（n1，2，3），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围；（2）已知z1i，z21+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所
17、有的z3，若不存在，说明理由；（3）若，复数组z1，z2，z3，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由解：（1）z11+（1x）i，z22+（2x）i，z33+（3x）i，z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，|z3|S3z3|z1+z2|，代入得，化简，得x（x2）0，解得0x2（2）z1i，z21+i，存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”，设zkxk+yki，k1，2，3，则，相加得（x1+x2+x3）2+（y1+y2+y3）20，z1+z2+z30，z312i（3）|zn|严格减n为奇数时，z11i，z2+z3+zn（）+1（）n1，|z1|，|z2+z3+zn|1（）n1，当n为奇数时，复数组z1，z2，z3，zn存在“M复数”，z1是复数组z1，z2，z3，zn的“M复数”，n（n3）为偶数时，|zP|max|z1|，|Snzp|min|Snz1|min|z2+z3+zn|（）+（）2+（）n1+i|z1|zn|max，|zn|max|Snzp|min，当n为偶数时，复数组z1，z2，z3，zn不存在“M复数”