1、考点过关检测（二十）1(2019马鞍山期末)已知椭圆1(ab0)经过点(1，)，离心率为，过原点O作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于点A，C，直线l2交椭圆于点B，D，且|AB|2|BC|2|CD|2|DA|224.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：|k1k2|为定值解：(1)由题意知解得故椭圆的方程为1.(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，y1)，D(x2，y2)，由1，得y242x2，|AB|2|BC|2|CD|2|DA|22(|AB|2|DA|2)2(x1x2)2(y1y2)2(
2、x1x2)2(y1y2)24(xxyy)4(xx42x42x)4(8xx)24，所以xx2，|k1k2|2，故|k1k2|为定值2.2(2019绵阳诊断)已知点E(2,0)，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(2,0)，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，ABE的周长为12.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点N，已知m，n，求mn的值解：(1)由题意知，E为椭圆的左焦点，|AB|AE|BE|AF|BF|AE|BE|4a12，解得a3，又c2，故b2a2c2945，椭圆C的方程为1.(2)由题知F(2,0)，若直线AB恰好过原点，则A(3,0)，B(3,0)，N(0,0)，(3,0)
3、，(5,0)，则m，(3,0)，(1,0)，则n3，mn.若直线AB不过原点，设直线AB：xty2，t0，A(ty12，y1)，B(ty22，y2)，N.则，(ty1，y1)，(ty2，y2)，由m，得y1m(y1)，从而m1 ；由n，得y2n(y2)，从而n1，故mn122.联立整理得(5t29)y220ty250，y1y2，y1y2，mn222.综上所述，mn.3(2019河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求
4、POQ的面积是否为定值，并说明理由解：(1)证明：k1，k2存在，x1x20，mn0，y1y20，k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，|x1|，|y1|，SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.POQ的面积为定值，且为1.4(2019沈阳模拟)已知椭圆C
5、：1(ab0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，并求这个定值解：(1)依题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d.联立消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由0得4k2n230，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d为常数，则m0，d，此时12满足0.当MNx轴时，由m0得kOM1，联立消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.
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