1、A 组1.设 a,b,c0,且 a+b+c=1,则 的最大值是()A.1B.C.3D.9解析:由柯西不等式,得()2+()2+()2(12+12+12)()2,则()231=3.当且仅当 a=b=c=时等号成立.故 的最大值为.答案:B2.已知 x,y,z 均大于 0,且 x+y+z=1,则 的最小值为()A.24B.30C.36D.48解析:(x+y+z)()()=36(当且仅当 时 等号成立),故 36(当且仅当 时 等号成立).答案:C3.已知 x2+y2+z2=1,则 x+2y+2z 的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:由柯西不等式,得(x+2y+2z)2(12+22+22)(
2、x2+y2+z2)=9,所以-3x+2y+2z3.当且仅当 x=时,右边等号成立.所以 x+2y+2z 的最大值为 3.答案:C4.已知 x,y 是实数,则 x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A.B.C.6D.3解析:由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2x+y+(1-x-y)2=1,即 x2+y2+(1-x-y)2 ,当且仅当 x=y=1-x-y,即 x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值 .答案:B5.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c)()的最小值是 .解析:(a+b+c)()=()2+()2+()2()()()()=(2+3+6)2=1
3、21.当且仅当 时等号成立.答案:1216.设 x,y,zR,若 x2+y2+z2=4,则 x-2y+2z 的最小值为 .解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)12+(-2)2+22(x-2y+2z)2,则(x-2y+2z)249=36.当且仅当 -=k,k=时,上式取得等号,故当 k=-时,x-2y+2z 取得最小值-6.答案:-67.设 x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则 x+y+z=.解析:根据柯西不等式,得(x+2y+3z)2(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2),当且仅当 时,等号成立.x2+y2+z2=1,(x+2y+3
4、z)214,结合 x+2y+3z=,可得 x+2y+3z 恰好取到最大值 .,可得 x=,y=,z=.因此,x+y+z=.答案:8.观察下列两个结论:(1)若 a,bR+,且 a+b=1,则 4;(2)若 a,b,cR+,且 a+b+c=1,则 9;先证明结论(2),再类比(1)(2)结论,请你写出一个关于 n 个正数 a1,a2,a3,an的结论.(写出结论,不必证明)解:由柯西不等式(1+1+1)2(a+b+c)(),得 321(),所以 9(当且仅当 时 等号成立).类比(1)(2)结论,写出一个关于 n 个正数 a1,a2,a3,an的结论是:若 aiR+(i=1,2,3,n),且 a
5、i=1,则 n2.9.设实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,且 a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定 e 的最大值.解:由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得 5e2-16e00e ,故 emax=.10.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a.(1)求 a 的值;(2)若 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=a,求证 p2+q2+r23.解:(1)因为|x+1|+|x-2|(x+
6、1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2 时,等号成立,所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3.(2)由(1)知 p+q+r=3,因为 p,q,r 是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,即 p2+q2+r23(当且仅当 p=q=r=1 时,等号成立).B 组1.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.解析:设 n 个正数为 x1,x2,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+xn)()()=(1+1+1)2=n2.当且仅当 x1=x2=xn时取等号.答案:C2.设 x,y,zR,2x+2y+
7、z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 .解析:2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(uv)2|u|2|v|2,即2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(22+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2-=9,当且仅当 x=-1,y=-4,z=2 时,等号成立,此时取得最小值 9.答案:93.已知正数 x,y,z 满足 5x+4y+3z=10.(1)求证 5;(2)求 的最小值.(1)证明:根据
8、柯西不等式,得(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)()(5x+4y+3z)2.因为 5x+4y+3z=10,所以 =5(当且仅当 时 等号成立).(2)解:根据基本不等式,得 2 =2 ,当且仅当 x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)2,当且仅当 时,等号成立.综上,232=18.4.已知大于 1 的正数 x,y,z 满足 x+y+z=3.(1)求证 ;(2)求 的最小值.(1)证明:由柯西不等式,得()(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)(x+y+z)2=
9、(3)2,整理,得 (当且仅当 时,等号成立).(2)解:,又由柯西不等式得 log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)9,.3=x+y+z3 .xyz3.log3(xyz),即 =3.3,当且仅当 x=y=z=时,等号成立.故所求的最小值是 3.5.(1)设三个正实数 a,b,c 满足(a2+b2+c2)22(a4+b4+c4),求证 a,b,c 一定是某一个三角形的三条边的长;(2)设 n 个正实数 a1,a2,an满足不等式(+)2(n-1)(+)(其中 n3),求证a1,a2,an中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.证明:(1)由题意,得(a2+b2+c2)2-2(a4+b4+c4)0,所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)0,因为 a,b,c0,所以上面不等式左边至少有三项为正数,而四项之积为正,故这四项都是正数,从而推出 a+bc,b+ca,c+ab,即 a,b,c 必是某一个三角形的三条边的长.(2)设法把 a1,a2,an中任何三个的关系转化为(1)的条件即可.由已知及柯西不等式,得(n-1)(+)(+)2=(n-1)2+)2+.所以,2()()2.那么由(1)可知,a1,a2,a3是某个三角形三条边的长,再由对称性可知 a1,a2,an中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.
